2025年湖南省中考数学一轮复习 第六单元　第二十三讲　圆的有关概念及性质（含答案）

6年湖南省中考数学一轮复习第二十三讲圆的有关概念及性质学生版知识要点对点练习1.圆的定义及性质(1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转,另一个端点A所形成的图形.

(2)轴对称性:圆是,任何一条都是它的对称轴.

(3)旋转不变性:围绕着它的任意旋转一个角度都能与原来的圆重合

1.(教材再开发·湘教九下P46习题2.1T2改编)下列说法中正确的个数有()①平分弦的直径一定垂直于弦;②圆是轴对称图形,每一条直径都是对称轴;③直径是弦;④长度相等的弧是等弧.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.垂径定理及推论(1)垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的.

(2)推论:平分弦(不是直径)的直径,并且平分弦所对的.

2.(2024·新疆中考)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为()A.1 B.2 C.3 D.43.弧、弦、圆心角的关系(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧,所对的弦也.

(2)推论:在同圆或等圆中,①如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角,所对的弦.

②如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角,所对的优弧和劣弧分别.

3.(教材再开发·湘教九下P49T1改编)如图,在☉O中AB=CD,∠AOB=45°,则∠COD=()A.60° B.45° C.30° D.40°4.圆周角定理及推论(1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角,都等于这条弧所对的圆心角的.

(2)推论:①半圆(或直径)所对的圆周角是,90°的圆周角所对的弦是.

②在同圆或等圆中,如果两个圆周角,它们所对的弧一定.

4.如图,A,B,C为☉O上的三个点,∠AOB=80°,则∠C的度数为()A.30° B.35° C.40° D.45°5.圆内接四边形的性质(1)性质:圆内接四边形对角.

(2)推论:圆内接四边形的任意一个外角等于它的.

5.(2024·吉林中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数是()A.50° B.100° C.130° D.150°考点圆的基本性质的相关计算(一题多设问)【例】如图,点A,B,C,D在☉O上,AC是☉O的直径.连接AB,BC,CD,AD,DB,OD,OB.AC与BD交于点F,请回答下列问题:问题1若∠ACB=30°,则∠BOC=,∠BDC=,∠AOB=,∠ADB=.

问题2若∠BAC=40°,则∠OBC=.

问题3若☉O的半径为2,∠AOB=∠AOD=60°,则AB=,AD=.

问题4若AB=CD,∠BOC=100°,则∠AOB=,∠COD=.

问题5若∠BOC=∠DOC,∠BCD=60°,BC=3,则BD=.

问题6若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,AF=2,求☉O的半径.问题7若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,☉O的直径为10,求AF的长.问题8已知∠BOD=130°,则∠BAD=.

问题9已知∠ACB=30°,若点E是圆上异于A,B,C的另一点,则∠AEB的度数是.

【满分技法】1.在解决与圆有关的角度的相关计算问题时,一般先判断角是圆周角还是圆心角;再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解;当角是圆周角时,也可考虑圆内接四边形的性质或等腰三角形的性质,求解角的度数.提醒:当点在圆上的位置不确定时,一定要考虑优弧或劣弧的不同情况,避免漏解.2.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也相等.3.垂径定理基本图形计算中的“四变量”“两关系”(1)四变量:如图,设弦长为a,圆心到弦的距离(弦心距)为d,半径为r,弧的中点到弦的距离(弓形高)为h,这四个变量知任意两个即可求其他两个.(2)两关系:①(a2)2+d2=r2;②h+d=注意:计算时常通过作半径或过圆心作弦的垂线段来构造直角三角形.1.(2024·湖南中考)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度数为()A.60° B.75° C.90° D.135°2.(2024·长沙中考)如图,在☉O中,弦AB的长为8,圆心O到AB的距离OE=4,则☉O的半径长为()A.4 B.42 C.5 D.523.(2022·株洲中考)如图所示,等边△ABC的顶点A在☉O上,边AB,AC与☉O分别交于点D,E,点F是劣弧DE上一点,且与D,E不重合,连接DF,EF,则∠DFE的度数为()A.115° B.118° C.120° D.125°4.(多选题·2023·湘潭中考)如图,AC是☉O的直径,CD为弦,过点A的切线与CD延长线相交于点B,若AB=AC,则下列说法正确的是(ABD)A.AD⊥BC B.∠CAB=90°C.DB=AB D.AD=125.(2023·株洲中考)如图所示,点A,B,C是☉O上不同的三点,点O在△ABC的内部,连接BO,CO,并延长线段BO交线段AC于点D.若∠A=60°,∠OCD=40°,则∠ODC=度.

6.(2022·长沙中考)如图,A,B,C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为.

2025年湖南省中考数学一轮复习第二十三讲圆的有关概念及性质教师版知识要点对点练习1.圆的定义及性质(1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形.

(2)轴对称性:圆是轴对称图形,任何一条过圆心的直线都是它的对称轴.

(3)旋转不变性:围绕着它的圆心任意旋转一个角度都能与原来的圆重合

1.(教材再开发·湘教九下P46习题2.1T2改编)下列说法中正确的个数有(A)①平分弦的直径一定垂直于弦;②圆是轴对称图形,每一条直径都是对称轴;③直径是弦;④长度相等的弧是等弧.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.垂径定理及推论(1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

(2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

2.(2024·新疆中考)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为(B)A.1 B.2 C.3 D.43.弧、弦、圆心角的关系(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.

(2)推论:在同圆或等圆中,①如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.

②如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等.

3.(教材再开发·湘教九下P49T1改编)如图,在☉O中AB=CD,∠AOB=45°,则∠COD=(B)A.60° B.45° C.30° D.40°4.圆周角定理及推论(1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

(2)推论:①半圆(或直径)所对的圆周角是90°,90°的圆周角所对的弦是直径.

②在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等.

4.如图,A,B,C为☉O上的三个点,∠AOB=80°,则∠C的度数为(C)A.30° B.35° C.40° D.45°5.圆内接四边形的性质(1)性质:圆内接四边形对角互补.

(2)推论:圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.

5.(2024·吉林中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数是(C)A.50° B.100° C.130° D.150°考点圆的基本性质的相关计算(一题多设问)【例】如图,点A,B,C,D在☉O上,AC是☉O的直径.连接AB,BC,CD,AD,DB,OD,OB.AC与BD交于点F,请回答下列问题:问题1若∠ACB=30°,则∠BOC=120°,∠BDC=60°,∠AOB=60°,∠ADB=30°.

问题2若∠BAC=40°,则∠OBC=50°.

问题3若☉O的半径为2,∠AOB=∠AOD=60°,则AB=2,AD=2.

问题4若AB=CD,∠BOC=100°,则∠AOB=80°,∠COD=80°.

问题5若∠BOC=∠DOC,∠BCD=60°,BC=3,则BD=3.

问题6若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,AF=2,求☉O的半径.【解析】设☉O的半径为r,∵AC⊥BD,BD=8,∴BF=4.∵AF=2,则OF=r-2.在Rt△OBF中,OB2=BF2+OF2,即r2=16+(r-2)2,解得r=5.∴☉O的半径为5.问题7若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,☉O的直径为10,求AF的长.【解析】∵AC⊥BD,BD=8,∴BF=4,∵☉O的直径为10,∴☉O的半径OB=5.由勾股定理得OF=52∴AF=5-3=2.即AF的长为2.问题8已知∠BOD=130°,则∠BAD=115°.

问题9已知∠ACB=30°,若点E是圆上异于A,B,C的另一点,则∠AEB的度数是30°或150°.

【满分技法】1.在解决与圆有关的角度的相关计算问题时,一般先判断角是圆周角还是圆心角;再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解;当角是圆周角时,也可考虑圆内接四边形的性质或等腰三角形的性质,求解角的度数.提醒:当点在圆上的位置不确定时,一定要考虑优弧或劣弧的不同情况,避免漏解.2.在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也相等.3.垂径定理基本图形计算中的“四变量”“两关系”(1)四变量:如图,设弦长为a,圆心到弦的距离(弦心距)为d,半径为r,弧的中点到弦的距离(弓形高)为h,这四个变量知任意两个即可求其他两个.(2)两关系:①(a2)2+d2=r2;②h+d=注意:计算时常通过作半径或过圆心作弦的垂线段来构造直角三角形.1.(2024·湖南中考)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度数为(C)A.60° B.75° C.90° D.135°2.(2024·长沙中考)如图,在☉O中,弦AB的长为8,圆心O到AB的距离OE=4,则☉O的半径长为(B)A.4 B.42 C.5 D.523.(2022·株洲中考)如图所示,等边△ABC的顶点A在☉O上,边AB,AC与☉O分别交于点D,E,点F是劣弧DE上一点,且与D,E不重合,连接DF,EF,则∠DFE的度数为(C)A.115° B.118° C.120° D.125°4.(多选题·20