高等数学（工科类）课件 第十章 数理统计基础

新时代高职数学系列教材高等数学（工科类）知识目标理解总体与个体、样本、简单随机样本和统计量等基本概念；了解分布、分布和分布的定义；掌握分位数的概念并会查相应的分布表．了解点估计和区间估计的概念；掌握矩法及最大似然法的原理及估计方法；了解估计量的评价标准；掌握单个正态总体的均值与方差的双侧及单侧置信区间的计算．了解假设检验的基本思想和基本原理；了解假设检验的两类错误；掌握单个正态总体的均值和方差的假设检验基本步骤．第十章数理统计基础第一节数理统计的基本概念情景与问题引例1

众所周知，《红楼梦》一书共120回,普遍认为前80回为曹雪芹所著,后40回为高鄂所续.长期以来红学界对这个问题一直有争议.一般的,每个人使用某些词的习惯是特有的，比如同一情节大家描述的都差不多,但由于个人写作特点和习惯的不同,所用的虚词不会一样.有人分别统计出《红楼梦》前80回与后40回中与情节无关的虚词出现次数,并与曹雪芹的其他著作进行对比.运用统计学方法进行分析后证实:前80回确实为曹雪芹所著，而后40回并非是高鹗一个人所写,而是曹雪芹亲友将其草稿整理而成,宝黛故事为一人所写,贾府衰败情景当为另一人所写等等.这些研究成果使红学界大为赞叹.引例2

全球最大的零售商沃尔玛通过统计分析顾客购物的数据后发现，很多周末购买尿布的顾客同时也购买啤酒.人们为什么会同时购买这两样看上去毫不沾边的生活物品呢?通过深入观察和研究发现，美国家庭买尿布的多是爸爸,而年轻的爸爸们下班后在超市买尿布的同时,往往会顺便给自己捎带点啤酒，好在周末看棒球赛时过把酒瘾.后来沃尔玛就把尿布和啤酒摆放得很近，从而双双促进了尿布和啤酒的销量.引例3二战前期,英军从敦刻尔克撤回到本岛期间,德军每天对英国进行狂轰乱炸.英国空军在抵御中,双方空战不断.为了能够提高飞机的防护能力,英国的飞机设计师们决定给飞机增加护甲,但是盔甲会增加飞机的重量,在飞机的什么部位能最有效的保护好飞机呢?统计学家将每架中弹之后仍然安全返航的飞机的中弹部位描绘在一张图上,然后将所有中弹飞机的图都叠放在一起,这样就形成了浓密不同的弹孔分布.绘图完成后,统计学家很肯定地指出,没有弹孔的地方就是应该增加护甲的地方,因为这个部位中弹的飞机都没能幸免于难.上述引例均聚焦于从实际数据和资料分析中，找寻研究对象的规律性特征，由此便衍生出了一门新学科——数理统计.数理统计不仅仅是科学研究的利器,也是一门应用性很强的学科,它与人们日常的生产和生活接下来，我们从几个重要概念的介绍来开始数理统计学习之旅.密切相关.10.1.1总体与样本当我们把每袋面粉的重量看作是随机变量时,

在数理统计中,我们把研究对象的全体称为总体,而把组成总体的每一个对象称为个体．例如:整个城市全体中学生的身高组成一个总体,每位学生的身高就是个体；检查某个批次面粉的装袋重量,整个批次的面粉的装袋重量构成一个总体,分布时,我们称总体为正态总体.研究某城市中学生的身高,●该批次每袋面粉的重量就是个体.●总体就是该随机变量可能取值的全体.当服从正态要考察每个个体来全面了解总体,往往是不现实的.一方面会消耗大量的资源和时间.另一方面有些试验是具有破坏性的.比如研究一批电池的寿命,当我们逐一获得了每个电池的寿命数据后,整批电池也就报废了,这样的研究是●●没有意义的.记为,从总体中随机抽取个个体进行测试，然后根据这个个体的性质来推断总体的性质．我们把被抽取的个个体的集合叫做总体的一个样本，实际中的做法是,我们从该批电池中随机抽取一部分进行试验,记录这部分电池的寿命去推断整批电池的寿命特征.称为该样本的样本容量.在实际问题中,样本是一组具体观测数据,称为样本的观测值.

统计学的基本思想是:适当地抽取样本以推测总体的性质,达到花费较小代价而推断结果又足够准确的目的.为了使样本很好地反映总体的特性，对抽样的方法提出一定的要求.在随机抽样中,如果每个个体被这里提到的简单随机抽样具有以下两个特征:抽到的机会均等,则称为简单随机抽样.(1)代表性:样本的每个分量与总体有相同的分布；(2)独立性:相互独立.此时与的分布已经并不相同.抽出一个或者有限的个时,通常时,尽管为无放回抽样,当抽样过程中采用放回抽样时,这往往是简单随机抽样.若采用的是无放回的抽样,其分布已经产生的变化,对总体分布的影响是非常微小的.所得的样本分量分布仍认为是没有差异的,每个分布相同.在第一次抽取之后,总体的个数减少了一个,如果总体中个体的数量庞大,10.1.2统计量定义10.1设是来自总体的一个样本，若为一连续函数,且不含任何参数，则称为样本的一个统计量．例如，是从总体中抽取的一个三维样本，其中参数已知,未知，则不是统计量，而都是统计量．

抽样得到的样本是一堆散沙,杂乱无章.为了在样本中提取出有用信息,需要对样本值进行加工.比如在研究某城市中学生的身高时,抽样得到的样本数据很难看出规律.我们关心的是中学生们的身高的整体水平此时构造的随机变量“样本均值”为总体均值的合理估计.这种针对不同问题构造出样本的某种函数，在统计学中称为统计量．有没有提高,也就是估计总体均值.设是总体

的一个样本，常用统计量如下：当总体时，常用统计量(5)阶样本中心矩(1)样本均值(2)样本方差(3)样本标准差(4)阶样本原点矩

案例1某食品加工厂某日运进一批生猪，从中随机取10头，称得其重量如下(单位：kg):75，78，77.5，74，80.5，82.5，80，85.5，87，85.求样本均值和样本方差．应用与实践解第十章数理统计基础第二节常用统计分布

引例1质检部门想要了解某企业生产的电子元件寿命是否达到质量要求.数据的采集是带有破坏性的,质检部门从某日生产的成品元件中，只随机抽取总量的,试验并记录了寿命数据.寿命的抽样并不是仅仅让我们认识抽出来的这些样品，可是我们如何才能通过样本去推测整体的状况呢?

引例2在使用天平称量物体质量时,测量的结果与实际值之间存在一定的差异叫做误差.由于天平的灵敏度、操作环境、操作人员等影响,测量误差在所难免.实际操作中多次重复测量是有效降低误差的办法之一.某实验室重复称量了质量为克的物品,每次称量的结果独立同服从.现在需要让测量平均值与真实值之间的差异不超过克的把握不小于0.95%,此时至少需要测量几次呢?情景与问题在前面的学习中,我们已经知道统计量为随机变量.对统计量所有可能的取值以及出现可能性的大小进行描述是非常有必要的,这可以反映样本统计量的分布特征,从而全面的把握和了解统计量.对统计量的取值进行的概率描述就是下面要介绍的抽样分布.

即使求出了精出的三大重要的抽样分布:分布,分布和分布.

是服从自由度为的分布,记作定义10.2设为取自正态总体的样本,则称统计量样本统计量所服从的分布称为抽样分布.英国统计学家费希尔曾把抽样分布、参数估计、和假设检验看做统计推断的三个中心内容.一般来说,要获得统计量的抽样分布是一件非常困难的事情,确分布,也会因为过于复杂而难以应用.统计分析中,正态总体占有特别重要的地位,本节介绍由正态总体导其中,分布的密度函数为对于已知的和,上分位点的值可以根据附录Ⅱ表二查表得到.图10-1图10-2

分布图形如图10-1所示.从图中可以看到分布具有以下特征:（1）分布的密度函数曲线随自由度的不同而有较大改变；（2）分布为非对称分布.越大,密度函数的图形越对称.则称为分布的上分位点或上侧临界值,其几何意义如图10-2所示.定义10.3设,其概率密度函数为,对于给定的正数，若存在实数满足例1已知，求.解由定理10.1设为来自总体的样本，则统计量证明从略.查分布表，得例2求的值．得,解由反查分布表，即定义10.4设,且X

与Y相互独立，则称统计量是服从自由度为的分布，也称为学生分布,记作(1)分布是偶函数，图形关于Y轴对称；(2)即很大时,t

分布的密度函数曲线形态与标准正态曲线很相似.事实上，当自由度时，10.2.2

t

分布其图形如图10-3所示.两者几乎没有什么差别.分布的密度函数为从图中可以看到分布具有以下特征:例如:

图10-3与分布的上分位点相似，设,概率密度函数为，对于给定的正数，若存在实数满足图10-4称为t分布的上分位点或上侧临界值，几何意义如图10-4所示.对于已知的和,上分位点的值可以根据附录Ⅱ表三查表得到.例3

求的值.解由反查分布表，得解由例4已知求的值.查分布表，得即定理10.2设为来自总体的样本，则统计量例5设总体，已知样本容量，样本方差，求概率解由查

t分布表得故应用与实践

案例

轧钢厂粗轧设备的精度是关系到成材率的重要指标.一批粗轧钢材的长度服从正态分，

现轧钢25根,为这25根钢材偏离设计均值的样本方差.求超过的概率.解由,可知:故超过的把握在以上.第十章数理统计基础第三节参数估计情景与问题引例

对某型号的20辆汽车记录其每5升汽油的行驶里程(公里),观测数据如下:29.8,27.6,28.3,27.9,30.1,28.7,29.9,28.0,27.9,28.728.4,27.2,29.5,28.5,28.0,30.0,29.1,29.8,29.6,26.9该型号汽车每5升汽油行驶公里数服从的分布尚不清楚,如何对总体的均值、方差进行估计呢?引例中的问题是在总体分布类型未知或已知的情况下，对总体的一个或多个未知参数进行的估计,这类问题称为参数估计.参数估计是统计推断的基本形式,是数理统计的一个重要分支内容之一.如何根据样本来估计总体中的未知参数呢?下面来看看几种常见的方法.

参数估计根据结果表达形式不同分为点估计法和区间估计法两种.比如,当我们猜测某位公司高层管理人员收入时,给出的结论是年收入50万.这样用某一个具体值作为总体未知参数的估计为点估计值.或者我们可以换一种方法,估计45至55万元的区间包含其收入真实值的把握达到了90%，这个结论是在一定置信度下包含了未知参数真值的区间估计值.设是总体X分布中的未知参数观测值，估计量是一个随机变量,对不同的样本值观测值,的估计值一般是不同的.如果我们用统计量来估计，10.3.1点估计以下介绍点估计的两种常见方法:矩估计法与最大似然法.为来自总体X的一组样本,为一组样本的观测值，就称为的估计量，这类问题称为点估计问题.将样本观测值代入估计量中，就可以得到的点估计值因为样本的每个分量与总体X有相同的分布,比如常用到的样本矩有样本一阶原点矩,1.矩估计法如果随机变量X

所服从的分布律见下表:

在简单随机抽样中,一个直观的想法是用样本的样本二阶矩作为随机变量最容易获得的数字特征,且矩估计法的替换原理简单明确,得到了大众的普遍接受,使用场合甚广.各阶矩估计相应的总体矩.中心矩因而由皮尔逊在1894年正式提出后,如何才能求未知参数的矩估计量?此处为了求得未知参数的估计量,我们用样本的一阶原点矩,即样本均值去代替总体一阶原点矩,即总体期望.先计算出总体的期望:所以.由,得即为未知参数的矩估计量.解例1设是来自正太总体的一个样本，试求μ

和的估计量.

因为是来自正太总体的一个样本，所以我们知道正态总体的一阶原点矩是期望，二阶原点矩是因此用样本的一阶原点矩，即均值估计总体的均值用样本的二阶原点矩，即估计总体的二阶原点矩得到从上式解出和，得到和的估计量为

解已知指数分布的期望.由,得练习求引例2中指数分布的未知参数的矩估计量.即为未知参数的矩估计量.,其中为未知参数,定义似然函数,2.最大似然估计法两个箱子中各装有红球与白球若干.其中甲箱装有99个红球1个白球,乙箱装有1个红球99个白球.便挑选一箱,甲箱.这个结果的发生,或者说选择甲箱可以使“摸出红球”发生的概率最大.现在随从中摸出一个球,结果发现为红球.如果要推测这只红球是从哪个箱子摸出的,我们自然会认为是因为从甲箱中摸出红球的概率远大于从乙箱中摸出红球的概率.我们选择甲箱实际上是最有利于红球这种以概率大小作为判断依据的思路，便是最大似然原理的体现.称的函数为的似然函数.定义10.5设随机变量有联合密度,其中是未知参数，且的观测值为例如，连续型总体X的概率密度为定义似然函数所选取的参数的估计量应使观测值出现的概率最大,也即是使达到的最大值.最大似然估计法的基本思想是：这可由方程解得.一般地，由于与同时到达最大值，为了计算上的方便，往往通过解方程求得．使似然函数取到最大值的称为参数的最大似然估计量．例2设是正态总体的一个样本，试求和的最大似然估计.

解似然函数是取对数求偏导，令其为0，得方程组解方程组得到和的最大似然估计分别是两边取对数得解由总体的概率密度函数为，两边对求导得由此得到的最大似然估计量为练习求引例2中指数分布的未知参数的最大似然估计量.对应的似然函数为：1．无偏性总体的同一个未知参数,若采用不同的估计方法，会得到不同的估计量.我们会问,这些不同的估计量哪一个更好?这就必须先建立评价标准.在常用的标准中,本节介绍无偏性与有效性.容易证明,样本均值与样本方差分别是总体均值与方差的无偏估计量．

定义10.6设是总体未知参数的估计量,若,则称为的无偏估计量．10.3.2估计量的评选标准例3取容量的样本判断均值的下面五个统计量中，哪些是无偏估计量？解显然,而所以都是的无偏估计量．2．有效性证明由在例3中我们看到都是的无偏估计量.同一个参数可能有多个无偏估计量，我们又如何在这些估计量中，自然应选用对参数的偏离程度较小的为好，即一个较好的估计量由此引入评选估计量的另一个标准.比较他们的优劣呢?的方差应该较小.定义10.7设是的两个无偏估计量，若,则称较有效．例4在例3中，证明：较，都有效．有,即证明了较，都有效．则称为的置信区间，称概率为置信度，和分别称为置信下限和置信上限.称为显著性水平.10.3.3区间估计未知参数的点估计值仅仅是未知参数的近似值，它与参数的精确值之间存在多大的差异并不清楚.原籍波兰的统计学家奈曼,在1934年提出的置信区间理论的到了广泛的应用.和点估计不同,区间估计给出了参数真值的范围,并且指出真值落在这样的范围内的可靠程度.这样的估计更具有参考价值.

定义10.8设是总体X的未知参数，是来自总体X的一组样本，对于给定的，若能确定两个统计量与，使作为总体X

的参数是客观存在的确定的数值.置信度的含义应该是置信区间包含的2.置信度与估计精度是一对矛盾.

1.与是统计量,置信区间是随机区间.比如,当取置信度时,参数的置信区间的意思是:取100组容量为

n

的样本观测值所而不是落在置信区间内的可能性为.或者说由一个样本所确定的一个置信区间中含有真值的可能性为．置信度越大,置信区间包含真值的概率越大,置信区间长度越长.反之,参数估计的精度要求越高,置信区间长度越短,概率越小,概率为确定的100个置信区间中,约有95个区间含有的真值,实际上这使得参数估计的精度降低.置信区间包含真值的置信度也就越小.这表明置信度并不是越高越好.在实际中的做法是:如果样本容量不能进一步增加,则是在保证尽可能提高估计精度.置信度的情况下，以下讨论正态总体均值的区间估计.1.总体方差已知时,的置信区间由于已知，含有及的统计量存在于是对给定的置信度,成立(图10-5所示）.使得该式变形后即有:所以总体方差已知时，的置信区间为:图10-5解因为例5某工厂生产的滚珠直径可以认为服从方差正态分布,今随机抽取5个测得直径（单位：mm）为：14.7,14.9,15.0,15.1,15.2.试求的0.95置信区间．查标准正态分布表得，的置信区间为,这表明区间包含真值的概率为所以很多实际问题中,根本无法获知的值,此时之前的方法不再适用.此时需要选择统计量进行估计.实际上,同样一组样本观测值,按同一置信度对作区间估计,类似于之前的讨论,参照图10-6可得的置信区间对估计的精度会高一些,置信区间的长度会更短.图10-62.总体方差未知时,的置信区间为:在其他条件相同时,因为在已知时,我们掌握的信息比较多,在已知和未知时,估计出的结果是不一样的.

例6假设轮胎寿命服从正态分布，为估计某轮胎的平均寿命，现随机地抽取12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万千米），如下4.684.854.324.854.615.025.204.604.584.724.384.70试求平均寿命0.95的置信区间.解此处正态总体标准差未知，可使用t

分布求均值的区间.首先求得取查表知于是得到平均寿命的0.95的置信区间（单位：万千米）为应用与实践

案例1某地区进行家庭消费调查,为此，在该地区随机抽查了10户家庭，得每户家庭消费支出（单位：元）为设家庭消费支出服从正态分布,试估计未知参数.解首先即为该地区每户家庭消费支出的均值.由得,设的估计值为,则(元).1150800970102011009501640133012801400

案例2

某称重设备的称量结果可以认为服从正态分布,已知设备的标准差

.为了使均值的置信度为0.95的置信区间长度不超过1.2,样本容量应为多少?解由已知条件知,问题涉及总体方差已知时,的区间估计.现要求,时,查表得,已知,从而即样本容量至少为11时才能保证的置信度为0.95的置信区间长度不超过1.2.因为此时置信区间为其置信区间的长度为它依赖于样本容量即而与样本的具体取值无关.第十章数理统计基础第四节假设检验此时样本均值偏离总体的均值应该不会太大.情景与问题

引例1某大米加工厂生产的大米，额定标准为每包100，可以认为每包重量服从正态分布.某日从仓库中随机抽取9包，测得重量（单位：）为99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5.请问该大米加工厂该日的打包机工作是否正常?我们知道,由于随机误差的存在,即使打包机工作状态完全正常,每袋大米的重量也不会全部为100kg，而是在100kg的附近波动.不再是最初设定的是否成立.这个问题属于假设检验的基本问题之一.但是与的差异还有可能是由于打包机工作不正常导致,实际上已经发生了改变,换种说法,也就是实际总体的均值那么,该问题就是要根据样本进行判断如果总体分布已知,统计假设是针对于总体的参数提出的,这类问题称为参数假设检验问题,引例1的问题属于参数假设检验问题.针对总体服从何种分布的统计假设，属于非参数假设检验问题.本节只讨论参数假设检验.提出一个关于总体的假设,利用样本提供的信息,检验统计假设是否合理，以确定接受或舍弃假设,这就是假设检验.概率小到什么程度才能称为小?通常可取.10.4.1假设检验的基本思想与两类错误不同的问题,的值会有不同的要求,例1某接待站在一周内接待了12次来访,结果所有的来访都安排在周二和周三.现在能不能断定接待的实践是有规定的?解首先假设接待的时间是没有规定的,即从周一到周日每一天去接待站的可能性都相同.那么12这么小概率的事件居然在一次试验中发生,有理由怀疑假设的正确性,所以应当拒绝最初的假设,认为接待的时间是有规定的.次来访都出现在周二和周三的概率为假设检验的基本思想是小概率原理.小概率原理认为“小概率事件在一次试验中几乎不会发生”.例如,因为买彩票中500万大奖的概率极小，如果张三今天出门买彩票,我们完全有信心和他打赌,张三如果张三回来后宣布他居然中了大奖,那我们会怀疑到中奖率是不是向对外今天不会中500万的大奖.公布的那么低.检验某个假设时，首先假定是正确的.如果事件A没有出现，那么表明没有理由拒绝.如果认为原假设是正确的，则接受,拒绝；如果认为原假设是不正确的，则拒绝,接受.无论进行何种检验,无论最初假设的内容如何,假设检验的基本思想都是相同的,就是“带有概率性质的反证法”.具体做法是：在此假设下，根据事先确定的小概率，构造一个小概率事件A

.如果经过一次试验，事件A

竟然出现了，那么自然怀疑假设A的正确性,因而拒绝通常把假设称为原假设，而把与对立的假设称为备择假设.检验的目的是要在原假设与备择假设二者之间选择其中之一：第一类错误：也称为“弃真”的错误,其中一个减小,另一个就会增大.的概率称为检验的显著性水平.第二类错误：也称为“存伪”的错误,的概率通常记为.但研究表明,当样本容量一定时,不可能同时把和都减小.原假设：认为新药无效.此时应该严格控制的值,让的取值在合理范围内尽量的小.假设检验中的两类错误假设检验中无论最终接受还是拒绝原假设,都不可避免的会犯以下两种错误：犯第二类错误即本来是正确的,但经检验被拒绝的错误.犯第一类错误我们当然希望这两类错误越小越好.实际使用中,人们会根据实际问题的需要来控制两类错误的概率.比如在新药的检验中,第一类错误是“新药实际无效，但经检验被认为犯此错误时,无效的新药会被允许流入市场.第二类错误是“新药实际有效,但经检验认为无效”,此时新药尽管有效但仍会被拒绝进入市场.这两类错误相比，显然第一类错误对社会产生的危害大很多,有效”,当即当本来是不正确的,但经检验被接受的错误.10.4.2正态总体均值μ假设检验1.检验法这里关心的是总体的均值是否变化,由于拒绝域位于两侧,该检验被称为双边检验.

(1)已知,对均值的检验.检验选择检验统计量，在成立的假设下，．对给定的显著性水平,由查标准正态分布表可得临界值.由,说明事件为小概率事件.将样本观测值代入到中，算出统计量的值,如果,则表明在一次试验中小概率事件A发生了，其中不等式所确定的范围称为检验的拒绝域.因而拒绝，而接受；否则接受.

(2)已知,对均值的检验.检验这里我们只关心总体的均值是否减小,此时检验为右侧单边检验.选择检验统计量，对给定的显著性水平,由查标准正态分布表可得临界值.的拒绝域为若，则拒绝，接受；否则接受

(3)已知,对均值的检验.检验这里我们只关心总体的均值是否增大,此时检验为左侧单边检验.选择检验统计量，的拒绝域为此法因检验量常用U来表示,故习惯上称为U检验法.假设检验中,当接受原假设时,并不代表原假设一定是正确,只是差异还不够显著,还不足以拒绝原假设.所以假设检验也被称为“显著性检验”.例2某炼钢厂的铁水含碳量X

服从正态分布,现测定了9炉钢水,其平均含碳量为,如果估计方差不会有太大变化,可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为()?解

第一步:提出假设.第二步:将第三步:对给定的显著性水平，所以的拒绝域为第四步:由于，仍为.计算得统计量的观测值查标准正态分布表得临界值代入，所以没有理由拒绝.即认为现在生产的铁水平均含碳量不变,

解提出假设

例3据长期资料分析,某厂生产的产品的某项指标.改革工艺后，在所生产的一批产品中任抽25件，得到该项指标的样本均值为79.若方差不变,试问改进工艺后产品的该项指标是否比以往产品的该项指标要高()?将代入,对给定的显著性水平,查标准正态分布表得临界值所以拒绝．因为，得到的拒绝域为:即认为改进工艺后,产品的该项指标较以往有显著提高．本例中,我们关心的是新工艺生产下产品的指标是否有显著的提高,为了谨慎起见,原工艺不能轻易否定,计算得统计量的观测值改进工艺的目的是为了提高指标的值.只有在有很强的证据下才能认为新工艺对指标有提高,所以此处适合于单边检验.(1)未知,对均值的检验.检验.选取检验统计量为,对给定的显著性水平,

由查t

分布表,可得临界值，的拒绝域为此时该检验为双边检验．当时,拒绝,接受,否则接受．(2)未知,对均值的检验.检验.选取检验统计量为,对给定的显著性水平,

由查t

分布表,可得临界值，的拒绝域为此时该检验为右侧单边检验．当时,拒绝,接受,否则接受．2.检验法(3)未知,对均值的检验.检验.选取检验统计量为,的拒绝域为此时该检验为左侧单边检验．由于这种检验法选择的统计量服从t

分布，所以称为t检验.因为