高等数学（工科类）课件 第二章 导数与微分

新时代高职数学系列教材高等数学（工科类）引例1：高铁复兴号高速平稳运行探究中国如今拥有世界上首条高寒高铁（哈大高铁），世界上单条运营里程最长的高铁（京广高铁），世界上一次性建成里程最长的高铁（兰新高铁）.截至2021年底，中国高速铁路运营总里程达4万公里，已能绕地球赤道一周，居世界第一.列车最高运营速度350千米/小时，居全球首位.高铁已经成为中国科技创新的标志性成果，也是中国向世界递出的一张靓丽的名片（见图2-1）.在乘坐高速铁路时你是否注意到，高铁列车的所有车门处都有显示列车速度的显示屏，乘客可以通过显示器了解高速铁路的当前运行速度，即瞬时速度(见图2-2）.那么，如何从数学的角度来刻画这种随时间变化的“瞬时速度”呢？为直观理解列车运行中的瞬时速度，我们利用数学模型对问题进行简要分析.情景与问题假设物体前进中的运动方程为，其中(米)表示时刻(秒)时物体的位移.通过计算得出在附近，的取值情况，列表如下：时刻t344.54.94.954.994.9995S(t)276491.125117.649121.287124.252124.925125ΔS(t)-98-61-33.875-7.351-3.713-0.746-0.07500Δt-2-1-0.5-0.1-0.05-0.01-0.0010ΔS/Δt496167.7573.5174.25374.85074.485/时刻t55.0015.015.055.15.567S(t)125125.075125.752128.788132.651166.375216343ΔS(t)00.07500.7523.7887.65141.37591218Δt00.0010.010.050.10.512ΔS/Δt/75.01575.15075.75376.5182.7591109从表2-1观察发现，随着趋近于0,也随之趋近于0,但他们的比值却越来越接近于常数75，这个数值就是秒时，物体运动的瞬时速度.值得注意的是，并不是时间增加的量，而是时间的改变量，故的值应是在的两侧. 将上述过程用极限表示，这一数学结构就是我们要探究的“导数”，记为或，即引例2事实上，高铁列车不仅快，它还具有卓越的稳定性.乘客在乘坐的过程中，不眺望车窗外几乎感觉不到列车在急速前进.列车在运行中要保持平稳，转弯处列车应沿着轨道的切线方向前进.数学上切线的方向与切线的斜率密切相关，那么该如何表示平面曲线上过一点的切线斜率呢？分析平面上圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”，但是对于其它曲线以此作为切线的定义就不一定合适了.一般平面曲线切线的定义为，设有曲线

及

上的一点(如图2-3所示)，在点

外另取

上一点，作割线.当点

沿曲线

趋于点

时，同时割线

绕点

旋转而趋于极限位置

，直线就称为曲线

在点

处的切线.图2-3设为割线

的倾角，于是割线

的斜率为.当点

沿曲线

趋于点

时，.如果当时，上式的极限存在(设为)，即,则就是切线的斜率.这里，其中是切线

的倾角.上述2个引例的实际意义完全不同，但从解决问题的数学模型来看，均可归结为类似的极限表达式，即函数值的增量与自变量增量商的极限.事实上，还有很多实际问题如物体的运动速度、电流强度、线密度、比热、化学反应速度及生物繁殖率等，在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数问题.图2-3设为割线

的倾角，于是割线

的斜率为.当点

沿曲线

趋于点

时，.如果当时，上式的极限存在(设为)，即,则就是切线的斜率.这里，其中是切线

的倾角.上述2个引例的实际意义完全不同，但从解决问题的数学模型来看，均可归结为类似的极限表达式，即函数值的增量与自变量增量商的极限.事实上，还有很多实际问题如物体的运动速度、电流强度、线密度、比热、化学反应速度及生物繁殖率等，在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数问题.图2-32.1.1导数的定义定义2.1设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在点处取得增量(仍在该领域内)时,相应的函数取得增量.如果极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数，记为

,,，或.如果极限不存在,即称函数在点处不可导.注意：定义中式子表示当自变量发生一个单位的改变量时，函数相应改变了个单位.所以函数在某点处的导数值也称作函数对自变量的变化率，它反映函数在该点处的变化快慢，这便是导数的本质.例1求函数在处的导数.解当由

变到时，相应增量为

所以,..例2已知，试计算极限：解已知，由导数定义可得,也有

定义2.2如果函数在开区间内的每一点处都可导,就称函数在开区间可导.此时，对于任一，都对应着的一个确定的导数值.这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数的导函数，简称为导数，记作

，，，或.显然，导数的求解式为.需注意的是该式中虽然可以取区间的任意值，但取极限的过程依赖于，即是常数，是变量.例3求函数(为常数)的导数.解

，即.解=，，即.所以.用类似的方法，可求得：.例4设函数，求及.例5设函数，求.解，故注意到当时，，则，即.例6设函数，求.解，则注意到当时，，有，故,即.

2.1.2可导的充要条件定义2.3如果极限值存在，则称其值为函数在点处的左导数，记为，即

.如果极限值存在，则称其值为函数在点处的右导数，记为，即

.由极限存在的充要条件知，存在的充分必要条件是及都存在且相等，故有以下结论：定理2.1函数

在点

处可导的充分必要条件是左导数

和右导数

都存在且相等.即

如果函数

在开区间

内可导

且左端点

的右导数

和右端点

的左导数

都存在，称

在闭区间

上可导注意：定理2.1常常用来判断分段函数在分段点处是否可导.例7求函数在处的导数.解当时，，故，当时，，故，由，得.2.1.3导数的几何意义由引例2关于切线斜率问题的讨论以及导数的定义可知：函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即，其中是切线的倾角(如图2-4所示).需特别指出的是，如果在点处的导数为无穷，此时曲线的切线是过点且垂直于轴的直线.图2-4由导数的几何意义和平面直线的点斜式方程，可得曲线在点处的切线方程为:

过切点且与切线垂直的直线叫做曲线在点处的法线.点处的法线方程为：例8求双曲线在点处的切线方程和法线方程.解因为，，故所求切线方程

即,对应法线方程为，即.2.1.4可导与连续的关系

定理2.2可导函数一定是连续函数.证明从略.例9讨论函数在处的连续性与可导性.解：由图2-5可知，函数在处是连续的，因为，，故

.所以函数在处是连续的.又因为

，显然

，故函数在处不可导.图2-5例10讨论在处的连续性与可导性.解由知在处连续.

但当时，在和之间振荡变化，故极限不存在，所以在处不可导.注意：上述例子说明，函数在某点连续是函数在该点处可导的必要条件而非充分条件.

启迪：在数学发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的.直到被誉为“现代分析之父”的德国数学家魏尔斯特拉斯，于1872年利用函数项级数构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，才为上述猜测做了一个否定的终结.这一成果随即引起数学界和思想界的极大震动，并使得经典数学陷入又一次危机.危机的产生促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“分形几何”的产生.所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它的局部与整体按某种方式具有“自相似性”（如图2-6）.自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形，它们都具有“自相似性”.如云彩的边界、山峰的轮廓、奇形怪状的海岸线、蜿蜒曲折的河流、材料的无规则裂缝、视网膜血管网等等.因此“分形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛应用前景的新的学科.“分形几何”的产生启示我们：科学研究必须一丝不苟、严谨认真，来不得半点马虎；要正确认识挫折，培养面对困难的勇气和坚强的意志，坚信“危中有机”.图2-6雪花的分形例11设函数，问取何值时，为可导函数？解只须讨论在处可导时的取值情况.在处，因为，，要使在处可导，必须，即，由得.所以，当时为可导函数.应用与实践导数是微积分的核心概念之一，导数是研究函数增减变化快慢、最大（小）等问题最一般最有效的工具.“导数”与“变化率”有密切关系.通常变化率有两种，其中“平均变化率”是指，表示某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度，平均变化率越大，表示函数的平均变化越快.当时则可以得到“瞬时变化率”，瞬时变化率其实就是导数.它表示的是函数值在某点处的变化趋势，瞬时变化率越大，该点处切线的斜率也就越大.案例1设某商品的总收益是销售量的函数.求当销售量为50个单位时的总收益变化率,并解释其经济意义.解根据导数的定义，该问题即是求函数在处的导数.因为，所以.这表示销售量为50个单位时,总收益的变化率为60.其经济意义为：在销售量为50个单位时，如果再多销售一个单位,总收益将增加60个单位.案例2具有PN节的半导体器件，其电流微变和引起这个变化的电压微变之比称为低频跨导．一种PN节的半导体器件，其转移特性曲线方程为，求电压V时的低频跨导．解低频跨导在V时的变化率为

.

导数的运算

情景与问题引例1电路中某点处的电流是通过该点处的电量关于时间的瞬时变化率，如果某一电路中的电量为,求电流函数.分析电流函数即电量函数的导函数，即需求解.但是，根据导函数的定义进行求解就显得比较复杂了.设想的求解能否在和的基础上进行呢？如果能，将极大简化求解难度.引例2锌和稀硫酸发生化学反应产生硫酸锌和氢气，化学方程式如下：

.在实验中可以通过测定反应产生的体积来观察化学反应速率.下图为经过测定的的体积随时间变化的曲线（如图2-7）：通过建立数学模型，该体积测定曲线符合函数

.那么如何算出该实验的瞬时化学反应速率呢？分析瞬时化学反应速率即体积测定函数的导函数，即需求解.但是，根据导函数的定义进行求解就显得比较复杂了.该函数的导数能否拆分求解呢？如果能，将极大简化求解难度.本节将介绍一些基本的求导公式和求导法则，利用这些知识可以方便地求出一些复杂初等函数的导数.图2-7的体积随时间变化曲线图抽象推理2.2.1基本求导公式基本初等函数的导数公式(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)2.2.2导数的四则运算法则

定理2.3设函数及在点处可导，则与的和、差、积、商（分母不为零）也可导，且(1)；(2)；(3).特别地，当时，.2.2.2导数的四则运算法则

证设，则由导数的定义有

下面以(2)为例加以证明，其他两条性质类似可证.即.特别地，当(是常数)时，.注意：积的求导法则可以推广到任意有限个函数之积的情形.例如

.例1求的导数.解

.例2求的导数.解

.例3求的导数.解

同理可得：

.例4求的导数.解

.同理可得：.显然，引例1中的电流函数，为.引例2中化学实验的瞬时化学反应速率为

2.2.3反函数的求导法则

定理2.4如果单调连续函数在点处可导，且，那么它的反函数在对应的点处可导，且有或.证明从略.例5求的导数.解是的反函数，且在内单调、可导，又，所以，即.特别地，有.例6求的导数.解由于是在区间内的反函数，而在该区间单调、可导，且，所以，即.类似地，有

.解

由于是在内的反函数，而在该区间内单调、可导，且，所以

即.类似地，有.例7求的导数.2.2.4复合函数的求导法则引例3自工业革命以来，人类活动产生二氧化碳排放量增多导致气温逐年升高形成温室效应，而气温升高又导致海平面上升，最终影响人类生活.为了保护人类赖以生存的地球环境，可以利用数学方法进行科学预测帮助我们了解未来可能的环境变化趋势，从而做出积极的应对措施.假设海平面

（单位：米）与气温

（单位：）的关系为：，而气温

与二氧化碳排放量

（单位：吨）的关系为：.那么，海平面受二氧化碳排放量增加影响而发生改变的变化率是如何呢？分析由于知道海平面与气温的函数关系，又知道气温与二氧化碳排放量的函数关系，那么求海平面对二氧化碳排放量的变化率便是讨论复合函数的导数问题.启迪：2020年9月22日，国家主席习近平在第七十五届联合国大会一般性辩论上发表重要讲话，郑重向国际社会宣布中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，使二氧化碳量排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和，为实现应对气候变化《巴黎气候协定》确定的目标作出更大努力和贡献.碳达峰和碳中和战略目标的提出是中国推进世界零碳排放进程，引领世界经济绿色复苏的核心战略，体现了中国的大国担当和秉持人类命运共同体理念.定理2.5如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且其导数为或，或.证明从略.注意：复合函数的求导法则可简述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．这一法则又称为链式法则．另外，定理2.4可以推广到由多个复合关系构成的复合函数，如设，则例5求函数的导数.解设.则

例8求函数的导数.解函数的最外层是，此时不管多复杂，都可视为一个整体作为中间变量，于是有：，接下来计算，视为中间变量，于是，最后，有.注意：复合函数求导，总是从外层向内层，逐层设置一个中间变量求导.当计算熟练后，可不写中间变量，直接求出导数.例9，求.解例10设，证明幂函数的导数公式.

证明.例11求函数的导数.解因为，所以

拾趣：在进行复合函数求导时，关键是分析清楚复合过程，然后从外层到内层逐层求导.每一层求导时认清谁是函数对应哪个变量(不管是自变量还是中间变量)；熟练之后可以不设中间变量，只把中间变量看在眼里、记在心里，直接把中间变量的部分写出来，保证整个求导过程流畅、一气呵成.这种数学之美，要求同学们逐渐提高抽象概括能力，做到“重其意，而略其形”，而且这种思维训练对后续学习多有裨益.从宏观角度看，这体现了“举重若轻”观念，但在落实到具体函数求导时，务必严谨，做到“举轻若重”.希望读者们细细体会其中蕴含的辩证关系.2.2.5高阶导数引例4什么是变速直线运动物体的“速度、加速度、加加速度”？分析在变速直线运动中，路程关于时间的导数是物体的瞬时速度，即.而速度仍为时间的函数，其关于时间的导数便是物体的加速度，即.加加速度，又称变加速度、急动度或冲动度，是描述加速度变化快慢的物理量.加加速度是由加速度的变化量和时间决定的，即.于是，速度是路程关于时间的导数，加速度是路程关于时间导数的导数，称路程关于时间的二阶导数，加加速度是路程关于时间导数的导数再求导数，称路程关于时间的三阶导数.

探究：现代科学意识到，人们在享用汽车、火车等现代化交通工具时，发现加速度随时间的变化率与乘客的舒适感相关，因此将加速度的时间改变率定义为急动度.例如，在乘坐电梯下降时的“失重”引起的不适感主要存在于初始猝变瞬间，就与急动度值相关。进一步，又定义了急动度相对于时间的导数，即位移对时间的四阶导数，称为痉挛度，也称为“加加加速度”.请读者结合自身经历做进一步探讨.一个函数关于变量求导再求导称作二阶导数，连求三次导数称作三阶导数，按照这种规律，有没有四阶导数，，阶导数呢？如果有，又应该如何求解呢？下面我们来着手解决这些问题.定义2.6一般地，如果函数的导数在点处可导，则称导函数在点处的导数为函数的二阶导数，记为或或或.类似地，可以定义的三阶、…、阶导数，分别记为

或或或，…

或或或.二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数，而把称为一阶导数.如果函数的阶导数存在，则称为阶可导函数.例12设，求.解，.例13求指数函数的阶导数.解，，……，.例14设，求.解，，，.例15设，求.解，，，，……

.例16设，求.解，，……

，即.同理，可得.应用与实践案例1一个电阻为,可变电阻为的电路中的电压由下式给出：（单位：

）．求在时电压关于可变电阻的变化率．解电压关于可变电阻的变化率为

.在时电压关于可变电阻的变化率为（/）.案例2某汽配公司生产一种小型的汽车配件，设市场上对此配件的商品需求量为，销售的价格为，由多年的经营实践得知此配件的需求量与价格之间的关系（经济学中称为需求函数）近似为.如果配件的价格按每年的比率均匀增加，现在销售价格为1.00元，问此时需求量将如何变化？解因为需求量随价格的变化而变化，而价格又随时间的变化而变化，所以是的复合函数．根据题意可知，，由复合函数求导法则得

代入,，得.即该配件的商品需求量减少的速率为每年个单位（该问题又称为相关变化率的问题）．案例3某运动员参加

短跑比赛，经过

到达终点，其对应的运动函数为：，分析这个运动员的速度、加速度和急动度.解：根据运动函数，该运动员的速度函数：，加速度函数：，急动度函数：.四个函数对应的图形为：图2-8由图分析可知，该运动员开始速度渐增，在最后冲刺阶段，速度渐减，由于急动度不变，为负值，故加速度均匀减小.图2-8运动员运动函数图案例4一个装满水的圆锥形容器，如图2-9.其高为

，底面半径为.若水在容器底端以

的速度排出，问当水深为

时，水位的下降速度为多少？解设在时间为时，容器中的水的体积为，水面的半径为

，容器中水的深度为.由题意，有

.又，即.因此，.因为水的深度

是时间

的函数，即，所以水的体积

通过中间变量

与时间

发生联系，是时间

的复合函数，即.在上式中，两端关于

求导数，得其中是体积的变化率，是水的深度的变化率.由已知，，.

代入上式，得.所以，当

时，水位下降的速度约为.

§2.3函数的微分情景与问题引例1一块正方形金属薄片受到温度变化的影响，其边长由变到(如图2-10），问此薄片的面积改变了多少？分析设此薄片的边长为，面积为，则为的函数：.薄片受温度变化的影响时面积的改变量，可以看成当自变量自取得增量时，面积相应的增量，即.从上述薄片面积的改变量可以看出，分成两部分，第一部分是一个有关的线性表达式，第二部分是，它们对应的面积如图2-10所示.当时，第二部分是比高阶的无穷小，即.如果边长的改变量很微小的时候，即当很小时，第二部分的面积会比第一部分的面积小得多，可以忽略不计，仅用第一部分近似地替代.我们注意到，第一部分的中，恰好是函数在处的导数值，这是一个简单的巧合么？还是存在什么有意义的规律？下面我们用图形做进一步分析.

图2-10在直角坐标系中，函数的图形是一条曲线（如图2-11所示）.对于某一固定的，曲线上有一个确定的点，当自变量有微小增量时，就得到曲线上另一点.过点作曲线的切线.由图2-11可知，当是曲线的纵坐标增量时，就是切线纵坐标增量，即当很小时，在点的附近变得非常小了，此时可以看作，即.在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量有微小变化时，求函数的微小改变量.但是，往往问题中给出的函数会较复杂，其差值会是一个更复杂的表达式，很难求出其值.由分析可以想到：能否设法将近似表示成一个有关的线性函数，从而简化问题的求解呢？微分就是实现这种方法的一种数学模型.探究：微分代表了当给定自变量增量时，曲线在点

处切线的纵坐标增量，这便是微分的几何意义（如图2-11）.同时，在较小时，常用切线段

代替曲线段

，这便是科学研究中常见的“以直代曲”思想.其实，这种近似思想还很多，比如计算机图形学中的“以平面代曲面”、运动控制系统中的“以匀速代变速”及科学计算中的“以线性代替非线性”等思想.请同学们探讨.引例2将物体以与水平方向呈夹角的初速度抛出，物体的运动轨迹可用参数方程表示为指物体运动时间.轨迹如图2-12.试求.分析我们已经学习了如何求解的导数.但是，当和以参数方程形式进行表达时的应该如何求解呢？解决的一个思路是，将参数通过代入法消元，解得的函数表达式再求导.将代入，得到求导得.但是，有的参数方程通过代入法消元有可能过程很复杂，或者根本无法消元.因此，本节将介绍参数方程的一般求导方法.图2-12抽象推理2.3.1微分的概念定义2.5若函数在点处可导，则称为函数在点处的微分，记作，即.此时也称函数在点处可微.由微分的定义可知，自变量的微分，所以上式又可以写成.关于微分有如下定理：定理2.6函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且.即可微与可导是等价的.证明从略.例1求函数当由

改变到的微分.解因为，，，所以.例2求函数在处的微分.解函数在处的微分为.另外，函数在任意点的微分，称为函数的微分，记作或，即.这就是说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，即.因此，对于一元函数来说，导数也叫做“微商”.2.3.2微分的运算1.基本微分公式从函数微分的表达式可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分即可.由此，可得到如下基本微分公式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)微分四则运算法则:根据微分的定义，结合函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则(设，都可导)：(1).(2)(是常数)..(4)().讨论：微分与导数有着紧密联系，甚至在本质上都是刻划事物变化快慢程度的.鉴于此，有人认为有了导数就够了，何需再引进微分呢？请谈谈您的看法.例3求函数的微分.解

.例4求函数的微分.解.2.复合函数的微分法设及都可导，则复合函数的微分为由于，所以复合函数的微分公式也可以写成或.由此可见，无论是自变量还是中间变量，一阶微分的形式保持不变.这一性质称为一阶微分形式不变性.例5设，求.解

设，，利用一阶微分形式的不变性，有

.注意:与复合函数求导类似，当计算熟练以后，复合函数的微分求解也可不写出中间变量.例6设，求.解

例7设,求.解

.3.利用微分求解参数方程导数利用微分求参数方程所表示的函数的导数特别方便.设变量和之间的函数关系由方程组所确定，若，均可微，求.由一阶微分形式的不变性，有

，

.故

.例8设椭圆，（）.求其在

处的切线方程.解当时，椭圆上对应点坐标为.由于，，则

.故所求切线方程为:.例9设