专项18-矩形的性质-专题训练

矩形的性质-专题训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（兴宾区期中）如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形的周长为36，则AB的长为（）A．6 B．9 C．12 D．42．（兰陵县期末）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，AE＝8，AC＝20，则OE的长为（）A．43 B．4 C．6 D．83．（遵义期末）矩形ABCD中，AD＝3，AB＝9，点E、F同时分别从点A、C出发沿AB、CD方向以每秒1个单位的速度运动，当四边形EBFD为菱形时，两点运动的时间为（）A．4秒 B．5秒 C．6秒 D．62秒4．（五莲县期末）如图，在一张长方形纸片上画一条线段AB，将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，若∠ABC＝58°，则∠1＝（）A．60° B．64° C．42° D．52°5．（江汉区期末）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，作AF⊥BE于F，连接DF，若AB＝6，DF＝BC，则CE的长度为（）A．2 B．52 C．3 D．6．（梁溪区校级二模）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角7．（太仓市期中）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．两组对角分别相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直8．（高淳区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若BE＝EO，则AD的长是（）A．62 B．23 C．32 D．259．（常州期末）如图，矩形ABCD的对角线BD＝6，∠AOD＝120°，则矩形ABCD的面积为（）A．9 B．93 C．12 D．12310．（曲阜市期末）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（）A．6013 B．5013 C．185二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（大邑县期中）如图在矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为．12．（徐汇区期末）如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，AE⊥BD于点E．若OE：OD＝1：2，AE＝3cm，则BE＝cm．13．（玄武区期中）如图，矩形ABCD的两条对角线夹角为60°，一条短边为4，则矩形的对角线长为．14．（锡山区期中）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，则∠DEC＝°．15．（东台市期末）长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是cm2．16．（砀山县期末）已知，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝10，延长BC至E，使CE＝4，连接DE，动点F从B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点F的运动时间为t秒，当t的值为时，△ABF和△DCE全等．17．（吴中区期末）如图，长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝18cm，E是AB的中点，点P从B点出发以3cm/s的速度沿BC向终点C运动，点Q从点C出发以acm/s的速度沿CD向终点D运动，点P、Q同时出发，并且当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动；当△EBP与△PCQ全等时，a的值是．18．（相城区期末）两个完全相同的长方形ABCD与长方形EFGD如图放置，点D在线段AG上，若AG＝m，CE＝n，则长方形ABCD的面积是．（用m，n表示）三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（句容市期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．（1）△BEC是否为等腰三角形？请给出证明；（2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长．20．（常州期中）如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC边上，FE平分∠DFB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若点F是BC的中点，求AE的长．21．（延庆区期末）在矩形ABCD中，点E，点F分别为边BC，DA延长线上的点，且CE＝AF，连接AE，DE，BF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AF＝1，AB＝2，AD=5，求证：AE平分∠DEB22．（溧阳市期末）如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE（1）求证：DE平分∠AEC；（2）若AD=6，求出DG23．（沙坪坝区校级三模）如图，AC为矩形ABCD的对角线，点E，F分别是线段BC，AD上的点，连接AE，CF，若∠BAE＝∠DCF：（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AC平分∠DAE，AB＝4，BC＝8，求△AEC的周长．24．如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）若AB=3，BC＝3，求CE

矩形的性质-专题训练（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（兴宾区期中）如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形的周长为36，则AB的长为（）A．6 B．9 C．12 D．4【分析】首先证明△ABO≌△DCO，推出OA＝OB；由∠AOD＝90°，推出∠OAD＝∠ODA＝45°；由∠BAD＝∠CDA＝90°，推出∠BAO＝∠CDO＝45°，则∠BAO＝∠AOB，∠CDO＝∠COD，从而推出AB＝BO＝OC＝CD，设AB＝CD＝x，则BC＝AD＝2x，由题意x+x+2x+2x＝36，解方程即可解决问题．【解析】解∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，在△ABD和△DCO中，AB=DC∠B=∠C∴△ABO≌△DCO（SAS），∴OA＝OB，∵∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∵∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠BAO＝∠CDO＝45°，∴∠BAO＝∠AOB，∠CDO＝∠COD，∴AB＝BO＝OC＝CD，设AB＝CD＝x，则BC＝AD＝2x，由题意x+x+2x+2x＝36，∴x＝6，∴AB＝6．故选：A．2．（兰陵县期末）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，AE＝8，AC＝20，则OE的长为（）A．43 B．4 C．6 D．8【分析】由矩形的性质可得AO＝CO=12【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO=12∴OE=AO故选：C．3．（遵义期末）矩形ABCD中，AD＝3，AB＝9，点E、F同时分别从点A、C出发沿AB、CD方向以每秒1个单位的速度运动，当四边形EBFD为菱形时，两点运动的时间为（）A．4秒 B．5秒 C．6秒 D．62秒【分析】设t秒时四边形EBFD为菱形，根据菱形的性质得到DE＝DF＝FB＝BE，然后表示出AE＝t，DF＝9﹣t，从而根据勾股定理列出方程32+t2＝（9﹣t）2求解即可．【解析】设t秒时四边形EBFD为菱形，此时DE＝DF＝FB＝BE，则AE＝t，DF＝9﹣t，根据勾股定理得：32+t2＝（9﹣t）2，解得：t＝4，故选：A．4．（五莲县期末）如图，在一张长方形纸片上画一条线段AB，将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，若∠ABC＝58°，则∠1＝（）A．60° B．64° C．42° D．52°【分析】由平行线的性质可得∠BAD＝122°，由折叠的性质可得∠BAD＝∠BAD'＝122°，即可求解．【解析】∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，且∠ABC＝58°，∴∠BAD＝122°，∵将右侧部分纸片四边形ABCD沿线段AB翻折至四边形ABC'D'，∴∠BAD＝∠BAD'＝122°，∴∠1＝122°+122°﹣180°＝64°，故选：B．5．（江汉区期末）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，作AF⊥BE于F，连接DF，若AB＝6，DF＝BC，则CE的长度为（）A．2 B．52 C．3 D．【分析】过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，先根据矩形的性质和已知条件得DA＝DF，根据等腰三角形的性质得H是AF的中点，由平行线等分线段定理得G是AB的中点，进而证明四边形BEDG是平行四边形，求得DE，便可得CE的长度．【解析】过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∵DF＝BC，∴DA＝DF，∴AH＝FH，∵AF⊥BE，∴DG∥BE，∴AG＝BG=1∵矩形ABCD中，AB＝DC＝6，AB∥DC，∴四边形BEDG为平行四边形，∴DE＝BG＝3，∴CE＝CD﹣DE＝6﹣3＝3．故选：C．6．（梁溪区校级二模）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角【分析】根据矩形和菱形的性质得出即可．【解析】矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选：B．7．（太仓市期中）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．两组对角分别相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【分析】依据菱形的性质和矩形的性质进行判断即可．【解析】A、矩形的两组对角相等，菱形的两组对角相等，故A错误；B、矩形的每条对角线相等，菱形不具有该性质，故B错误；C、菱形和矩形的对角线都相互平分，故C错误；D、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不具有该性质，故D正确．故选：D．8．（高淳区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若BE＝EO，则AD的长是（）A．62 B．23 C．32 D．25【分析】由矩形的性质可得OB＝OD＝OA＝OC，AC＝BD，由线段垂直平分线的性质可得OA＝AB＝OB，可证△OAB是等边三角形，可得∠ABD＝60°，由直角三角形的性质可求解．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE＝EO，AE⊥BD，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB，即△OAB是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠ABD＝30°，∴AD=3AB＝23故选：B．9．（常州期末）如图，矩形ABCD的对角线BD＝6，∠AOD＝120°，则矩形ABCD的面积为（）A．9 B．93 C．12 D．123【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，AO＝BO，求出△AOB是等边三角形，求出AB＝3，AC＝6，根据勾股定理求出BC，再求出面积即可．【解析】∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°﹣∠AOD＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝6，AO＝OC，BO＝DO=1∴AO＝OB＝3，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝3，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=AC2∴矩形ABCD的面积是AB×BC＝3×33=9故选：B．10．（曲阜市期末）已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（）A．6013 B．5013 C．185【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，可求得OA＝OD=132，然后由S△AOD＝S△AOP+S△【解析】连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC=A∴S△AOD=14S矩形ABCD＝15，OA＝OD=1∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP=12OA•PE+12OD•PF=12OA（PE+PF）∴PE+PF=60故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（大邑县期中）如图在矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为4．【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝2AB，再根据矩形的对角线相等解答．【解析】在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝2×2＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝4．故答案为：4．12．（徐汇区期末）如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，AE⊥BD于点E．若OE：OD＝1：2，AE＝3cm，则BE＝3cm．【分析】由矩形的性质可得AO＝BO，由线段的垂直平分线的性质可得AO＝AB，可证△ABO是等边三角形，∠ABO＝60°，由直角三角形的性质可求解．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴AO＝BO，∵OE：OD＝1：2，∴OE=12∴BE＝OE，又∵AE⊥BD，∴AO＝AB，∴AO＝AB＝BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AE=3BE＝3cm∴BE=3cm故答案为：3．13．（玄武区期中）如图，矩形ABCD的两条对角线夹角为60°，一条短边为4，则矩形的对角线长为8．【分析】由矩形的性质和已知条件得出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝4，AC＝2OA＝8．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝4，∴AC＝2OA＝8，故答案为：8．14．（锡山区期中）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E在线段AO上，且DE＝DC，若∠EDO＝15°，则∠DEC＝55°．【分析】证出∠DEC＝∠OCD＝∠ODC，设∠DEC＝∠OCD＝∠ODC＝x，则∠COD＝180°﹣2x，由三角形的外角性质得出∠COD＝∠DEC+∠EDO，得180°﹣2x＝x+15°，解方程即可．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠OCD，∴∠DEC＝∠OCD＝∠ODC，设∠DEC＝∠OCD＝∠ODC＝x，则∠COD＝180°﹣2x，又∵∠COD＝∠DEC+∠EDO，∴180°﹣2x＝x+15°，解得：x＝55°，即∠DEC＝55°，故答案为：55．15．（东台市期末）长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，它的面积是48cm2．【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解析】∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，∴另一边长为102−62∴它的面积为8×6＝48cm2．故答案为：48．16．（砀山县期末）已知，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝10，延长BC至E，使CE＝4，连接DE，动点F从B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点F的运动时间为t秒，当t的值为2或11时，△ABF和△DCE全等．【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，∠B＝∠A＝∠DCE＝90°，分点F在BC上或AD上两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝90°，∴∠B＝∠A＝∠DCE＝90°，当点F在BC上时，∵△ABF≌△DCE，∴BF＝CE＝4，∴t=42=2当点F在AD上时，∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE＝4，∴t=10×2+6−42=综上所述：t＝2或11，故答案为：2或11．17．（吴中区期末）如图，长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝18cm，E是AB的中点，点P从B点出发以3cm/s的速度沿BC向终点C运动，点Q从点C出发以acm/s的速度沿CD向终点D运动，点P、Q同时出发，并且当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动；当△EBP与△PCQ全等时，a的值是3或2．【分析】根据矩形的性质、全等三角形的判定定理解答即可．【解析】∵AB＝12cm，E是AB的中点，∴EB＝6cm，∵点P的速度是3cm/s，∴ts后BP＝3tcm，∴PC＝BC﹣BP＝（18﹣3t）cm，则18﹣3t＝6，解得t＝4，则BP＝3×4＝12cm，∵△EBP与△PCQ全等，∴4a＝12，解得a＝3．当at＝6，3t＝18﹣3t，也符合题意，解得a＝2故答案为：3或2．18．（相城区期末）两个完全相同的长方形ABCD与长方形EFGD如图放置，点D在线段AG上，若AG＝m，CE＝n，则长方形ABCD的面积是m2−n24【分析】根据矩形的性质以及矩形的面积公式即可求出答案．【解析】由题意可知：AD＝ED，DG＝CD，设AD＝ED＝x，∴x+n+x＝m，∴x=m−n∴AD=m−n2，CD∴长方形ABCD的面积为AD•CD=m故答案为：m2三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（句容市期中）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．（1）△BEC是否为等腰三角形？请给出证明；（2）若AB＝1，∠ABE＝45°，求DE的长．【分析】（1）根据EC平分∠BED，可得∠BEC＝∠DEC，根据四边形ABCD是矩形，可得AD∥BC，所以∠BCE＝∠DEC，进而可得△BEC是等腰三角形；（2）根据∠ABE＝45°，可得三角形ABE是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得BE的长，进而可得DE的长．【解析】（1）△BEC是等腰三角形，证明：∵EC平分∠BED，∴∠BEC＝∠DEC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BCE＝∠DEC，∴∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC，∴△BEC是等腰三角形；（2）∵∠ABE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴AE＝AB＝1，∴BE=A∴BE＝BC＝AD=2∴DE＝AD﹣AE=220．（常州期中）如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E在AD上，点F在BC边上，FE平分∠DFB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若点F是BC的中点，求AE的长．【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质和角平分线的性质可得∠DEF＝∠DFE，可得结论；（2）由勾股定理可求DF的长，即可求解．【解析】（1）△DEF是等腰三角形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∠C＝90°，∴∠BFE＝∠DEF，∵FE平分∠DFB，∴∠BFE＝∠DFE，∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵AB＝1，BC＝2，∴CD＝1，AD＝2，∵点F是BC的中点，∴FC=1Rt△DCF中，∠C＝90°，∴DF=D∴DE＝DF=2∴AE＝AD﹣DE＝2−221．（延庆区期末）在矩形ABCD中，点E，点F分别为边BC，DA延长线上的点，且CE＝AF，连接AE，DE，BF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AF＝1，AB＝2，AD=5，求证：AE平分∠DEB【分析】（1）由矩形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，由CE＝AF，得出DF＝BE，DF∥BE，即可得出结论；（2）由勾股定理得出BF=5，由平行四边形的性质得出DF∥BE，DE＝BF=5，则∠DAE＝∠AEB，证出DE＝AD，由等腰三角形的性质得出∠DAE＝∠DEA，得出∠AEB＝∠【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CE＝AF，∴DF＝BE，DF∥BE，∴四边形BEDF为平行四边形；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠FAB＝90°，∵AF＝1，AB＝2，∴由勾股定理得：BF=A∵四边形BEDF为平行四边形，∴DF∥BE，DE＝BF=5∴∠DAE＝∠AEB，∵AD=5∴DE＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∴∠AEB＝∠DEA，即AE平分∠DEB．22．（溧阳市期末）如图，矩形ABCD中，AB=2BC，在边AB上截取BE，使得BE＝BC，连接CE，作DF⊥EC于点F，连接BF并延长交AD于点G，连接DE（1）求证：DE平分∠AEC；（2）若AD=6，求出DG【分析】（1）证明CE=2BC，进而得CD＝CE，得∠CDE＝∠CED，再由平行线的性质得∠AED＝∠CDE（2）证明△DFG≌△EBF便得DG＝EF，求出EF便可．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥DC，∠ABC＝90°，∵BC＝BE，∴CE=2BC∵AB=2BC∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED，∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠AED，∴∠AED＝∠DEC，∴DE平分∠AEC；（2）∵BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠BEC＝45°，∵DF⊥CE，∴∠CDF＝45°，∴DF＝CF，∴CD=2DF∵AB＝CD，AB=2BC，BC＝∴BE＝DF＝CF＝BC，∵∠ADC＝90°，∴∠FDG＝45°，∴∠BEF＝∠EDF，∵BC＝CF，∠BCF＝45°，∴∠CBF＝∠CFB＝67.5°，∴∠EBF＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠DFG＝180°﹣67.5°﹣90°＝22.5°，∴∠EBF＝∠DFG，在△DFG和△EBF中，∠FDG=∠BEFBE=DF∴△DFG≌△EBF（ASA），∴DG＝EF，∵EF＝CE﹣CF＝AB﹣BC=2∴DG＝23−23．（沙坪坝区校级三模）如图，AC为矩形ABCD的对角线，点E，F分别是线段BC，AD上的点，连接AE，CF，若∠