专项18-菱形的性质-专题训练

菱形的性质-专题训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（金台区期中）菱形的两条对角线分别为8和6，则菱形的周长和面积分别是（）A．20，48 B．14，48 C．24，20 D．20，242．（内江期末）下列性质中，菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．邻角相等 D．邻边相等3．（碑林区校级二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（）A．4 B．4.5 C．8 D．94．（乐山）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（）A．9+23 B．9+3 C．7+23 5．（开福区校级期中）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直 D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形6．（邯山区校级二模）如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A＝134°，则∠BEC的大小为（）A．23° B．28° C．62° D．67°7．（越秀区期末）若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（）A．96 B．48 C．24 D．128．（西湖区一模）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连结EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（）A．210 B．27 C．33 D．199．（黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4 B．8 C．13 D．610．（南京期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）A．逐渐增加 B．逐渐减小 C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（兴化市月考）已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形的面积为cm2．12．（高新区期中）已知一个对角线长分别为4cm和6cm的菱形，则菱形的边长是cm．13．（句容市期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，CE＝DE，AE⊥CD，E为垂足，则AE2+BE2＝．14．（相城区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点H是线段BC的动点，连接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的最小值是．15．（舞钢市期末）如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是cm．16．（鄂州期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝18cm，∠A＝60°，点E以2cm/s的速度沿AB边由A向B匀速运动，同时点F以4cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当△DEF为等边三角形时，t的值为．17．（香坊区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边CD上，连接BE、EF．若∠EFC＝90°+12∠CBE，BE＝7，EF＝10．则点D到EF的距离为18．（工业园区校级期中）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（盱眙县期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E＝60°，AB＝6，求菱形ABCD的面积．20．（姜堰区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE：AC＝1：2，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．21．（宝安区校级一模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，（1）求证：∠DHO＝∠DCO．（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．22．（越秀区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）求证：四边形ACDE是平行四边形．（2）若AC＝16，BD＝12，求△ADE的周长．23．（梁溪区期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E＝60°，AC=3，求菱形ABCD24．（如东县校级月考）菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：F是CD的中点．（2）如图2，若∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠FEC的度数．

菱形的性质-专题训练（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（金台区期中）菱形的两条对角线分别为8和6，则菱形的周长和面积分别是（）A．20，48 B．14，48 C．24，20 D．20，24【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线长分别是6和8，可求得OA＝4，OB＝3，再由勾股定理求得边长，继而求得此菱形的周长与面积．【解析】如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，∴OA=12AC＝4，OB=12BD＝3，∴AB=OA∴此菱形的周长是：5×4＝20，面积是：12故菱形的周长是20，面积是24，故选：D．2．（内江期末）下列性质中，菱形所具备而平行四边形却不一定具有的是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．邻角相等 D．邻边相等【分析】根据平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分；菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角进行解答即可．【解析】菱形具备但平行四边形不一定具有的是邻边相等，故选：D．3．（碑林区校级二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（）A．4 B．4.5 C．8 D．9【分析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD=12BD，BD⊥∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD═12AC×BD∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE=12故选：B．4．（乐山）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（）A．9+23 B．9+3 C．7+23 【分析】先利用菱形的性质得AD＝AB＝4，AB∥CD，∠ADB＝∠CDB＝30°，AO⊥BD，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AO＝2，OD＝23，然后计算出OE、DE的长，最后计算四边形AOED的周长．【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝4，AB∥CD，∵∠BAD＝120°，∴∠ADB＝∠CDB＝30°，∵O是对角线BD的中点，∴AO⊥BD，在Rt△AOD中，AO=12OD=3OA＝23∵OE⊥CD，∴∠DEO＝90°，在Rt△DOE中，OE=12ODDE=3OE∴四边形AOED的周长＝4+2+3+3＝9故选：B．5．（开福区校级期中）下列说法中，错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．菱形的对角线互相垂直 D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形【分析】根据菱形的性质、平行四边形的判定与性质逐一进行判断即可．【解析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对角线互相平分，故A正确；根据平行四边形的判定可知：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B正确；根据菱形的性质可知：菱形的对角线互相垂直，故C正确；因为一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故D错误．故选：D．6．（邯山区校级二模）如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于E点，已知∠A＝134°，则∠BEC的大小为（）A．23° B．28° C．62° D．67°【分析】根据菱形的性质和三角形的内角和解答即可．【解析】∵菱形ABCD，∠A＝134°，∴∠ABC＝180°﹣134°＝46°，∴∠DBC=1∵CE⊥BC，∴∠BEC＝90°﹣23°＝67°，故选：D．7．（越秀区期末）若菱形的两条对角线长分别为8和6，则这个菱形的面积是（）A．96 B．48 C．24 D．12【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴S=1故选：C．8．（西湖区一模）在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，连结EG．若AE＝1，AB＝4，则EG＝（）A．210 B．27 C．33 D．19【分析】连接FG，利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质得出AF＝1，进而利用直角三角形的判定和边长关系解答即可．【解析】连接FG，∵菱形ABCD，∠ADC＝120°，∴∠A＝60°，∠ABC＝120°，∵点E关于∠A的平分线的对称点为F，点F关于∠B的平分线的对称点为G，∴AE＝AF，BF＝BG，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，∵BF＝BG，∴△BFG是等腰三角形，∴∠GFB=180°−120°∴∠EFG＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵BF＝4﹣1＝3，∴FG＝2×3∴EG=E故选：B．9．（黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4 B．8 C．13 D．6【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH=12BD，再由菱形的面积求出【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，∴AC＝12，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴OH=12∵菱形ABCD的面积=12×AC×BD=∴BD＝8，∴OH=12故选：A．10．（南京期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）A．逐渐增加 B．逐渐减小 C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等【分析】证明△ABE≌△DBF（ASA），可得AE＝DF，根据线段的和可知：AE+CF＝AB，是一定值，可作判断．【解析】连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°，∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD＝60°，∴∠A＝∠CDB，∵∠EBF＝60°，∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，∴∠ABE＝∠DBF，在△ABE和△DBF中，∠A=∠BDFAB=BD∴△ABE≌△DBF（ASA），∴AE＝DF，∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（兴化市月考）已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形的面积为24cm2．【分析】由菱形面积公式即可得出答案．【解析】∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，∴菱形ABCD的面积=12AC×BD=12故答案为：24．12．（高新区期中）已知一个对角线长分别为4cm和6cm的菱形，则菱形的边长是13cm．【分析】由菱形的性质可求得OA，OB的长，然后由勾股定理即可求得边AB的长，继而求得答案．【解析】如图所示：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4cm，BD＝6cm，∴AB＝BC＝CD＝AD，OA=12AC＝2cm，OB=12BD＝3cm，在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB=OA2即菱形的边长是13cm，故答案为：13．13．（句容市期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，CE＝DE，AE⊥CD，E为垂足，则AE2+BE2＝40．【分析】连接AC，根据菱形的性质得到BC＝CD＝AB＝AD＝4，推出△ACD等边三角形，得到∠D＝60°，过E作EF⊥BC交BC的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．【解析】连接AC，∵在菱形ABCD中，AB＝4，∴BC＝CD＝AB＝AD＝4，∵CE＝DE，AE⊥CD，∴CE＝DE=12AD＝2，∠AED＝90°，AC＝∴△ACD是等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，∴AE2＝AD2﹣DE2＝42﹣22＝12，过E作EF⊥BC交BC的延长线于F，则∠EFC＝90°，∠ECF＝60°，∴∠CEF＝30°，∴CF=12∴EF2＝CE2﹣CF2＝22﹣12＝3，∴BE2＝BF2+EF2＝52+3＝28，∴AE2+BE2＝40，故答案为：40．14．（相城区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点H是线段BC的动点，连接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的最小值是2.4．【分析】根据菱形面积等于对角线乘积的一半求出AC，再由动点H运动特点知OH最小即OH⊥BC时，由直角三角形面积公式即可得出结果．【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO＝DO＝4，OA＝CO，∴BD＝8，∵S菱形ABCD=12AC•∴AC=24∴OA＝CO＝3，由勾股定理得：BC=C∵当OH最小时，OH⊥BC，此时S△OBC=12BO•CO=12∴OH=BO⋅CO即OH最小值为2.4，故答案为：2.4．15．（舞钢市期末）如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F和E，若菱形的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是2cm．【分析】根据菱形的面积公式和三角形的面积公式解答．【解析】连接BP，S△ABC=S△ABP∴AB＝BC=14×12=∴S△ABP+S△BPC∴12∴PE+PF=3×23=2故答案为：2．16．（鄂州期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝18cm，∠A＝60°，点E以2cm/s的速度沿AB边由A向B匀速运动，同时点F以4cm/s的速度沿CB边由C向B运动，F到达点B时两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当△DEF为等边三角形时，t的值为3s．【分析】连接BD．易证△ADE≌△BDF，即可推出AE＝BF，列出方程即可解决问题．【解析】连接BD．如图：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴AD＝CD＝BC＝AB＝18，△ADB，△BDC都是等边三角形，∴AD＝BD，∠ADB＝∠DBF＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝60°，∴∠ADB＝∠EDF，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，∠A=∠DBF=60°AD=BD∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE＝BF，∴2t＝18﹣4t，∴t＝3，故答案为：3s．17．（香坊区校级期中）如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边CD上，连接BE、EF．若∠EFC＝90°+12∠CBE，BE＝7，EF＝10．则点D到EF的距离为26【分析】根据全等三角形的判定和性质定理，勾股定理，菱形的性质即可得到结论．【解析】连接DE，过D作DG⊥EF于G，则∠DEF+∠EDG＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠CBE＝∠CDE，∵∠EFC＝∠CDE+∠DEF，∠EFC＝90°+1∴90°+12=∠CDE∴12∠CDE+∠DEF∴∠EDG=12∠CDE＝∠∵DG＝DG，∠DGE＝∠DGF＝90°，∴△EDG≌△FDG（ASA），∴ED＝DF，∴BE＝DF＝7，∴GE=12∴DG=DE2∴点D到EF的距离为26，故答案为：26．18．（工业园区校级期中）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝9.6．【分析】连接AC交BD于点G，连接AO，根据菱形的性质可求出AG的长，再根据面积法即可求出OE+OF的值．【解析】如图，连接AC交BD于点G，连接AO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG=12根据勾股定理得：AG=A∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD，即12BD•AG=12AB•OE+1∴16×6＝10OE+10OF，∴OE+OF＝9.6．故答案为：9.6．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（盱眙县期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E＝60°，AB＝6，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；（2）欲求菱形ABCD的面积，求得AC、BD的长度即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB＝CD＝BC，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE，BE＝CD，BD＝CE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝CD＝6，∴CE⊥AC，BE＝AB＝BC＝CD＝6，∴AE＝AB+BE＝12，∵AC⊥CE，∴∠ACE＝90°，∵∠E＝60°，∴△BCE是等边三角形，∠CAE＝30°，∴BD＝CE＝BC＝6，AC=3CE＝63∴菱形ABCD的面积=12AC•BD=12×20．（姜堰区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE：AC＝1：2，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．（1）求证：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD即可；（2）根据菱形的性质得出AC＝AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．【解析】（1）证明：在菱形ABCD中，OC=12∵DE：AC＝1：2，∴DE＝OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2．∴在矩形OCED中，CE＝OD=A在Rt△ACE中，AE=A21．（宝安区校级一模）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，（1）求证：∠DHO＝∠DCO．（2）若OC＝4，BD＝6，求菱形ABCD的周长和面积．【分析】（1）先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等证明结论；（2）先根据菱形的性质得OD＝OB=12BD＝3，OA＝OC＝4，BD⊥AC，再根据勾股定理计算出CD，然后利用菱形的性质和面积公式求菱形【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，∴OH＝OD＝OB，∴∠1＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，∵BD⊥AC，∴∠2+∠DCO＝90°，∴∠1＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCO；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB=12BD＝3，OA＝OC＝4，BD⊥在Rt△OCD中，CD=3∴菱形ABCD的周长＝4CD＝20，菱形ABCD的面积=122．（越秀区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）求证：四边形ACDE是平行四边形．（2）若AC＝16，BD＝12，求△ADE的周长．【分析】（1）先根据菱形的性质得出AB∥CD，AC⊥BD，再证明DE∥AC，然后根据平行四边形的定义证明即可；（2）先根据菱形的性质以及勾股定理得出AD＝CD=AO2+DO2=10，再由平行四边形的性质得出AE＝CD【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°．∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，∴AO＝8，DO＝6，AD＝CD=A∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝10，DE＝AC＝16，∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝10+10+16＝36．23．（梁溪区期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E＝60°，A