2024高考数学二轮复习重难点专题《函数中的双变量问题》题型突破及解析

重难点专题04函数中的双变量问题

题型1二次函数中的双变量问题.........................................1

题型2构造函数法.....................................................2

题型3同构法.........................................................3

题型4换元法（整体法）...............................................4

题型5选取主元法.....................................................4

题型6变换主元法.....................................................5

题型7参变分离.......................................................6

题型1二次函数中的双变量问题

一元二次函数中的双变量问题，注意对称轴的使用

【例题1】（2023•安徽黄山・屯溪一中校考模拟预测）二次函数＞'=必-2与

2b.4

y=_Y+小＞0）在它们的一个交点处切线互相垂直，则丁[的最

小值为_______

【变式1-1]1.（2022秋・江苏宿迁•高三校考开学考试）已知二次函数

f（x）="+bx（a=0[满足""I）为偶函数，且方程有两个相等的

实数根，若存在区间皿叫史得，（切的值域为13^3%则E+H=.

【变式1-112.（2023・河北•高三考试）已知二次函数f（x）=a/+bx（。力《网,

满足/■（l-x）=f（1+x）,且在区间1一1'0上的最大值为之若函数

。（幻=|f（x）|一mx有唯一零点，则实数小的取值范围是（）

[-2,0][-2,0）U12,+oo）

A.D.

r[-2，0：（-8,0）u[218）

♦Lx•

【变式（2023・全国•高三专题练习）已知人幻是二次函数，2）=0,

fi2z</（x）<—则f（io）=

【变式1-114.（2023.全国•高三专题练习）设二次函数

-2x+ngnWR）,若函数「（幻的值域为【°'+8）,且f⑴三2,则

"讨的取值范围为

【变式皿】5.（2023・全国•高三专题练习）已知二次函数+b'+c（。，石,

°均为正数）过点值域为1°'+8）,贝产的最大值为；实数为满足

1-b=入n,则入取值范围为r

题型2构造函数法

一些双变量问题具有相同的形式，我们可以通过构造函数，进行变量统一，找到

共同的函数，分析所构造函数的单调性解决比较大小，最值取值范围等问题.

【例题2】（2021•海淀区校级月考）若"一"V3-*-3-［则（）

Aln（y-x+1）>0pln（y-x+1）<0「ln\xy\>0

Dln\xy\<0

【变式2-1】1.（2（）23•辽宁锦州・统考二模）己知实数｛N满足61nx='"且

3

e^ln”-ze,若y>iI则（）

Ax>y>zB.x>z>y

cy>z>x口y>x>z

【变式2-112.（2021.山东泰安・统考模拟预测）己知。C<"且满足

则下列说法正确的是（：）

号Va-b+1

A.B.Ina+2Q=Inb+26

c.a>2D.不存在叫甫足a+»=l

【变式2-1]3.(2022秋・辽宁丹东•高三凤城市第一中学校考阶段练习)已知

((z-2)3+2019(x-2)=ld+v

*PE&满足l(y-2)3+2019(y-2)=-l,若对任意的’>°,，一尸恒成

立，则实数k的最小值为

【变式2-1】4.(2()21.黑龙江大庆.大庆实验中学校考模拟预测)已知实数满

足3x_y<ln(x+2y-3)+ln(2x-3y+5)贝产+y=

【变式2-115.(2022・江西九江•统考二模)若存在正实数欠，，使得

^+/(lny-lnx)-axy=0(aG/?)成立，则。的取值范围

是.

题型3同构法

当指对函数同时出现时，可以考虑进行同构化简，构造函数.

【例题3】(2021•龙凤区校级月考)已知不等式+欠之°对于

任意+8)恒成立，则。的取值范围()

A.B.1…)

C(-co,-l)口.(-8,一村

-=，-Inxj=

【变式3-1】1.(2023・广东梅州・统考三模)己知实数必,人满足？力,

A.1B.2C.4D.8

【变式3-112.(2023秋・湖北黄冈•高三淹水县第一中学校考阶段练习)若函数

/-(x)=ax-x(lnx-l)(。>0且a*1)存在极大值点，则。的取值范围

是.

【变式3-1】3.(2022秋•南关区校级月考)设实数°,若对仟意的

*W（0,+8）,不等式£丁一丁'°成立，则实数僧的取值范围是（）

…)D.[…)

【变式3-114.（2022・全国•高三专题练习）设若存在正实数x,使得不等

式log/*2匕20成立，则卜的最大值为

【变式3-1]5.（2023秋・湖北黄冈・高三流水县第一中学校考阶段练习）已知

lnX-c2X-2tX-ln（2-2"恒成立，则t的取值范围是.

题型4换元法（整体法）

多变量同时出现时，可以把相同形式变量放在一起，通过整体换元，或者看做一

个整体，进行整体分析.

【例题4]（2023・全国•高三专题练习）实数以）满足且

2

（log^y+C10gtty）2=10go（"2）+10go（ay）,当口＞1时.，则匕氏（文田的范围

是.

【变式4-111.（2020-上海•高三专题练习）若实数X'J满足

（雪乜）2.（尸ip-2”

Zcos^x+y-1)=

一则D的最小值为

yER

【变式4-1】2.（2021•杭州二模）若欠,f设"=/-20+3y一%+匕

则”的最小值为

【变式4-113.（2023春•台州期末）若“€【一1」]，关于又的不等式

炉一1*a%2+2a”-W恒成立，则实数。的取值范围是

题型5选取主元法

多个变元一起出现时兀以选择其中一个作为主元，另一个看做常量，分析函数的

性质

aE[-1,2]

【例题5】（2021•浙江模拟）己知任意L」，若存在实数使不等式

一问<"对任意的'6⑼2]恒成立，则（）

A.力的最小值为4B.〃的最小值为6

C.〃的最小值为8D.〃的最小值为10

【变式5-111.（2022春•金华期末）若存在正实数々使得a〃a+b）=b-a,

则_______

A.实数。的最大值为"2+1B.实数。的最小值为《+1

C.实数。的最大值为©一1D.实数0的最小值为75一1

【变式5-112.（2021•浦江县模拟）已知实数.也‘满足〃+"+。2=1,则ab+c

的最小值为

A.，B.巧C."D.巧

【变式51】3.（2021春•金东区校级期中）若正数°,”,满足

/+/+c2_ab—bc=l,则°的最大值是.

【变式5-114.（2022秋•上海月考）设函数八W"/。"+'*'"若当Fl）

时，f（msin6）+f（l_m）>0恒成立，则小的取值范围是一

题型6变换主元法

我们通常把x看做主元，但是变量比较多时，可以选择函数简单的变量作为分析

的主元，一次分析不同主元的性质.

【例题6】（2021•沙坪坝区校级模拟）已知函数f（%）=/+a"b（a力WR）在区间

1兀有零点，则05的取值范围是（）

A（-如4]（-8,5_]卜，引除+8）

【变式6-1】1.已知a£[T/]时不等式“2+（aT）%+4-2a>°恒成立，求实

数x的取值范围

f（x）=

【变式6-1]2.（2023・辽宁大连•校考模拟预测）己知函数"二若

8—,心TsM（"a+3卜-储（。,+8）时恒成立则。的取

值范围是

【变式6-1]3.（2020春・江苏•高三专题练习）若对任意正实数

a"+（[就-5»2+0吐皿匕恒成立，则实数m的取值范围是

【变式6-114.（2023・湖南长沙♦长沙市明德中学校考三模）若

Vx€（0,+00）,—<a--x（aj）6P）b--a

XX，则2的取值范围

是.

题型7参变分离

多个变量的不等式，可以通过参变分离把变元分开，进行求解.

【例题7]（2023・吉林长春•东北师大附中校考模拟预测）设函数

rI

/■（x）=axe-Q%+a-e（a>0；>若不等式作）<°有且只有两个整数解，则

实数。的取值范围是.

[变式7-1】1.已知函数〃乃=僧111（%+1）_3%-3,若不等式〃乃>皿_3£

在“e（。，+8）上恒成立，则实数小的取值范围是

A0<m<3m>3m<3m<0

xE（i+8）Inx+-<—

【变式7-l】2.（2021秋•江西月考）对任意'3，，不等式xx恒

成立，则实数小的取值范围为（）.

（-8卢；+轴2）(―8曲4-lln2

.B.12

(-8,e?+1ln3(-8,2]

c.D.

【变式7-113.（2021秋•江西月考）不等式尸4二一°加”之”+1对任意

”6（1,+8）恒成立，则实数。的取值范围（）

（-oo,l-e]（-co,2-e2]

r\•D•

（-00,-4]（-8,-3]

Kvz•Lz♦

【变式7-1]4.（2023•浙江金华・统考模拟预测）对任意的不等式

1-/+3无如£-0一之0恒成立，则实数。的取值范围为L

1.（多选）（2023•全国•高三专题练习）已知二次函数y=aY+bx+c（a=

为常数）的对称轴为x=L其图像如图所示，则下列选项正确的有（）

C.关于工的不等式+b必_2尸+b（/_2）的解为无＞6或无＜_般

D.若关于五的函数'=与关于％函数y=有相同的最小

值，则HI2百

2.（2023・山西运城・山西省运城中学校校考二模）已知工不—一^,若关于大的方

程】+'=”《=0）无解，则实数0的取值范围是

3.（2023・全国•高三专题练习）若关于五的不等式ZM'-Yl+ax+l?0有解，

则0的取值范围是.（其中°=2・7】里8…）

f（x）--kx2-xliu

4.（2023・西藏昌都•校考模拟预测）函数在2在区间（“勾上单调

递增，则k得取值范围是（）

[0.+oo）[1,loo?

A.LB.

C弓十8）（oo

V/•LJ•\-91J

5.（2021.陕西榆林•陕西省神木中学校考二模）已知函数

f（x）=xlnx-i（m+l）x2-x皿

2有两个极值点，则实数小的取值范围为.

6.（2023•海南海口•校考模拟预测）己知定义在R上的奇函数”幻与偶函数自（订满

足""=2g（x）+3,若，（高+，（皿28）（;）,则9的取值范围

是.

7.（2023•全国•统考高考真题）设06（°4）,若函数外幻=d+C+a/在（0,+8）

上单调递增，则a的取值范围是.

“、（x2+2x+a-2/x40,

fM=|

8.（2018・天津・高考真题）已知a'*,函数+2x-2a,x>0,若

对任意x£[-3,+8）,f（x）J*l恒成立，则@的取值范围是.

参考答案与试题解析

重难点专题04函数中的双变量问题

题型1二次函数中的双变量问题........................................1

题型2构造函数法.....................................................2

题型3同构法.........................................................3

题型4换元法（整体法）...............................................4

题型5选取主元法.....................................................4

题型6变换主元法.....................................................5

题型7参变分离.......................................................6

题型1二次函数中的双变量问题

一元二次函数中的双变量问题，注意对称轴的使用

【例题1]（2023.安徽黄山・屯溪一中校考模拟预测）二次函数丫=必-2”+2与

2b.4

?=一炉+0"+“。＞0力＞0）在它们的一个交点处切线互相垂直，则7I的最

小值为.

8+8嘉

【答案尸

a+b=§

【分析】根据交点处切线垂直得到“一？，再利用基本不等式中的乘1法即可

得到最值.

【详解】解：设该交点为

因为八幻=2、一2,则人必）=2孙一2,

因为9（幻=-2二+。，则g.（必）=-2必+%

因为两函数在交点处切线互相垂直，

所以（2必—2）・（-2X1+a）=-1,%=彳-24+2=一宕+axx+b

分别化简得一242，*，广崂2彳-24-口》2,

a+b=?劲+：=三+卜。卜2

上述两式相加得2,又8,0,

其中:+：彳.（0+力《+；）=?（5+4+f+书2弓+¥

25-l*g；

a=2————

3.H1X3-一，旦•即1b=5、%一1°时取等号.

8.8^

故所求最小值为三

8,8J

故答案为：『—.

【点睛】切线问题是导数中常遇到的问题，本题设交点坐标，根据交点处切线垂

直得到等式，再转化为基本不等式中的最值问题.

【变式1-111.(2022秋•江苏宿迁•高三校考开学考试)已知二次函数

f(x)="+bx(a*0；满足f(x+】)为偶函数，且方程f(')=x有两个相等的

实数根，若存在区间皿可使得外封的值域为则巾+〃=.

【答案】-4

【分析】由为偶函数可以得到函数〃')=°/+6》(0*0]的对称轴为

ff(m)=3m

x=1,可以结合题意得到在〔gH上单调递增，利用If5)=3〃构造二次方

程，利用根与系数关系即可.

【详解】•."("】)为偶函数的对称轴是"=15三=1

又小尸飞两个相等的实数根，即"+得》|"二♦

•・f(X)=_*2+x

9

・•・/(X。=5

"3n'"'ZV"”在EH上单调递增，

[f(m)=3m

,l/(n)=3n,

二门’为方程,8）=3工的两根

—~x2-2x=0

■-2,

Am+n=——j-=-4

F故答案为：-4

【变式1-112.（2023・河北•高三考试）已知二次函数"幻=0犬+以8力‘初,

满足"1一幻=八1+幻，且在区间1T'°】上的最大值为3,若函数

以幻=-mx有唯一零点，则实数小的取值范围是（）

A[-2,0][-2,0u[2,+oo）

A.D.

r[-2,0：（—8,0）u[2,+8）

【答案】C

【分析】利用"1一、）=f（l+x）求出二次函数对称轴，得到4,的关系，再利用

最大值来确定°」的值，从而确定外幻的解析式，然后画出|〃幻|的图象，

g（x）=1八幻1—mx的零点等价于函数丫=If（喇和y=爪》的交点问题，通过图象

来进行求解.

【详解】解：已知二次函数"幻=0"2+加（QAWR）,满足f（ir）=f（】+幻,

即*是函数'（幻的对称轴,

--=1

即物,

即b=-2c,

・♦・/（x）^ax2-2ai

又.•・"外在区间L，q上的最大值为3,

若则外幻在区间Ll，°l上递减，

J・f(x)m»=f(-l)=a+2a=3a=3

9

解得d

此时，〃幻=小一25

若°〈°,则八幻在区间L1，。上递增,

f(x)n«=〃0)=0不成立，舍去，

综上所述J(x)=/-2x,

若函数g(x)=lf(x)|一mx有唯一零点，

即方程修仪”二皿有唯一实根，

画出丫="(")1和丫=作文的图象，如下所示：

当m=0时，y=l/(x)lflly=°有两个交点,

当m>0时，由皿=2“―/,

即f+(m-2)“=0

令A=(m—2产=0

解得："2,

由图象可知：小?2时，y=[f⑴|和y=mx有两个交点,

当0VmV2时y=|f(x)|和y=EX

有三个交点,

当°时，且>'=小"为曲线y=lf(x)l的切线时，只有一个交点，即为原点,

y=|/(x)|=x2-2x(x<0)

可得：皿=必一25

即Y—(2+m)x=°只有相等的两实根，

可得判别式A=[-(2+m)F=。，

解得：--2,

由图象可知：一？”(0时，

y=1徇1和y=小又只有一个交点，即为原点，

综上所述「的取值范围52,0)

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出“X)的解析式，并利用数形结合的

思想对小进行分类讨论.

【变式1-113.(2023・全国•高三专题练习)己知人口是二次函数，"-2)=0,

且2x"(x)4中，则f(】o)=

【答案】36

【分析】法一：由"-2)=0,可设

f(x)=(x+2)(ax+b)=M+(2a+b)x+2b则由f(x)>2]整理后即为

2

4Q2+b44ab+8。+4b—4由fM<得

(2a-l)x2+(4a+2b)x+4b-4<0讨论2a一1=0,2a-】KC可得出

=匕由此可解出4可求出外幻的解析式，即可得出答案.

法二：由2x</(x)<^^0</(x)-2x<l(x-2y,设

p(x)=a(x-2)(x-m)(a*0)讨论m#2和巾=2结合题目条件可解得°一"

可求出“幻的解析式，即可得出答案.

【详解】法一：

由八一2)=。可设小)=(x+2)(ax+b)=ax2+(2a+b)x+2b

则由f(x)>2］得ax2+(2a+b-2)x+2b<0

所以a之0且(2a+b-2)2£比2,整理后即为4Q?+fa244ab+8。+4b-4

/+4

由/'(x)4—^(2a-l)x2+(4a+2b)x-l-4b-4<0

若2"1=。则必有4a+2g0此时与(2a+b-2y<矛盾,

所以2a-1<0^(4a+2bf<4(2a-1)(4i-4)

整理后为4M+b?"4帅一8Q-4b+4,

与4a2+b244ab+8a+4b-4相加即得储十万44叫

即(2a-b)”0,所以2a=b,

所以f(幻=(x+2)(az+2a)=a(x+2)2

又由于在原不等式中令”=2可得44f⑵44,所以/"(2)=4,由此解得°='

「"(幻=总+2)%10)=36

所以4

法二：

2xgf(x)£?=0”(幻-2xq(x-2>

令ga)=f(%)-2*则g(-2)=4,&2)=0设g(x)=Q(%-2)(x-m)(aW0)

若m*则

|j(x-2)2-g(x)”=-g(2)=a(m-2)*0

于是如一2)＞0时,存在刈V2使得-2"-g(Xo)VO,矛盾;

皿一2)＜。时，存码＞2使得如。一2人取)＜。矛盾；

故"，令x=-2,则侬丁(-2)=4=a.

于是f(x)=9(x)+2x=沁-2＞+2x=沁+2)：进而,(1°)=3£

故答案为：36.

【变式1-114.(2023-全国•高三专题练习)设二次函数

向二m^-2x+ngn€R)若函数，(幻的值域为1°，+叫且f⑴42则

m2

"环的取值范围为

【答案】[1,13]

【分析】根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简而而后

利用不等式即可求出其范围.

1

X=—

【详解】二次函数f(x)对称轴为，

・・♦心)值域为1°,+81,

・丁＞0且fG)=°=巾,(i)"_；+rt=0n产：nmn=I0＞。

f⑴42=m—2+nW2=m+n＜4

9

•.41n.](mi♦l)(ni41)

2222

(EOW-ZE?——2♦-im*4-n)4-(m*n)-2(*n***2)(m-+«--1]

22m

=m-+n+2=m-+n+2=牙=。=*+叱一1

.m2+n2-l>2mn-1=1m2+n2-1=（m+n）2-3<42-3=13

♦•，，

m2R2

...而讨£[],[3]

故答案为：[1,13].

【变式（2023・全国•高三专题练习）已知二次函数》'=°必+b'+c（。，石,

。均为正数）过点（1'1值域为【°'+8）,则*的最大值为；实数为满足

1-b=入、®则入取值范围为r

【答案】n[3-2,+8）

[分析]由题意a+b+c=l（a>0,b>0,c>0）,^^b^4ac^Q所以

a+b+c=a+2v辰+c=l,进而得到、0+五=1,利用基本不等式求出的

可求”取值范围.

【详解】因为二次函数y=al+bx+c（°,幺°均为正数）过点（】」）,

・•・a+b+c=1（a>0,b>0,c>0：

开口向上且值域为【°'+8）,

AA=b2-4ac=0

・•・b=2\'a(

••・(Q+何2=1

G+8=1

・・・1=口+代＞2年耳，即卮当且仅当

4时等号成立.

^Jac<i,ac<—i

$即叫当且仅当,时等号成立,

,”的最大值为逗（当且仅当.

4时最大）,

v入=1—b=a+c=a+(l—、G>=2a—2va4-1

1即2a—2>/CLV0

a-v*a<0

・•・a-va=而(\0-1)<Or.'.0<va<1

z.0<a<1

==

♦••入)2I2^Q,—2=2^2-2~~pQ-

42,当且仅当”时，即2时，等号成立.

又.aTO时，vc

••A€[2^2-2,+8）

9

乂核.生4,T2[2＞历-2,+8）

故答案为：M；I

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件:

（1）“一正二定三相等““一正''就是各项必须为正数；

（2）"二定''就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求

积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能

取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

题型2构造函数法

一些双变量问题具有相同的形式，我们可以通过构造函数，进行变量统一，找到

共同的函数，分析所构造函数的单调性解决比较大小，最值取值范围等问题.

【例题2】（2021•海淀区校级月考）若/一夕"°-，则（）

Aln（y—x+1）>0ln（y—x+1）<0厂ln\xy\>0

ln\xy\<0

\J•

【答案】A

f（x）=2X-4

【分析】观察函数结构，通过移项，可构造函数3,通过判断函数的

单调性，即可得到欠和y的关系，然后根据选项验证即可.

X

【详解】解：若2丫一2》<u33r—3~y,即2-"<2^'-夕，

由于函数一丞是R上的增函数，且••・”<、，

・・・y-%+1>+故A正确、B错误，

由于不能得出।个呜1的大小关系，故不能确定,、口是否正确，

故选：A.

【变式2-111.（2023•辽宁锦州♦统考二模）已知实数“，二满足=且

e,lni=ze,v>1

x，若5L则（）

A.X>y>2B.X>2>y

C.y>Z>XD.y>X>2

【答案】D

【分析】首先根据题中的条件得到=°从而得到z<°；再根据时

”>出得到了>；,结合函数以“）=；。>1）的单调性得到>‘>”，从而得到

y>x>z

［详解］由01nx=y夕得歹一最，-------①

两式相加得丁+；一。因为>‘>所以7<°,又因为小>°，所以z<°；

因为丁一三y>\所以嬴>1即显>°,所以、>1；

令f（x）=Llnx（”>1］则/（幻=1一2三当x6（1,+8）时/"（x）〉。

所以f（x）=x_Inx在（1,+8）内单调递增，即X>1HX

所以丁口>工即一工

又令此）4（»,贝产（、）=亭=『…），

当”>1时，。（”）>°,所以以幻=；在（1'+8）内单调递增，所以由厂工得

到y”

所以y”>z

故选：D.

【变式2-112.（2021.山东泰安・统考模拟预测）已知°<“<b且满足"T=《,

则下列说法正确的是（）

A.I"-"IB.味+2a=—2,

C.Q>2D.不存在“满足0+b=l

【答案】D

【分析】令-利用导数求出单调性可判断A；对"T

数可得1rm-20=Inb-26，判断氏令f(x)=lnx-2x,利用导数求出单调性,

根据f(G="b)可求出。的范围;令Onx-加(…)Tx+2利用导数

求出单调性可判断D.

【详解】令«)=/_又_1,XV。，则〃x)=e«_]＜。，所以Kx)在区间

(一如°)内单调递减，所以«)＞“0)=0,又OVaVb,所以

7=。—b+1

'，A项错误;

ea-4=t_

对一小两边取自然对数得一一三I即Ma-2a=lni-2qB项错误;

令/■(X)=UIL2)则八外一、2-丁，故"幻在区间(°劣内单调递增，在

区间("8)内单调递戒，因为@)=〃％0＜。＜4所以c项错

误；

令g(x)=lnx-31r)Tx+2则，(幻==!^>0故以幻在

区间(°’9内单调递增，故当时，"外＜“9=°,所以不存在。a满

足a+b=LD项正确.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查根据已知条件判断不等式，解题的关键是构造合适

的函数，根据导数求Hi函数的变化情况判断.

【变式2-113.(2022秋・辽宁丹东•高三凤城市第一中学校考阶段练习)已知

s

|(x-2)+2019(z-2)=lt.k>r.v

x,yWA满足l(y-2)3+2019(y—2)=—1,若对任意的：>°,'恒成

立，则实数k的最小值为

【答案】4

((X-2)3+2019(X-2)=1

【分析】观察l(y-2)3+2019(y-2)=-l可构造函数

f(x)=(x-2)3+201%-2),分析其性质得出X,)的关系再进行不等式恒成立

的运用即可.

【详解】设"无)=(1)3+20眸-2),则八弧g(x)=/+201%往右平移

两个单位得来.

又g(x)=/+201%为单调递增的奇函数，且关于(0,0)对称

故f(x)=(“2)3+2°以”-2)为单调递增的函数且关于(2,0：对称

|(x-2)3+2019(x-2)=lm=2

Xl(y-2)3+2019(y-2)=-1可知(又」)©一】)关于(2，°：对称.故^■一，

即x+y=4又对任意的t>O,t+：2x+y-4恒成立.

即'°恒成立.故判别式A=42_仙4｛得k>4故”的最小值为4

故答案为4

【点睛】本题主要考查函数的对称性与恒成立问题.其中构造函数

f(x)=(x-2)3+2019(x-2)进行分析是关键，属于难题.

【变式2-114.(2021.黑龙江大庆.大庆实验中学校考模拟预测)已知实数满

足3x_y<ln(x+2y-3)+ln(2》_3y+5)贝产+y=

【答案】亍

【详解】分析：先构造函数/⑴"m+L根据函数单调性得〃8°,结

合条件得'=1，解得X,y,即得结果.

详解：令因为'⑴=：T=°C=',所以当°u<i时

f⑴>0当t>1时/⑴<。因此/'(。<f⑴=0即kit<r-l

所以ki(x+2y-3)4X+2y-3-1Jn(2x-3y+5)2x-3y+5-1

因此

ln(x+2y—3)4-ln(2x—3y+S)4x+2y—3-1+2x—3y+5—1=3x-y

因为3x-y<ln(x+2y-3)+ln(2x-3y+5)

所以"2"3=L2L3y+5=】「=；,y=Ax+y=?

点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.

如x>lnx+1,

【变式2/】5.（2022•江西九江・统考二模）若存在

正实数L'使得好+尸（1”一'）一"盯=（）（。€夫）成立，则。的取值范围

是.

【答案】>+8）

【分析】依题意可得1+51n上W=°,令则方程

1+4.Entat-0n有实根，即a=-,+tlnt有实根，令f（t）=一-+ti,nt,利用导数

研究函数的单调性、最值，从而求出参数的取值范围.

【详解】解：由必+月9_时）_。封=0得好+卢"/axy=。，等式两边

除以小得门勺*-Q”。，令X”〉。），则方程l+*n"a"。有实根,

a=i+tintf(t)=i+tintf\t)=-+1+Int

即，有实根，令八，，则,7，令

g（t）=f'⑷=-»1+hu则浜=»A0,/⑴在（。，+8）上单调递增,

又・.・八1）=0,J©在（0,1）上单调递减，在（1，+8）上单调递增一・.

f（t「=〃l）=l,；,要使a=2+”"为实根，则。；

故答案为Jl'+8）

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值及方程的有解问题，属中

档题

题型3同构法

当指对函数同时出现时，可以考虑进行同构化简，构造函数.

【例题3】（2021•龙凤区校级月考）已知不等式好+:矿+山11欠对于

任意+8）恒成立，则。的取值范围（）

A.B.[…）

C（-8,-1）口.（-8,一村

【答案】B

【分析】变换得到"N1廿.热门设f⑺X：等价于f⑺之加田）,

—a<（―）g（x）=—

即一出1nm'令ln\根据函数的单调性得到最值得到答案.

［详解］由丁乜‘ex+alnx>0得”—>尸,(-alnx)即4炉>\nx~a・e(lnx-°)

设fa）=—,则小尸―，（>i）,所以函数/（叫铲w（i,+8）

上是增函数，

所以不等式好"‘£"+Qi”方1°对于任意”E（1，+8）恒成立，等价于

/(x)>

所以”＞Inx：即“之一父对任意的”,1恒成立，

因为"1,所以12°,即一“"温对任意的”＞1恒成立，即一““启温,

令鼠幻二,贝产乃=图,由g（x）=o,得x=e,

所以当欠€（1声）时，g（x）＜°,函数9（幻在区间（1声）为减函数，当"W（%+8）时,

g（幻X,函数g（*）在区间（%+8）为增函数，

所以当”=2时，9（为取得最小值g（e）=e,所以一a"e,所以0岂一，又由己

知得a＜°,所以。的取值范围为1一°‘°）

故选：B.

【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题;

（2）若〃乃＞°就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最

终转化为""焉若，（幻＜°恒成立，转化为焉＜°

exi=­）nx?

【变式3-111.（2023•广东梅州・统考三模）已知实数乜也满足H

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】由已知可得“产二产九均”构造函数八幻=短，通过导数研究

Xi=Inx?XiX?

单调性，得2,结合对数的运算规则求,的值.

'""3,得W4,

【详解】由

由*J有枷寸=4,可得回叫=4

令f（x），（幻=3+1度由尸（幻>0,得x>-l由尸（幻<0,得x<-l,

所以函数八口在区间J8，一】）上单调递减，在区间（T，+8）上单调递增

当x>0时f（x）>0当xVO时f（x）<0

由，&）=（仁）=4则有小=*，所以门=，同=叶

因为、户=4所以”国T

故选：C

【点睛】思路点睛：

e，i=-Inx?="2Xic11==4

由已知叫，也得।2,找到共同特征，通过构造函

数八x）=xj利用导数研究函数性质，即可得到必一必“，可求的号的值.

【变式3-1］2.（2023秋・湖北黄冈•高三淹水县第一中学校考阶段练习）若函数

f（x）=ar-x（lnx-l）（。>0且0羊1）存在极大值点，则。的取值范围

是.

【答案】（°」）u（i同

【分析】将问题转化为‘（'）=球卜0一卜'=°有不等根，且左边导函数为正，右

边导函数为负数求解.

［详解］解：令f（x）=a"na_lnx=O

得1g（xina）=（lnx尸

令0（x）=xj即g3na）=g（lmr：

有。（x）=a+x）K当XVT时，g（x）<0,g⑴单调递减；

当X>T时，g（、）>0,g（x）单调递增，

当0>1时产加0>°,又0但在（6+8）上单调递增，且当xW（0,+8）必又）>0

xW(-8,0：g(x)<°Mg(xina)=g(lnx)>0=Inx>0=x>1

所以“na=S艮产有变号根,

令Mx）=?a>i）,贝产）=守（">1）

当1<x<%,*（幻小）递增，当X”时，MVO,M幻递减,

1

所以当时，"（出取得最大值"

此时f（E必存在一个零点，且这个零点的左边导函数为正，右边导函数为负数,

该零点即为极大值点，

1

所以。的取值范围是（°'1）U（1㈤，

故答案为：西

【变式3-113.（2022秋•南关区校级月考）设实数°,若对任意的

片_叱>0

*C（O,+8）,不等式°---成立，则实数m的取值范围是（

…)D.[…)

【答案】B

华Inx*、mx

k-——>n0'.....、，mxe2>2x\nx=2elnx-lrKt._.

【分析】把不等式m成立，转化为怛成工,

(\=xexg(?)皂gQnx：^->Inx

设函数9a3x)Xe,进而转化为'2，，恒成立，得出2恒成立,

h(x)=—2lnx

构造函数*，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

苧—位1>Qe苧>它mx

【详解】因为巾>°,不等式,me~^~>2\nx

m一成立，即一m成立，即

mx

7nx丁’叫亘成立,

进而转化为e-2rlnx=2e

构造函数以外=+,可得。⑶=/+叱=(%+1)已

当x>0,g(x)>0SCO单调递增,

mx

--In-j-T-A0g(7)皂g(lnx：^>lnx

则不等式2H出一恒成立等价于2恒成立，即2恒成立,

一

7712-2-1n--x

进而转化为X恒成立,

h(x)=7i(x)=2(1-Inx)

设X,可得

当0<“Ve时，九⑶>0,九⑺单调递增;

九⑺九⑺单调递减,

当"时,V0,

所以当函数九(乃取得最大值，最大值为""二；

m>>+co)

所以即实数机的取值范围是“7

故选：B

【变式3-114.(2022・全国•高三专题练习)设°,若存在正实数x,使得不等

式“8"一".2"之°成立，则k的最大值为

【答案】而

【分析】由题意可得四*(力(2,可令2k=°,则成立，通过取对数

和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到"的最大值.

k>g2t-k•2fcx>0<:^|logx>2kx=k)g//N2匕

【详解】法-：(同构法)12(2)

令,不等式化为

log^x>a1=雷之(4)'=(Inaje*1®0<Inx<=>(xlna)etlna4xlnx=(lnx)4

人f(x)=xd.f(xlna)</(Inx)

々，

由〃幻=(x+1心“幻在(O'+8)上单调递增，

...xlnaWlnx有解，

hu•l-fau