【高考数学 题型方法解密】专题01 均值不等式的“十一大方法与八大应用”(原卷及答案)-高考数学常考点 重难点复习攻略（新高考专用）

专题01均值不等式的“十一大方法与八大应用"

目录

一重难点题型方法.........................................................1

方法一：“定和”与“拼凑定和”...........................................1

方法二：“定积”与“拼凑定积”...........................................2

方法三：“和积化归”.....................................................3

方法四：“化1”与“拼凑化1”......................................................................................4

方法五：“不等式链”....................................................5

方法六：“复杂分式构造”.................................................5

方法七：“换元法”.......................................................6

方法八：“消元法”.......................................................7

方法九：“平方法”.......................................................7

方法十：“连续均值”.....................................................8

方法十一：“三元均值”...................................................8

应用一：在常用逻辑用语中的应用...........................................9

应用二：在函数中的应用...................................................9

应用三：在解三角形中的应用..............................................10

应用四：在平面向量中的应用..............................................10

应用五：在数列中的应用..................................................10

应用六：在立体几何中的应用..............................................11

应用七：在直线与圆中的应用..............................................11

应用八：在圆锥曲线中的应用..............................................12

二针对性巩固练习........................................................12

重难点题型方法

方法一：“定和”与“拼凑定和”

【典例分析】

典例1-1.(2021.陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0,y>0,且2x+3y=6,则

孙最大值为()

3

A.9B.6C.3D.-

2

典例1-2.(2022•湖南•雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0,且x+y=7,则

(l+x)(2+y)的最大值为()

A.36B.25C.16D.9

【方法技巧总结】

1.公式：若R,则〃+(当且仅当。=/?时取"二")

推论：(1)若则小十从之2"(2)«+->2(«>O)+

aab

2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相

等”

(1)“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积

的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取

等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用

不等式，等号成立条件是否一致.

3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形

式的可以进行拼凑补形，与函数有关的题型还会用到配系数法。

【变式训练】

1.（2022・上海•高三学业考试）已知x>l,y>l且lgx+lgy=4,那么lg»lgy的最大

值是（）

A.2B.y

C.-D.4

4

2.（2023・全国•高三专题练习）己知Ovxv；,则函数y=2x）的最大值是（）

A.；B.-C.~D.—

2489

方法二：“定积”与“拼凑定积”

【典例分析】

Io

典例2-1.（2022・四川•南江中学高三阶段练习（理））已知log2〃+log3=2,则一+工

ab

的最小值为（）

A.IB.2C.3D.4

典例2-2.（2022.重庆市育才中学高一期中）若。＞-3,则"+6“：13的最小值为（）

a+3

A.2B.4C.5D.6

【方法技巧总结】

L技巧：观察枳与和哪个是定值，根据“和定枳动，积定和动”来求解，不满足形

式的可以进行拼凑补形。与函数有关的题型还会用到正负变法、添项法、拆项法等。

【变式训练】

1.（2022・广东・惠州市华罗庚中学高一阶段练习）已知函数八刈=|1切，且

则"力的取值范围为（）

A.（2,+o＞）B.[2收）C.[10,珂D.（10,同

4

2.（2022・湖北•高一期中）函数/（幻=—^+x（x＜3）的最大值是（）

x-3

A.-4B.1C.5D.-1

方法三：“和积化归”

【典例分析】

典例3.（2022•山东山东•高一期中）已知x＞（）,y＞0,且X+〉+必，=3,若不等式

X+），「-团恒成立，则实数〃7的取值范围为（）

A.B.-1＜/?/＜2C.〃?＜一2或〃12/D./〃＜一1或"，之2

【方法技巧总结】

1.技巧：根据和与积的关系等式，结合均值不等式可以求出积或和的最值，这样的

方法叫做“和积化归”。

【变式训练】

1.（2022・山西师范大学实验中学高二阶段练习）已知正数。，〃满足〃+4b+2H=6,

则。+4〃的最小值为（）

A.1B.V?C.4D.5

方法四：“化1”与“拼凑化1”

【典例分析】

14

典例4-1.（2022・河北・衡水市第二中学高一期中）若两个正实数孤丁满足一+—=1,

且不等式X+:<3加_〃?有解，则实数加的取值范围为（）

A.[T,g）B.（-s,-l）D件+8

C.一9,1D.1一

121

典例4-2.（2022•江西宜春•高二阶段练习（理））已知均为正数，且----1----=—,

a+\b-22

则2々+〃的最小值为（）

A.8B.16C.24D.32

【方法技巧总结】

1.技巧：化1法流程为：①条件化1,与问题相乘，②将乘积式展开为四项，其中

两个含参，另外两个为常数，③对其适用均值定理推论进行求最值。

2.注意：要先观察条件与问题的形式，需满足条件与问题分别为（或可整理为）两

个含单参数的单项式相加的形式，且这四个单项式有两个参数在分母，另外两个参

数在分子。

【变式训练】

1.（2022•广东・广州市第九十七中学高一阶段练习）已知正数〃满足狗x啦7=3,

则3a+2〃的最小值为（）

A.10B.12C.18D.24

2.（2022・四川外国语大学附属外国语学校高一期中）设正实数X），满是3x+]=2,

46

则五力+言的最小值为（）

A.B.3五C.D.472

44

方法五：“不等式链”

【典例分析】

典例5.（2022・全国•高三专题练习（文））若x>0,）>0且4+产2,则下列结论中

正确的是（）

A.f+y2的最小值是1B.岁的最大值是:

4

21

C.一十一的最小值是4应D.6+6的最大值是2

xy

【方法技巧总结】

1.公式：了一4疝二等（a,bwR"）

---1---

ab

2.技巧：上式由左至右分别为调和平均数、几何平均数、代数平均数、平方平均数。

另外，不等式链可进行平方，会得到一个新的不等式链也可直接适用，注意此时

a,bERo

【变式训练】

1.（2022・广东・博罗县东江广雅学校有限公司高一阶段练习）若/+从=2,下列结

论错误的是（）

A.必的最大值为1B.必的最小值为-1

C.〃的最大值为2&D.（〃+力而的最大值为2

方法六：“复杂分式构造”

【典例分析】

典例6.（2022・江苏・歌风中学高一阶段练习）设正实数XXZ满足.己3D，+4产z=0,则

当£取得最大值时，2+1心的最大值为（）

zxyz

9

A.9B.1C.-D.3

4

【方法技巧总结】

L技巧:把分式化为齐次式，可通过拼凑和同除的方法进行构造出均值定理的形式再

进行求解最值。

2.注意：要观察取等条件，看是否满足定义区间。

【变式训练】

1.（2022•河北张家口•高二期末）函数的最大值是（）

753

A.2B.-C.-D.-

444

方法七：“换元法”

【典例分析】

典例7.（2022•江西•南昌二中高三阶段练习（理））已知正数”,满足

38,

E万+函许'则"的最小值是（）

【方法技巧总结】

L方法：代数换元、三角换元。

2.技巧：代数换元：先对等式进行拼凑补形，再进行换元，结合函数以及导数确定

单调性进而求解最值。三角换元：结合三角函数知识，将已知多个变量转化为三角

变量，进而化归为三角函数，结合三角函数最值求法来求解。

【变式训练】

1.（2023・全国•高三专题练习）设〃>0,b>0,若/+〃一6岫=i,则&Ja〃的最

大值为（）

A.3+白B.2石C.1+6D.2+6

方法八：“消元法”

【典例分析】

典例8.（2022•四川省眉山第一中学高一阶段练习）设“0,母+6=1,则得的最小值

为（）

A.0B.1C.2D.4

【方法技巧总结】

1.技巧:对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方

法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过

构造比值消元.

【变式训练】

1.（2022・四川成都•三模（理））若实数团，〃满足）〃=J2〃L〃?2,贝|]2切+石〃一2的

最大值为（）.

A.2B.3C.2>/3D.4

方法九：“平方法”

【典例分析】

典例9.（2016•上海市七宝中学高一期中）已知苍）>。，那么牛近的最大值为

A.2B.及C.3D.75

【方法技巧总结】

1.技巧：当碰到含多个根号的形式或条件与问题次塞不统一时可以尝试对其平方,

再进一步构造进而形成可用均值定理的形式。

【变式训练】

1.（2022•江苏苏州.高一期中）已知正实数&〃满足”+b=则£+M的最小值

24+12Z;+I

是（）

A.2B."C.卫D.巨

16124

方法十：“连续均值”

【典例分析】

典例10.（2023・全国•高三专题练习）若小b,c均为正实数，则，,的最大

cr+2b'+c~

值为（）

【方法技巧总结】

1.技巧：连续适用均值定理要注意不等号方向的统一，以及取等情况的合理性。

【变式训练】

1.（2022•全国•高三专题练习）设正实数X，〉满足工＞］），＞1,不等式0T+—12加

2y-\2x-l

恒成立，则加的最大值为（）

A.8B.16C.2x/2D.4A/2

方法十一：“三元均值”

【典例分析】

典例11.（2022•河南郑州•高二期末（文））已知x,〉，,2eRS且x+y+z=30,则

lgx+lg.y+lgz的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧总结】

1.公式：史誓竺之阿丁，Q,b,C都是正实数。

【变式训练】

1.（2021・陕西・咸阳市实验中学高二阶段练习（文））已知都是正实数，且

ab+bc+ac=\,则（ibc的最大值是（）

A.立B.立C.1D.73

93

应用一：在常用逻辑用语中的应用

【典例分析】

典例12.（院豫名校联盟2023届高三上学期第二次联考数学试题）“K2”是

“si/x-asinx+l＞。在（0㈤上恒成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式训练】

1.（2022•云南・建水实验中学高一阶段练习）若存在；,2，使得2石-/％+1<0成

立是假命题，则实数义可能取值是（）

A.272B.2垂>C.4D.5

应用二：在函数中的应用

【典例分析】

典例13.（2022•江苏・淮阴中学高一期中）奇函数〃力在R上单调递增，若正数〃L

〃满足/-+/（〃-1）=0,则前+上的最小值（）

\^）n

A.3B.4x/2C.2+2应D.3+2五

【变式训练】

1.（2021・重庆・字水中学高一阶段练习）设二次函数”"）=加-4x+c（xsR）的值

域为［O,XC）,则一1+-^的最大值为

c+1a+9

A.B.gC.1D.

2533526

应用三：在解三角形中的应用

【典例分析】

典例14.（2022•黑龙江・大庆实验中学高三开学考试）在X8C中，角A,B,。的对

边分别为a,b,c,E^（a+〃）（sinA-sinb）=c（sinC+sin5）,若角A的内角平分线A。

的长为3,则助+c最小值为（）

A.21B.24C.27D.36

【变式训练】

1.（2023•江西景德镇•模拟预测（理））已知/3C中，设角A、B、C所对的边分别

C

为〃、b、c,A8C的面积为S,^3sin2B+2sin2C=sinA（sinA+2sinBsinC）,则77的

值为（）

A.-B.IC.1D.2

42

应用四：在平面向量中的应用

【典例分析】

典例15.（2022・四川・南江中学高三阶段练习（文））己知向量满足何刁，|中2,

a与b的夹角为且实数X、y满足"+M=G,则x+2），的最大值为（）

A.IB.2C.3D.4

【变式训练】

1.（2022・山东济宁・高三期中）已知向量6=（〃-5/）/=（11+1）,若。＞0.）＞0,且阳_1〃,

则广=7十丁二的最小值为（）

3a+2b2a+3b

A.—B.--C.—D.--

5101520

应用五：在数列中的应用

【典例分析】

典例16.（2022.甘肃.高台县第一中学模拟预测（文））已知正项等比数列也｝满足

oI

4=品勺（其中"7WN"）,则一+一的最小值为（）.

mn

3

A.6B.16C.yD.2

【变式训练】

1.（2022•全国•模拟预测）已知a>0,/2>0,9是3"与27"的等比中项，贝1」伫匚+近土1

ab

最小值为（）

A.9+2遥B.21+26

4

C.7D.、+2-

3

应用六：在立体几何中的应用

【典例分析】

典例17.（2007•全国•高考真题（文））圆柱釉截面的周长/为定值，那么圆柱体积的

最大值是（）

A•如B.MC.陟D,2眇

【变式训练】

1.（2022•宁夏・平罗中学高二期中（理））已知三棱柱ABC—的外接球的半径

为R,若平面A8C,△A8c是等边三角形，则三棱柱ABC—A山iCi的侧面积

的最大值为（）

A.4石R?B.6R2C.3x/3/?2D.3R2

应用七：在直线和圆中的应用

【典例分析】

典例18.（2022•四川省成都市第八中学校高二期中）已知圆G"2*+2y=0与

圆G小七V?=。的公共弦所在直线恒过定点〃且点/，在直线的-，少-2-0上

（〃?>0/>0）,则〃巩的最大值是（）

A。B—C-D—

A.4E2。8口4

【变式训练】

1.（2022・河北・石家庄市第十八中学高二阶段练习）若第一象限内的点（〃?,〃）关于直

线x+y—2=0的对称点在直线2\+），+3=0上，则的最小值是（）

tnn

17

A.25B.—C.17D.—

99

应用八：在圆锥曲线中的应用

【典例分析】

典例19.（2022♦广西贵港.高三阶段练习）已知椭圆C:£+[=l（a>6>0）的离

a~b~

心率为当，直线/：y=h"H。）交椭圆C于AB两点，点。在椭圆C上（与点AI不

重合）.若直线AZ）,8。的斜率分别为*k，则-的最小值为（）

A.2B.2GC.4D.472

【变式训练】

1.（2021•陕西汉中•模拟预测（理））设O为坐标原点，直线x与双曲线

。£-营口”>。吠。）的两条渐近线分别交于。上两点.若一8匠的面积为2,则双曲

线C的焦距的最小值为（）

A.2B.4C.8D.16

针对性巩固练习

练习一：“定和”与“拼凑定和”

x-2

1.（2022•江西•高三阶段练习（文））己知x>0,y>0,1I=5',则孙的最大值

<25

为（）

A.2B-IcID-I

2.（2022・河南•平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））已知x>0,y>0,

若4x+y=l,则（4x+l）（y+l）的最大值为（）.

913

A.-B.-C.-D.1

444

练习二：“定积”与“拼凑定积”

3.（2022・河南•驻马店开发区高级中学高三阶段练习（文））已知正数。力满足

S+5b）（为+a=36,则。+»的最小值为（）

A.16B.12C.8D.4

4.（2021・全国•高一专题练习）已知x<3,则一二十、的最大值是（）

x-3

A.-1B.-2C.2D.7

练习三：“和积化归”

5.（2022•山东泰安•高——期中）若〃>0，6>0,且〃Z?=a+b+3,则a+）的最小值为（）

A.2B.6C.9D.12

练习四：“化1”与“拼凑化1”

6.（2022・湖北•十堰市天河英才高中有限公司高一阶段练习）已知人>（）,），>。且

4x+y=xy.若x+y>加+8加恒成立,则实数力的取值范围是（）

A."梅之^，B.{〃加〈-3}C.D.{〃?|一9<1}

7.（2022•河南省浚县第一中学高一阶段练习）若x>0,y>0,且<+一匚之，则

x+\x+y

2x+y的最小值为（）

A.2B.3C.4D.8

练习五：“不等式链”

8.（2020・上海市七宝中学高一阶段练习）己知"0,"。，若"〃=4,则（）

A./+〃有最小值4B.必有最大值2

C.，+；有最大值1D.「I乐有最小值半

ab+4

练习六：”复杂分式构造”

9.（2022•河南•洛宁县笫一高级中学高一阶段练习）已知不等式加+2力/注0

对于一切实数x恒成立，且天°wR,使得。帛+2%+方=0成立，则RI的最小值为

a-b

（）

A.1B.V?C.2D.2V2

练习七：“换元法”

1U.（2U22・全国♦模拟预测）已知函数/（*）='a\）+in2^<r<2J若存在

0<av〃<c<2使得/（a）=/（〃）=/（c）,则，■+1+'的取值范围是（）

练习八：“消元法”

11.（2023・江西・贵溪市实验中学高三阶段练习（理））已知正数4〃满足/一2"+4=0,

则。的最小值为（）

4

A.1B.V5C.2D.20

练习九：“平方法”

12.（2022・辽宁抚顺•高三期中）对任意的正实数LV,4+而《人历？恒成立，

则女的最小值为（）

A.y/5B.V6C.2V2D.Vio

练习十，“连续均值”

13.（2022・全国.模拟预测）已知a>0,〃>0,c>[,a+2b=2,贝0+0+27的

\ab）c-\

最小值为（）

921

A.-B.2C.6D.—

22

练习十一：“三元均值”

14.（2022•陕西•西安市阎良区关山中学高二期中（文））已知正数m4c满足

a+b+c=9f则。机,的最大值为（）

A.32B.9C.18D.27

练习十二：在常用逻辑用语中的应用

15.（2022•广东广州•高三期中）设贝『力+八1”是“±+428"的（）

a~b-

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

练习十三：在函数中的应用

16.（2023・重庆・高三阶段练习）已知函数/（x）=ln（庐口-工）+1,正实数4〃满足

/(2a)+/S-4)=2,则辿+的最小值为()

a2ab+b

A.1B.2C.4D.年

o

练习十四：在解三角形中的应用

17.（2022・湖北•高二期中）在/UBC中，角4,B,C所对的边分别为a",c,=

AD是N4的平分线，AD=6AB>\,则匕+勿的最小值是（）

A.6B.3-242C.3+20D.10

练习十五：在平面向量中的应用

18.（2022•江苏盐城•模拟预测）在中，过重心E任作一直线分别交48,AC

于M,N两点，设而？=淳5,AN=yAC^（x>（）,.y>0）,则4x+y的最小值是（）

410

A.-B.—C.3D.2

33

练习十六：在数列中的应用

19.（2022•广东广州•高二期中）已知各项为正的数列｛qj的前〃项和为工，满足

"=；（%+1则三告的最小值为（）

44十-

9

A.-B.4C.3D.2

2

练习十七：在立体几何中的应用

20.（2022•四川•石室中学高三阶段练习（文））已知圆柱的侧面积为2乃，其外接球

的表面积为S,则5的最小值为（）

A.44B.5%C.64D.9乃

练习十八：在直线和圆中的应用

21.（2022・全国•高三专题练习）若直线or+切=23>0力>0）经过圆

14

丁+丫2-2］一2），+1=0的圆心，则一+二的最小值是（）

ab

79

A.-B.4C.5D.-

22

练习十九：在圆锥曲线中的应用

22.（2022・广西广西•模斗预测（理））双曲线与=Ka>0,匕>0）的左右顶点分

a~b~

别为AI,曲线M上的一点C关于x轴的对称点为0,若直线4c的斜率为川，直线

9

8。的斜率为〃，则当〃皿+—取到最小值时，双曲线离心率为（）

A.6B.2C.3D.

专题01均值不等式的“十一大方法与八大应用"

目录

一重难点题型方法.....................................................1

方法一：“定和”与“拼凑定和”...........................................1

方法二：“定积”与“拼凑定积”...........................................3

方法三：“和积化归”.....................................................5

方法四：“化1”与“拼凑化1”...................................................................................................................6

方法五：“不等式链”....................................................9

方法六：“复杂分式构造”................................................10

方法七：“换元法”......................................................12

方法八：“消元法”......................................................14

方法九：“平方法”......................................................15

方法十：“连续均值”....................................................16

方法十一：“三元均值”..................................................18

应用一：在常用逻辑用语中的应用..........................................19

应用二：在函数中的应用..................................................20

应用三：在解三角形中的应用..............................................21

应用四：在平面向量中的应用..............................................23

应用五：在数列中的应用..................................................24

应用六：在立体几何中的应用..............................................25

应用七：在直线与圆中的应用..............................................27

应用八：在圆锥曲线中的应用..............................................28

二针对性巩固练习........................................................30

重难点题型方法

方法一：“定和”与“拼凑定和”

【典例分析】

典例1」.（2021.陕西省神木中学高二阶段练习）若x>0,y>0,且2x+3），=6,则

孙最大值为（）

3

A.9B.6C.3D.T

【答案】D

【分析】由x>0，）>0,且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.

【详解】因为x>（）,丁>。，且2x+3y=6,

所以孙=3x2jr3yw［（^!^J=_|,

当且仅当2x=3y,即x=；,y=l时，等号成立，

即孙,的最大值为刁.

故选：D.

典例1-2.（2022•湖南・雅礼中学高三阶段练习）已知x>0,>>。，且x+y=7,则

（l+x）（2+），）的最大值为（）

A.36B.25C.16D.9

【答案】B

【分析】由x+"7,得(x+l)+(y+2)=10,再利用基本不等式即可得解.

【详解】解：由工+>=7,得(4+l)+(y+2)=10,

则(1+X)(2+)，)K(l+H；(2+y)=25,

当且仅当l+x=2+y,艮lx=4,y=3时,取等号，

所以(l+x)(2+y)的最大值为25.

故选：B.

【方法技巧总结】

L公式：若a,bwR\则。+匕22疯(当且仅当。=人时取"二”)

推论：(1)若£氏，则/+〃(2)a+->2(a>0)(3)-+->2(t/,Z?>0)

ciab

2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相

等”

(1)“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积

的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取

等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用

不等式，等号成立条件是否一致.

3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形

式的可以进行拼凑补形，与函数有关的题型还会用到配系数法。

【变式训练】

1.(2022•上海•高三学业考试)已知心>1,y>l且lg;HHgy=4,那么1g⑹gy的最大

值是()

A.2B.J

C.vD.4

4

【答案】D

【分析】根据基本不等式求解即可.

【详解】Vx>l,y>l,/.lgx>0,lg)>0,1gx-1gjlgv=(g=4,

当且仅当lg.r=lgy=2,即x=y=100时等号成立.

故选：D.

2.(2023•全国•高三专题练习)已知0<*<；,则函数y=MJ2x)的最大值是()

A.yB.—C.—D.1

2489

【答案】C

【分析】将y=Ml-2x)叱为：x2x(l-2x),利用基本不等式即可求得答案.

【详解】•.,0<x<g,/.l-2x>0,

.八r、1c八c、，12x+(l-2x)1

..x(l-2x)=—x2x(1-2x)<—x[r---------]P~=-,

当且仅当2x=l-2x时，即x=g时等号成立，

因此，函数¥=吊1-2幻,(0<3<:)的最大值为：，

2o

故选：C.

方法二：“定积”与“拼凑定积”

【典例分析】

典例2-1.（2022•四川•南江中学高三阶段练习（理））已知Iog2〃+log2〃=2,则L名

ab

的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据对数运算可求得必=4,再用基本不等式即可求得最小值.

【详解】山已知得。>0,〃>0.

因为log2“+log2〃=log2a〃=2,所以必=4.

%+白舟3.

\_=9

~ci~~b2

当且仅当。力=4,即，时等号成立.

A>0b=6

b>0

所以，：的最小值为3.

ab

故选：C.

典例2-2.（2022•重庆市育才中学高一期中）若0-3,则，+6〃：13的最小值为（）

4+3

A.2B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】对'+6。y3变形后,利用基本不等式进行求解最小值.

4+3

【详解】因为〃>-3,所以〃+3>0,义>0,

4+3

由基本不等式得〃2+6叱］3」/3）2+4/工=%

4+34+3\7。+3V74+3

当且仅当"3=<，即〃=-1时，等号成立，

故止答的最小值为4.

故选：B

【方法技巧总结】

1.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形

式的可以进行拼凑补形，与函数有关的题型还会用到正负变法、添项法、拆项法等。

【变式训练】

1.(2022・广东・惠州市华罗庚中学高一阶段练习)已知函数=切，且/5)=/(〃)，

则的取值范围为()

A.(2,9)B.[2收)C.[10,珂D.(10,同

【答案】A

【分析】先根据条件找巴。力之间的关系式，然后消去一个元后运用基本不等式可得.

【详解】由题意不妨设则/(〃)=-3=/9)=但〃，

,,,1,1

二.必=1,。=一,:.a+b=a+—尼=2.当且仅当〃=1时取等号,

aa

故a+〃>2

故选：A.

4

2.(2022・湖北•高一期中)函数/*)=―^+x*<3)的最大值是()

x-3

A.-4B.1C.5D.-1

【答案】D

【分析】将函数等价变换为/（x）=-（37+白）+3,再利用基木不等式求解即可.

3-x

【详解】解：门",.匕-3〉。，

则/（X）=-（3t+J-）+3,,-2J（37）•二+3=-1（当且仅当3-工=4，即x=l时,

3-xV3-x3-x

取等号），

即当x=l时，/（X）取得最大值T.

故选：D.

方法三：“和积化归”

【典例分析】

典例3.（2022•山东山东•高一期中）已知x>0,y>0,且X+），+M，=3,若不等式

x+）亚〃『-机恒成立，则实数〃7的取值范围为（：

A.-2S，"S1B.-\<m<2

C.in<-2ng>7D.m

【答案】B

【分析】首先根据基本不等式得到（、+）%加=2,结合题意得到〃-，〃wa+xL，即

nf—m<2f再解不等式即可.

【详解】封=3-"+），）《经上，当且仅当x=y=i时等号成立，

解得％+”2,即（工+味广？.

因为不等式上+》之>一机恒成立，

所以〃--〃[4彳+月,”即加2一机<2,解得一1<相<2.

故选：B

【方法技巧总结】

1.技巧：根据和与积的关系等式，结合均值不等式可以求出积或和的最值，这样的

方法叫做“和积化归”。

【变式训练】

1.(2022・山西师范大学实验中学高二阶段练习)已知正数小人满足。+40+为而=6,

则。+劭的最小值为()

A.1B.V?C.4D.5

【答案】C

【分析】由基本不等式得出关于。+助的不等式，解之可得.

【详解】由已知6-(〃+4b)=2ab<:.("；,2,当且以当a=4〃时等号成立，

所以(〃+4/?)2+8(a+4b)-48>0,(a+4〃-4)(〃+4/?+12)>0,

又。>0,6>0,所以a+4b34,即a+46的最小值是d,此时a=2,Z>=1.

故选：C.

方法四：“化1”与“拼凑化1”

【典例分析】

14

典例4-1.(2022・河北・衡水市第二中学高一期中)若两个正实数乂了满足一+一=1,

x)'

且不等式x+q<3>—〃?有解，则实数〃［的取值范围为()

4

A.-1g)B.(-8,T)D(g,+a>

4

D.-co,--v(l,+oo)

3

【答案】B

【分析】根据基本不等式，结合不等式有解的性质进行求解即可.

【详解】••不等式工+:<3/_〃?有解，:.x+：<3/一见—>0,),>0,且一+一=1,

4I4人Mxy

沪印”+92之2、"+2=4‘当且仅当竺=六，I

4I4八%y)y4x\y4xy4%

*=2,旷=8时取“="，/.x+^=4,故3切2_〃?>4,即(6+1)(36―4)>0,解得，〃<一1

V4，min

或〃?>[,.•.实数加的取值范围是