2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.3不同函数增长的差异课时作业含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE5课时作业34不同函数增长的差异时间：45分钟——基础巩固类——eq\a\vs4\al(一、选择题)1．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：x123…y125…下面的函数关系式中，能表达这种关系的是(D)A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋12．以下四种说法中，正确的是(D)A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对随意的x>0，xn>logaxC．对随意的x>0，ax>logaxD．不肯定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当0<a<1时，明显不成立．当a>1，n>0时，肯定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不成立．3．三个变量y1，y2，y3随着变量x的改变状况如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数改变的变量依次为(C)A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2解析：通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的改变符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的改变符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的改变符合此规律，故选C.4．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长快速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(D)A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数解析：因其增长速度越来越慢，符合对数函数的特征．5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严峻，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(C)A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16x解析：将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．6．把物体放在冷空气中冷却，假如物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90℃的物体，放在10℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50℃，那么t的值约等于(参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693)(B)A．1.78 B．2.77C．2.89 D．4.40解析：由题意可知50＝10＋(90－10)e－0.25t，整理得e－0.25t＝eq\f(1,2)，即－0.25t＝lneq\f(1,2)＝－ln2＝－0.693，解得t≈2.77.eq\a\vs4\al(二、填空题)7．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是y＝x2.解析：当x变大时，x比lnx增长要快，∴x2要比xlnx增长的要快．8．电子技术快速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低eq\f(1,3)，则现在价格为4050元的计算机经过15年后价格应降为1_200元．解析：4050×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3＝4050×eq\f(8,27)＝1200(元)．9．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量快速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度削减，为了保障交通平安，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过5小时才能开车．(精确到1小时，参考数据lg2≈0.30，lg3≈0.48)解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.依据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，在不等式两边取常用对数，则有nlgeq\f(3,4)＝n(lg3－2lg2)≤lg0.3＝lg3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥eq\f(13,3)＝4eq\f(1,3)，故至少经过5小时才能开车．eq\a\vs4\al(三、解答题)10．画出函数f(x)＝eq\r(x)与函数g(x)＝eq\f(1,4)x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．解：函数f(x)与g(x)的图象如图：依据图象易得：当0≤x<4时，f(x)>g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x>4时，f(x)<g(x)．11．“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的学习时间．假设“学习曲线”符合函数t＝5log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(N,B)))(B为常数)，N(单位：字)表示某一英文词汇量水平，t(单位：天)表示达到这一英文词汇量所须要的学习时间．(1)已知某人练习达到40个词汇量时须要10天，求该人的学习曲线解析式．(2)他学习几天能驾驭160个词汇量？(3)假如他学习时间大于30天，他的词汇量状况如何？解：(1)把t＝10，N＝40代入t＝5log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(N,B)))，得10＝5log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,B)))，解得B＝10，所以t＝5log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(N,10)))(N>0)．(2)当N＝160时，t＝5log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(160,10)))＝5log216＝20(天)．(3)当t>30时，5log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(N,10)))>30，解得N>640，所以学习时间大于30天，他的词汇量大于640个．——实力提升类——12．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是(D)解析：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)．函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象．13．某地发生地震后，地震专家对该地区发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：强度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震级(里氏)5.05.25.35.4(注：地震强度是指地震时释放的能量．)地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝algx＋b(其中a，b为常数)．利用散点图可知a的值等于eq\f(2,3).(取lg2＝0.3进行计算)解析：由模拟函数及散点图得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(alg1.6＋b＝5，,alg3.2＋b＝5.2，))两式相减得a(lg3.2－lg1.6)＝0.2，alg2＝0.2，a＝eq\f(2,3).14．某企业常年生产一种出口产品，依据预料可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2008年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))x＋a.(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2008年和2010年的数据求出相应的解析式；(2)因遭遇某国对该产品进行反倾销的影响，2024年的年产量比预料削减30%，试依据所建立的函数模型，确定2024年的年产量．解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，理由：若模型为f(x)＝2x＋a，则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．若模型为f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))x＋a，则f(x)是减函数，与已知不符合．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c