2025届高考数学一轮复习第8章平面解析几何第7讲抛物线创新教学案含解析新人教版

PAGE1-第7讲抛物线[考纲解读]1.驾驭抛物线的定义、几何图形、标准方程及简洁的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点)2．能依据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行敏捷转化，并能理解数形结合思想，驾驭抛物线的简洁应用．(难点)[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预料2024年高考将会考查：①抛物线的定义及其应用；②抛物线的几何性质；③直线与抛物线的位置关系及抛物线与椭圆或双曲线的综合．试题以选择题、填空题、解答题形式呈现，敏捷多变、技巧性强，具有肯定的区分度．试题中等偏难.1.抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的eq\o(□,\s\up1(01))焦点，直线l叫做抛物线的eq\o(□,\s\up1(02))准线．2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：eq\o(□,\s\up1(01))焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴eq\o(□,\s\up1(02))y＝0eq\o(□,\s\up1(03))x＝0焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\o(□,\s\up1(04))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\o(□,\s\up1(05))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)eq\o(□,\s\up1(06))y＝－eq\f(p,2)eq\o(□,\s\up1(07))y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下3．必记结论(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．(2)y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq\f(a,4).(3)直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2eq\r(x1x2)＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)为定值eq\f(2,p).④弦长AB＝eq\f(2p,sin2α)(α为AB的倾斜角)．⑤以AB为直径的圆与准线相切．⑥焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.1．概念辨析(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹肯定是抛物线．()(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq\f(a,4).()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线肯定相切．()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．小题热身(1)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.eq\f(17,16) B.eq\f(15,16)C.eq\f(7,8) D．0答案B解析M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－eq\f(1,16)，设M(x，y)，则y＋eq\f(1,16)＝1，∴y＝eq\f(15,16).(2)抛物线y＝2x2的准线方程是()A．x＝eq\f(1,2) B．x＝－eq\f(1,2)C．y＝eq\f(1,8) D．y＝－eq\f(1,8)答案D解析抛物线y＝2x2的方程可化为x2＝eq\f(y,2)，其准线方程为y＝－eq\f(1,8).(3)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－x B．x2＝－8yC．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y答案D解析设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.故选D.(4)若过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()A．8 B．16C．32 D．64答案B解析由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.故选B.题型一抛物线的定义及应用1．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝－12y D．x2＝12y答案D解析由题意，得动圆的圆心到直线y＝－3的距离和到点F(3,0)的距离相等，所以动圆的圆心是以点F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，其方程为x2＝12y.2．(2024·沈阳模拟)抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为eq\f(9,2)，则点M到坐标原点的距离为________．答案3eq\r(3)解析由题意，知焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，准线方程为x＝－eq\f(3,2)，点M(x1，y1)到焦点的距离等于它到准线的距离，所以x1＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2)，解得x1＝3，所以yeq\o\al(2,1)＝18，所以|OM|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))＝3eq\r(3).条件探究将本例中的条件变为“在抛物线上找一点M，使|MA|＋|MF|最小，其中A(3,2)”．则点M的坐标为________，此时的最小值为________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))eq\f(9,2)解析如图，点A在抛物线y2＝6x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|，其中|MH|为点M到抛物线的准线的距离．过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MH|≥|AB|＝3－－eq\f(3,2)＝eq\f(9,2)，当且仅当点M在M1的位置时等号成立．即|MA|＋|MF|的最小值为eq\f(9,2)，此时点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2)).利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．见举例说明1.(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，留意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．见举例说明2.(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．1．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2答案B解析设P(xP，yP)，由题意，得抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，又点P到焦点F的距离为2，∴由抛物线的定义知点P到准线的距离为2，∴xP＋1＝2，得xP＝1，代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝eq\f(1,2)·|OF|·|yP|＝eq\f(1,2)×1×2＝1.2．(2024·山西高校附中模拟)已知点Q(2eq\r(2)，0)及抛物线y＝eq\f(x2,4)上一动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是________．答案2解析抛物线y＝eq\f(x2,4)即x2＝4y，其焦点坐标为点F(0,1)，准线方程为y＝－1.因为点Q的坐标为(2eq\r(2)，0)，所以|FQ|＝eq\r(2\r(2)2＋12)＝3.过点P作准线的垂线PH，交x轴于点D，如图所示．结合抛物线的定义，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2.题型二抛物线的标准方程和几何性质1．(2024·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝()A．2 B．3C．4 D．8答案D解析抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\r(2p)，0)).由题意得eq\f(p,2)＝eq\r(2p)，解得p＝0(舍去)或p＝8.故选D.2．(2024·北京高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．答案(x－1)2＋y2＝4解析抛物线y2＝4x的焦点F坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.3．如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米须要用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长度．解建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，因为抛物线过点B(10，－4)，所以102＝－2p·(－4)，解得p＝eq\f(25,2)，所以x2＝－25y，当x＝2时，y＝－eq\f(4,25)，所以最长支柱长为4－|y|＝4－eq\f(4,25)＝3.84(m)．1．求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要驾驭焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p的关系．见举例说明2.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类探讨，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．见举例说明3.2．抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)要结合图形分析，敏捷运用平面图形的性质简化运算．1．已知A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是()A．x＝－1 B．y＝－1C．x＝－2 D．y＝－2答案A解析过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D(图略)．因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.2．(2024·荆门模拟)抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F，过C上一点D作直线DE垂直准线于点E，△DEF恰好为等腰直角三角形，其面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝2x B．y2＝2eq\r(2)xC．y2＝4x D．y2＝4eq\r(2)x答案D解析依据抛物线的定义，得|DF|＝|DE|，又△DEF恰好为等腰直角三角形，所以∠EDF＝90°，∴eq\f(1,2)|DE|·|DF|＝4，∴|DE|＝|DF|＝2eq\r(2)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)－\f(p,2)，±2\r(2)))，将其代入y2＝2px，得8＝2p·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)－\f(p,2)))，解得p＝2eq\r(2).∴抛物线方程为y2＝4eq\r(2)x.3．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线放射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为()A.eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3)C．±eq\f(4,3) D．－eq\f(16,9)答案B解析令y＝1，代入y2＝4x可得x＝eq\f(1,4)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以k＝eq\f(1－0,\f(1,4)－1)＝－eq\f(4,3).故选B.题型三直线与抛物线综合问题角度1直线与抛物线相切问题1．(2024·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝eq\f(x2,2)，D为直线y＝－eq\f(1,2)上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．解(1)证明：设Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，－\f(1,2)))，A(x1，y1)，则xeq\o\al(2,1)＝2y1.因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故eq\f(y1＋\f(1,2),x1－t)＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.所以直线AB过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋eq\f(1,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝tx＋\f(1,2)，,y＝\f(x2,2)))可得x2－2tx－1＝0.于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，|AB|＝eq\r(1＋t2)|x1－x2|＝eq\r(1＋t2)×eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2(t2＋1)．设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝eq\r(t2＋1)，d2＝eq\f(2,\r(t2＋1)).因此，四边形ADBE的面积S＝eq\f(1,2)|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3)eq\r(t2＋1).设M为线段AB的中点，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，t2＋\f(1,2))).因为eq\o(EM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，而eq\o(EM,\s\up6(→))＝(t，t2－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4eq\r(2).因此，四边形ADBE的面积为3或4eq\r(2).角度2过焦点的直线与抛物线相交问题2．(2024·湖南长郡中学模拟)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，E为其准线与x轴的交点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，M为线段AB的中点，且|ME|＝eq\r(11)，则|AB|＝()A．6 B．3eq\r(3)C．8 D．9答案A解析依据题意，知直线AB的斜率存在且不为零，抛物线的焦点坐标是F(1,0)．设直线AB：y＝k(x－1)，将直线方程与抛物线方程联立得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx－1，))消去y并整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，从而Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2＋2,k2)，\f(2,k))).又E(－1,0)，依据|ME|＝eq\r(11)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2＋2,k2)＋1))2＋eq\f(4,k2)＝11，解得k2＝2.所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2＋eq\f(4,k2)＋2＝6.故选A.3．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线l与抛物线交于A，B两点，直线l与y轴的负半轴交于点C.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))，则直线l的斜率为________．答案2eq\r(2)解析解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))(k>0)．由eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))，得x1＝4x2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))))得k2x2－(k2＋2)px＋eq\f(p2k2,4)＝0，则x1＋x2＝eq\f(pk2＋2,k2)，x1x2＝eq\f(p2,4)，故eq\f(x1＋x2,\r(x1x2))＝eq\f(2k2＋2,k2)，即eq\f(5,2)＝2＋eq\f(4,k2)，解得k＝2eq\r(2).解法二：设直线l：y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))(k>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(BC,\s\up6(→))，得x1＝4x2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，))得k2x2－(k2＋2)px＋eq\f(p2k2,4)＝0，则x1x2＝eq\f(p2,4).所以x1＝p，y1＝eq\r(2)p，则直线l的斜率k＝eq\f(y1,x1－\f(p,2))＝eq\f(\r(2)p,p－\f(p,2))＝2eq\r(2).角度3不过焦点的直线与抛物线相交问题4．(2024·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，求|AB|.解设直线l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由题设得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2).又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq\f(5,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－eq\f(4t－1,3).从而－eq\f(4t－1,3)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8).所以l的方程为y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8).(2)由eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，即A(3,3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－1)).故|AB|＝eq\f(4\r(13),3).1．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．见举例说明2,3,4.2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要留意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可干脆运用焦点弦公式(见举例说明2)，若不过焦点，则必需用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采纳“设而不求”“整体代入”等解法．提示：为了回避探讨直线斜率存在和不存在，可以敏捷设直线方程．1．(2024·南宁二模)已知抛物线x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－1，△ABC的顶点A在抛物线上，B，C两点在直线y＝2x－5上，假如|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，那么△ABC面积的最小值为()A．5 B．4C.eq\f(1,2) D．1答案D解析依题意得抛物线方程为x2＝4y.因为|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，所以|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝2eq\r(5).设抛物线x2＝4y的一条切线方程为y＝2x＋b.将y＝2x＋b代入x2＝4y，得x2－8x－4b＝0.由Δ＝64＋16b＝0，得b＝－4.此时抛物线x2＝4y的切线方程为y＝2x－4.该切线与直线BC的距离为d＝eq\f(1,\r(5))，即点A到直线y＝2x－5的最小距离为eq\f(1,\r(5))，故S△ABC的最小值为eq\f(1,2)|BC|·d＝1.2．已知直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(4,4)，则线段AB的中点到准线的距离是________．答案eq\f(25,8)解析抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，所以kAF＝eq\f(4－0,4－1)＝eq\f(4,3).所以直线l的方程为y－0＝eq\f(4,3)(x－1)，即y＝eq\f(4,3)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝\f(4,3)x－1))消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，所以线段AB的中点的横坐标为eq\f(17,8).所以线段AB的中点到准线的距离是eq\f(17,8)－(－1)＝eq\f(25,8).3．已知抛物线C：y2＝ax(a>0)上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)))到焦点F的距离为2t.(1)求抛物线C的方程；(2)抛物线上一点A的纵坐标为1，过点Q(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．解(1)由抛物线的定义可知|PF|＝t＋eq\f(a,4)＝2t，则a＝4t，由点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)))在抛物线上，则at＝eq\f(1,4).所以a×eq\f(a,4)＝eq\f(1,4)，则a2＝1，由a>0，得a＝1，故抛物线C的方程为y2＝x.(2)证明：因为A点在抛物线上，且yA＝1.所以xA＝1，所以A(1,1)，设过点Q(3，－1)的直线l的方程为x－3＝m(y＋1)．即x＝my＋m＋3，代入y2＝x得y2－my－m－3＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝m，y1y2＝－m－3，所以k1·k2＝eq\f(y1－1,x1－1)·eq\f(y2－1,x2－1)＝eq\f(y1y2－y1＋y2＋1,m2y1y2＋mm＋2y1＋y2＋m＋22)＝eq\f(－m－3－m＋1,m2－m－3＋mm＋2m＋m＋22)＝－eq\f(1,2)，为定值．组基础关1．(2024·厦门一模)若抛物线x2＝ay的焦点到准线的距离为1，则a＝()A．2 B．4C．±2 D．±4答案C解析抛物线x2＝ay的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,4)))，准线方程为y＝－eq\f(a,4).而抛物线x2＝ay的焦点到准线的距离为1，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)＋\f(a,4)))＝1，解得a＝±2.2．(2024·汀赣十四校第一次联考)已知抛物线y2＝4x与x2＝2py(p>0)的焦点间的距离为2，则p的值为()A．4 B．12C．2eq\r(3) D．6答案C解析两抛物线的焦点坐标分别为(1,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).由题意可知eq\r(1＋\f(p2,4))＝2，且p>0，解得p＝2eq\r(3).3．(2024·南昌摸底)一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则此动圆必过定点()A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0,0)答案B解析由抛物线y2＝8x，得准线方程为x＝－eq\f(p,2)＝－2，焦点坐标为(2,0)．因为动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，由抛物线的定义可知动圆必经过定点(2,0)．4．(2024·哈尔滨三模)过抛物线y2＝4x的焦点作一条倾斜角为eq\f(π,6)的直线，与抛物线交于A，B两点，则|AB|＝()A．4 B．6C．8 D．16答案D解析抛物线的焦点坐标为F(1,0)，p＝2，过焦点的直线的斜率k＝taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)，则直线方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，代入y2＝4x得eq\f(1,3)(x－1)2＝4x，整理得x2－14x＋1＝0，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝14，则|AB|＝x1＋x2＋p＝14＋2＝16.5．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过抛物线C上一点P作准线l的垂线，垂足为Q.若△QAF的面积为2，则点P的坐标为()A．(1,2)或(1，－2) B．(1,4)或(1，－4)C．(1,2) D．(1,4)答案A解析设点P的坐标为(x0，y0)．因为△QAF的面积为2，所以eq\f(1,2)×2×|y0|＝2，即|y0|＝2，所以x0＝1，所以点P的坐标为(1,2)或(1，－2)．6．(2024·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为eq\f(2,3)的直线与C交于M，N两点，则eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝()A．5 B．6C．7 D．8答案D解析依据题意，过点(－2,0)且斜率为eq\f(2,3)的直线方程为y＝eq\f(2,3)(x＋2)，与抛物线方程联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))消去x并整理，得y2－6y＋8＝0，解得M(1,2)，N(4,4)，又因为F(1,0)，所以eq\o(FM,\s\up6(→))＝(0,2)，eq\o(FN,\s\up6(→))＝(3,4)，从而可以求得eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0×3＋2×4＝8.故选D.7．(2024·怀化三模)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作斜率为k的直线，与抛物线相交于A，B两点，设直线OA，OB(O为坐标系原点)的斜率分别为k1，k2，则下列等式正确的是()A．k1＋k2＝k B.eq\f(1,k)＝k1＋k2C.eq\f(1,k)＝eq\f(1,k1)＋eq\f(1,k2) D．k2＝k1·k2答案C解析由题意，得OA的方程为y＝k1x，与抛物线C：y2＝2px(p>0)联立，解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p,k\o\al(2,1))，\f(2p,k1)))，同理可得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p,k\o\al(2,2))，\f(2p,k2)))，∴k＝eq\f(\f(2p,k1)－\f(2p,k2),\f(2p,k\o\al(2,1))－\f(2p,k\o\al(2,2)))＝eq\f(1,\f(1,k1)＋\f(1,k2))，∴eq\f(1,k)＝eq\f(1,k1)＋eq\f(1,k2).故选C.8．(2024·湖北四地七校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，P是抛物线C上的点，且PF⊥x轴．若以AF为直径的圆截直线AP所得的弦长为1，则实数p的值为________．答案eq\r(2)解析由题意，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，设P在第一象限，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，kAP＝eq\f(p,p)＝1，则直线AP的方程为x－y＋eq\f(p,2)＝0，以AF为直径的圆的圆心为O(0,0)，半径为R＝eq\f(p,2)，则O到直线AP的距离为d＝eq\f(\f(p,2),\r(2))＝eq\f(\r(2)p,4)，则圆O截直线AP所得的弦长为1＝2eq\r(R2－d2)＝2eq\r(\f(p2,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)p,4)))2)，解得p＝eq\r(2).9．(2024·武汉4月调研)已知过点M(1,0)的直线AB与抛物线y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB的方程为________．答案2x＋y－2＝0解析当直线AB的斜率不存在时，不符合题意，故设直线AB的斜率为k(k≠0)，则直线AB的方程为y＝k(x－1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝2x))消去y并整理，得k2x2－2(k2＋1)x＋k2＝0，则x1＋x2＝eq\f(2k2＋1,k2)，x1x2＝1.∴直线OA，OB的斜率之和为eq\f(y1,x1)＋eq\f(y2,x2)＝eq\f(2kx1x2－kx1＋x2,x1x2)＝2k－eq\f(2k2＋1,k)＝1，解得k＝－2，∴直线AB的方程为2x＋y－2＝0.10．(2024·河南六市其次次联考)抛物线y2＝4x的焦点为F，其准线为l，过点M(5,2eq\r(5))作直线l的垂线，垂足为H，则∠FMH的平分线的斜率为________．答案eq\f(\r(5),5)解析连接HF.因为点M在抛物线y2＝4x上，所以由抛物线的定义可知|MH|＝|MF|.所以△MHF为等腰三角形．所以∠FMH的平分线所在的直线经过HF的中点．因为点F(1,0)，H(－1,2eq\r(5))，所以HF的中点坐标为(0，eq\r(5))，所以∠FMH的平分线的斜率为eq\f(2\r(5)－\r(5),5－0)＝eq\f(\r(5),5).组实力关1．(2024·潍坊高三上学期期末)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，A(1,1)，当△PAF周长最小时，PF所在直线的斜率为()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)答案A解析求△PAF周长的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值．设点P在准线上的投影为D，则依据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|.因此问题转化为求|PA|＋|PD|的最小值．依据平面几何学问，可得当D，P，A三点共线时|PA|＋|PD|最小．∵A(1,1)，点P在抛物线上，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，∴PF所在直线的斜率为eq\f(1－0,\f(1,4)－1)＝－eq\f(4,3).2．(2024·重庆名校联盟调研抽测)过抛物线y2＝2x上一点A(2,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC，分别交抛物线于B，C两点，则直线BC的斜率为()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)答案D解析依题意，可设直线AB的方程为y－2＝k(x－2)，则直线AC的方程为y－2＝－k(x－2)．设B(x1，y1)，C(x2，y2)(y1≠2，y2≠2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,y－2＝kx－2，))得y1＝eq\f(2－2k,k).同理，得y2＝eq\f(2＋2k,－k).所以直线BC的斜率为eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y2－y1,\f(1,2)y\o\al(2,2)－\f(1,2)y\o\al(2,1))＝eq\f(2,y2＋y1)＝－eq\f(1,2).故选D.3．(2024·华中师大第一附中模拟)如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是()A．(2,6)B．(6,8)C．(8,12)D．(10,14)答案C解析设A(xA，yA)，B(xB，yB)．抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2，0)．由抛物线定义，得|AF|＝xA＋2.因为圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2,0)，半径为4，所以△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝(xA＋2)＋(xB－xA)＋4＝6＋xB.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,x－22＋y2＝16，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝±4，))则xB∈(2,6)，所以6＋xB∈(8,12)．4．(2024·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.答案2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1，,y\o\al(2,2)＝4x2，))所以yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝4x1－4x2，所以k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2).取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′.因为∠AMB＝90°，所以|MM′|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)．因为M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴．因为M(－1,1)，所以y0＝1，则y1＋y2＝2，所以k＝2.5．(2024·银川摸底)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A(－1,0)，则eq\f(|PF|,|PA|)的最小值为________；当eq\f(|PF|,|PA|)取得最小值时，直线AP的方程为________．答案eq\f(\r(2),2)x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0解析设P点的坐标为(4t2,4t)，∵F(1,0)，A(－1,0)，∴|PF|2＝(4t2－1)2＋16t2＝16t4＋8t2＋1，|PA|2＝(4t2＋1)2＋16t2＝16t4＋24t2＋1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF|,|PA|)))2＝eq\f(16t4＋8t2＋1,16t4＋24t2＋1)＝1－eq\f(16t2,16t4＋24t2＋1)＝1－eq\f(16,16t2＋\f(1,t2)＋24)≥1－eq\f(16,2\r(16t2·\f(1,t2))＋24)＝1－eq\f(16,32)＝eq\f(1,2)，当且仅当16t2＝eq\f(1,t2)，即t＝±eq\f(1,2)时取等号．故eq\f(|PF|,|PA|)的最小值为eq\f(\r(2),2)；当eq\f(|PF|,|PA|)取得最小值时，点P的坐标为(1,2)或(1，－2)，∴直线AP的方程为y＝±(x＋1)，即x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0.6．(2024·洛阳模拟)已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2.(1)求E的方程；(2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点．解(1)依据题意，知4＝2pya，①因为|AF|＝2，所以ya＋eq\f(p,2)＝2.②联立①②解得ya＝1，p＝2.所以E的方程为x2＝4y.(2)证明：设B(x1，y1)，M(x2，y2)．由题意，可设直线BM的方程为y＝kx＋b，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0.所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b.③由MP⊥x轴及点P在直线y＝x－3上，得P(x2，x2－3)，则由A，P，B三点共线，得eq\f(x2－4,x2－2)＝eq\f(kx1＋b－1,x1－2)，整理，得(k－1)x1x2－(2k－4)x1＋(b＋1)x2－2b－6＝0.将③代入上式并整理，得(2－x1)(2k＋b－3)＝0.由点B的随意性，得2k＋b－3＝0，所以y＝kx＋3－2k＝k(x－2)＋3.即直线BM恒过定点(2,3)．组素养关1．(2024·咸阳二模)设定点F(0,1)，动点E满意：以EF为直径的圆与x轴相切．(1)求动点E的轨迹C的方程；(2)设A，B是曲线C上的两点，若曲线C在A，B处的切线相互垂直，求证：A，F，B三点共线．解(1)设E点坐标为(x，y)，则EF中点为圆心，设为P，则P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y＋1,2))).∴P到x轴的距离等于eq\f(|EF|,2)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y＋1,2)))＝eq\f(\r(x2＋y－12),2)，化简得x2＝4y.∴点E的轨迹C的方程为x2＝4y.(2)证明：由(