2024秋高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE1-1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则自主预习·探新知情景引入高铁是目前一种特别受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f(t)，求它的瞬时速度，就是求f(t)的导数．依据导数的定义，就是求当Δt→0时，eq\f(Δy,Δt)所趋近的那个定值．运算比较困难，而且有的函数，如y＝sinx，y＝lnx等很难运用定义求导数．是否有更简便的求导数的方法呢？新知导学1．基本初等函数的导数公式函数导数(1)f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__0__(2)f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝__αxα－1__(3)f(x)＝sinxf′(x)＝__cosx__(4)f(x)＝cosxf′(x)＝__－sinx__(5)f(x)＝axf′(x)＝__axlna__(a>0且a≠1)(6)f(x)＝exf′(x)＝__ex__(7)f(x)＝logaxf′(x)＝__eq\f(1,xlna)__(a>0，且a≠1)(8)f(x)＝lnxf′(x)＝__eq\f(1,x)__2．导数的运算法则(1)设函数f(x)、g(x)是可导函数，则：[f(x)±g(x)]′＝__f′(x)±g′(x)__；[f(x)·g(x)]′＝__f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)__.(2)设函数f(x)、g(x)是可导函数，且g(x)≠0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝__eq\f(f′x·gx－fx·g′x,g2x)__.3．复合函数及其求导法则(1)复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，假如通过变量u，y可以表示成__x__的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作__y＝f(g(x))__.(2)复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝__yu′·ux′__.即y对x的导数等于__y对u的导数与u对x的导数__的乘积．预习自测1．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为(D)A．ab B．－a(a－b)C．0 D．a－b[解析]∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab∴f′(x)＝2x－(a＋b)，∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b2．设y＝eq\f(sinx,1＋cosx)，－π<x<π，当y′＝2时，x等于(D)A．±eq\f(π,3) B．±eq\f(π,6)C．±eq\f(π,4) D．±eq\f(2π,3)[解析]∵y＝eq\f(sinx,1＋cosx)，∴y′＝eq\f(cosx1＋cosx－sinx－sinx,1＋cosx2)＝eq\f(1＋cosx,1＋cosx2)＝eq\f(1,1＋cosx)，∵y′＝2，∴eq\f(1,1＋cosx)＝2，∴cosx＝－eq\f(1,2)，又－π<x<π，∴x＝±eq\f(2π,3).故应选D．3．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(B)A．－1 B．0C．2 D．4[解析]由已知得：3k＋2＝1，∴k＝－eq\f(1,3)，又g(x)＝xf(x)，f′(3)＝－eq\f(1,3)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝0.4．(2024·白银期末)函数y＝x3＋3x2＋6x－10的导数y′＝__3x2＋6x＋6__.[解析]函数的导数为y′＝3x2＋6x＋6.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶导数运算法则的应用典例1(1)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为__3__.(2)求下列函数的导数：①y＝xex；②y＝eq\f(2x,x2＋1)；③y＝xsinx－eq\f(2,cosx)；④y＝cos2eq\f(x,2).[思路分析]这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简洁函数，求导时，可干脆利用导数的四则运算法则进行求导．[解析](1)∵f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex∴f′(0)＝3.(2)①y′＝x′·ex＋x·(ex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.②y′＝(eq\f(2x,x2＋1))′＝eq\f(2x′x2＋1－2xx2＋1′,x2＋12)＝eq\f(2x2＋1－4x2,x2＋12)＝eq\f(2－2x2,x2＋12).③y′＝(xsinx)′－(eq\f(2,cosx))′＝sinx＋xcosx－eq\f(2sinx,cos2x).④y＝cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1＋cosx,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cosx，∴y′＝eq\f(1,2)(－sinx)＝－eq\f(1,2)sinx.┃┃跟踪练习1__■求下列函数的导数．(1)y＝x·tanx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝eq\f(x－1,x＋1).[解析](1)y′＝(x·tanx)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xsinx,cosx)))′＝eq\f(xsinx′cosx－xsinxcosx′,cos2x)＝eq\f(sinx＋xcosxcosx＋xsin2x,cos2x)＝eq\f(sinxcosx＋x,cos2x).(2)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；解法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；(3)解法1：y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x＋1)))′＝eq\f(x－1′x＋1－x－1x＋1′,x＋12)＝eq\f(x＋1－x－1,x＋12)＝eq\f(2,x＋12)；解法2：∵y＝eq\f(x－1,x＋1)＝eq\f(x＋1－2,x＋1)＝1－eq\f(2,x＋1)，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,x＋1)))′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x＋1)))′＝eq\f(2,x＋12).命题方向❷利用导数公式与运算法则求困难函数的导数典例2求下列函数的导数：(1)y＝xlneq\r(x)；(2)y＝eq\f(\r(x3)－\r(x5)＋\r(x7),\r(x))；(3)y＝eq\f(cos2x,sinx－cosx).[思路分析]若所给函数解析式较为困难，不能干脆套用导数公式和导数运算法则时，可先对函数解析式进行适当的变形与化简，再用相关公式和法则求导．[解析](1)因为y＝xlneq\r(x)＝xlnxeq\s\up7(\f(1,2))＝eq\f(1,2)xlnx，所以y′＝(eq\f(1,2)xlnx)′＝eq\f(1,2)(x)′lnx＋eq\f(1,2)x(lnx)′＝eq\f(1,2)lnx＋eq\f(1,2)；(2)因为y＝eq\f(\r(x3)－\r(x5)＋\r(x7),\r(x))＝x－x2＋x3，所以y′＝(x－x2＋x3)′＝1－2x＋3x2；(3)因为y＝eq\f(cos2x,sinx－cosx)＝eq\f(cos2x－sin2x,sinx－cosx)＝－sinx－cosx，所以y′＝(－sinx－cosx)′＝sinx－cosx.『规律总结』求函数的导数时，一般要遵循“先化简再求导”的原则，这样一方面可以简化求导的过程，另一方面可以解决有些函数根本没法干脆运用公式和法则求导的问题．尤其是当函数解析式中含有三角函数时，更须要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理，最终再套用公式求导．┃┃跟踪练习2__■求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(1,4)sin2eq\f(x,2)；(2)y＝ln2x.[解析](1)因为y＝eq\f(1,4)sin2eq\f(x,2)＝eq\f(1,8)(1－cosx)＝eq\f(1,8)－eq\f(1,8)cosx，所以y′＝eq\f(1,8)sinx.(2)因为y＝ln2x＝lnx·lnx，所以y′＝(lnx·lnx)′＝eq\f(1,x)·lnx＋lnx·eq\f(1,x)＝eq\f(2lnx,x).命题方向❸复合函数的求导典例3求下列函数的导数：(1)y＝(4－3x)2；(2)y＝cos(2x－eq\f(π,4))；(3)y＝ln(4x－1)；(4)y＝ex2.[思路分析]先分析每个复合函数的构成，再依据复合函数的求导法则进行求导．[解析](1)设y＝u2，u＝4－3x，则yu′＝2u，ux′＝－3，于是yx′＝yu′·ux′＝－6(4－3x)＝18x－24，即y′＝18x－24.(2)设y＝cosu，u＝2x－eq\f(π,4)，则yu′＝－sinu，ux′＝2，于是yx′＝yu′·ux′＝－2sin(2x－eq\f(π,4))，即y′＝－2sin(2x－eq\f(π,4))．(3)设y＝lnu，u＝4x－1，则yu′＝eq\f(1,u)，ux′＝4，于是yx′＝yu′·ux′＝eq\f(4,4x－1)，即y′＝eq\f(4,4x－1).(4)设y＝eu，u＝x2，则yu′＝eu，ux′＝2x，于是yx′＝yu′·ux′＝ex2·2x，即y′＝2xex2.『规律总结』1.求复合函数的导数的步骤2.求复合函数的导数的留意点1内、外层函数通常为基本初等函数.2求每层函数的导数时留意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点.3逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁.┃┃跟踪练习3__■求下列函数的导数：(1)y＝(2x－1)3；(2)y＝sin2x＋cos2x.[解析](1)设y＝u3，u＝2x－1，则yu′＝3u2，ux′＝2，于是yx′＝yu′·ux′＝6(2x－1)2，即y′＝6(2x－1)2；(2)y′＝(sin2x)′＋(cos2x)′＝2cos2x－2sin2x.学科核心素养综合应用问题敏捷运用导数的运算法则，求解复合函数的导数，或与其他学问结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题．典例4已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)假如曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[思路分析](1)由f(x)在点P处的切线方程可知f′(2)，及f(2)＝－6，得到a、b的方程组，解方程组可求出a、b；(2)由曲线y＝f(x)的切线与l垂直，可得切线斜率k＝f′(x0)，从而解出x0，求得切点坐标和k.[解析](1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，由题意可得f′(2)＝12＋a＝13,f(2)＝8＋2a＋b解得a＝1，b＝－16；(2)∵切线与直线y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，∴x0＝±1.由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.『规律总结』1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应细致分析函数解析式的结构特征，依据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．┃┃跟踪练习4__■(2024·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为__1__.[解析]∵f′(x)＝a－eq\f(1,x)，∴f′(1)＝a－1.又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.易混