2024-2025学年高中数学第六章立体几何初步4.2平面与平面平行课后习题含解析北师大版必修第二册

PAGE4.2平面与平面平行课后篇巩固提升基础达标练1.(多选)下列命题中错误的是()A.一个平面内两条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行B.假如一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行C.平行于同始终线的两个平面肯定相互平行D.假如一个平面内的多数多条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行答案ACD2.如图,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形态是()A.矩形B.菱形C.平行四边形D.正方形解析因为平面和左右两个侧面分别交于ED1,BF,所以ED1∥BF,同理D1F∥EB,所以四边形D1EBF是平行四边形.答案C3.已知a,b表示直线,α,β表示平面,下列选项正确的是()A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥bB.α∩β=a,a∥b⇒b∥α,且b∥βC.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥βD.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b解析A中α∩β=a,b⊂α,a,b可能平行也可能相交;B中α∩β=a,a∥b,则可能b∥α,b∥β,也可能b在平面α或β内;C中a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,依据平面平行的性质定理,若加上条件a∩b=A,则α∥β.故选D.答案D4.六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形,则此六棱柱的面中相互平行的有()A.1对 B.2对 C.3对 D.4对解析由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1,平面BCC1B1∥平面FEE1F1,平面AFF1A1∥平面CDD1C1,平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1,故此六棱柱的面中相互平行的有4对.答案D5.若平面α∥平面β,a⊂α,下列说法正确的是.(填序号)

①a与β内任始终线平行;②a与β内多数条直线平行;③a与β内任始终线不垂直;④a与β无公共点.解析因为a⊂α,α∥β,所以a∥β,所以a与β无公共点,④正确;如图,在正方体中,令线段B1C1所在的直线为a,明显a与β内多数条直线平行,故②正确;又AB⊥B1C1,故在β内存在直线与a垂直,故①③错误.答案②④6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,BC∥AD,E为侧棱PD的中点,且BC=2,AD=4,求证:CE∥平面PAB.证明取AD的中点O,连接OC,OE,如图.因为E为侧棱PD的中点,所以OE∥PA,OE⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以OE∥平面PAB.因为BC=2,AD=4,AO=12AD=2,即AO=BC,且BC∥AD所以四边形ABCO为平行四边形,所以OC∥AB.又OC⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以OC∥平面PAB.因为OC∩OE=O,OC⊂平面OCE,OE⊂平面OCE,所以平面OCE∥平面PAB.因为CE⊂平面OCE,所以CE∥平面PAB.实力提升练1.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则S△A'B'C'∶S△ABC等于()A.2∶25 B.4∶25 C.2∶5 D.4∶5解析因为平面α∥平面ABC,平面PAB与它们的交线分别为A'B',AB,所以AB∥A'B',同理B'C'∥BC,则△ABC∽△A'B'C',S△A'B'C'∶S△ABC=A'答案B2.如图是四棱锥的平面绽开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②BC∥平面PAD;③AB∥平面PCD;④平面PAD∥平面PAB.其中正确的有()A.①③ B.①④ C.①②③ D.②③解析把平面绽开图还原为四棱锥如图所示,则EH∥AB,所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD,所以平面EFGH∥平面ABCD,故①正确;平面PAD,平面PBC,平面PAB,平面PDC是四棱锥的四个侧面,且两两相交,故④错误;因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD.同理BC∥平面PAD,故②③正确.答案C3.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是四边上的点,四点共面,并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当四边形EFGH是菱形时,AE∶EB=.

解析由AC∥平面EFGH得,EF∥AC,GH∥AC,所以EF=HG=m·BEBA,同理EH=FG=n·AE因为四边形EFGH是菱形,所以m·BEBA=n·AE所以AE∶EB=m∶n.答案m∶n素养培优练在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,M为PE的中点,在棱PC上是否存在一点F,使平面BFM∥平面AEC?证明你的结论.解当F是棱PC的中点时,平面BFM∥平面AEC.因为M是PE的中点,所以FM∥CE.因为FM⊄平面AEC,CE⊂平面AEC,所以FM∥平面AEC.由EM=12PE=ED得E为MD的中点,连接BM,BD,