2024-2025学年高中数学第三章不等式3.4.1二元一次不等式组与平面区域课时作业含解析北师大版必修5

PAGEPAGE1课时作业22二元一次不等式(组)与平面区域时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．不等式2x－y－6>0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的(D)A．左上方 B．右上方C．左下方 D．右下方解析：将(0,0)代入2x－y－6，得－6<0，(0,0)点在不等式2x－y－6>0表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．2．已知点(a,2a－1)既在直线y＝3x－6的上方，又在y轴的右侧，则a的取值范围是(D)A．(2，＋∞) B．(5，＋∞)C．(0,2) D．(0,5)解析：因为(a,2a－1)在直线y＝3x－6的上方，所以3a－6－(2a－1)<0，即a<5.又(a,2a－1)在y轴右侧，所以a>0.所以0<a<5.3．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,0≤x≤3))表示的平面区域是一个(C)A．三角形区域 B．直角梯形区域C．梯形区域 D．矩形区域解析：画出不等式(组)所表示的平面区域易知平面区域为梯形区域．4．在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是(C)解析：原不等式等价于(x＋y)(x－y)≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.5．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4,3x＋y≤4))，所表示的平面区域的面积等于(C)A.eq\f(3,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)解析：原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－4＝0，,3x＋y－4＝0，))可得C(1,1)，故S阴＝eq\f(1,2)×|AB|×xC＝eq\f(4,3)，故选C.6．在平面直角坐标系中，若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－1≤0，,ax－y＋1≥0))(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为(D)A．－5 B．1C．2 D．3解析：不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－1≤0，,ax－y＋1≥0))所围成的区域如图阴影部分所示．∵其面积为2，∴|AC|＝4，∴C的坐标为(1,4)，代入ax－y＋1＝0，得a＝3，故选D.7．若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,y≥a，,0≤x≤3))表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(D)A．a<5 B．a≥8C．a<5或a≥8 D．5≤a<8解析：如图中阴影部分所示，要使该平面区域表示三角形，需满意5≤a<8.8．设不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,y－x≥0，,x－1≥0))表示的平面区域为D，若圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)不经过区域D上的点，则r的取值范围是(D)A．(eq\r(2)，2eq\r(5)) B．(0，eq\r(2))∪(eq\r(5)，＋∞)C．(2eq\r(2)，2eq\r(5)] D．(0,2eq\r(2))∪(2eq\r(5)，＋∞)解析：不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,y－x≥0，,x－1≥0))表示的平面区域D如图中阴影部分(即△ABE的边界及内部)所示，易得A(1,1)，B(1,3)，圆心C(－1，－1)，连接CB，当圆C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)的半径r<|AC|＝2eq\r(2)或r>|CB|＝2eq\r(5)时，圆不经过区域D上的点，故选D.二、填空题9．若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y<3表示的平面区域内，则m＝－3.解析：本题考查了点到直线的距离公式及平面区域的相关学问．点P到直线4x－3y＋1＝0的距离d＝eq\f(|4m－9＋1|,5)＝4，解得m＝7或m＝－3，又∵点P在2x＋y<3表示的区域内，故m＝－3.10．已知集合A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}，B＝{(x，y)|y2－x2≤0}，M＝A∩B，则集合M所表示的平面区域的面积等于1.解析：如图，A表示的区域为横条阴影部分，B表示的区域为竖条阴影部分，M＝A∩B为阴影重叠部分，其面积为2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝1.11．设关于x，y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋1>0，,x－m<0，,y＋m>0))表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满意x0－2y0＝2，则实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).解析：不等式组表示的大致平面区域如图中阴影部分所示，由图得点C的坐标为(m，－m)，把直线x－2y＝2转化为y＝eq\f(1,2)x－1，要使平面区域内存在点P(x0，y0)满意x0－2y0＝2，则点C在直线x－2y＝2的右下方，因此－m<eq\f(m,2)－1，解得m>eq\f(2,3)，故实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)).三、解答题12．若两点(2，m)，(2m－1,3)在直线2x－y＋3＝0的同侧，求实数m的取值范围．解：∵两点(2，m)，(2m－1,3)在2x－y＋3＝0的同侧，∴将两点代入2x－y＋3，得2×2－m＋3＝7－m，2(2m－1)－3＋3＝2(2m－1)．∴(7－m)×2×(2m－1)>0，解得eq\f(1,2)<m<7，∴实数m的取值范围为eq\f(1,2)<m<7.13．已知不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3.))(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)指出x，y的取值范围；(3)平面区域内有多少个整点？解：(1)画出三条直线：x－y＋5＝0，x＋y＝0，x＝3，由于点(1,1)满意题中不等式组，因此不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3))表示的平面区域如图中阴影部分所示．(2)结合图中得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，3))，y∈[－3,8]．(3)由图像及不等式组可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x≤y≤x＋5，,－\f(5,2)≤x≤3，且x∈Z，))当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点．所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．——实力提升类——14．若以原点为圆心的圆全部在不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6≥0，,2x＋y－4≤0，,3x＋4y＋9≥0))表示的平面区域内，则圆的面积的最大值为eq\f(16π,5).解析：因为原点到直线x－3y＋6＝0,2x＋y－4＝0,3x＋4y＋9＝0的距离分别为eq\f(3\r(10),5)，eq\f(4\r(5),5)，eq\f(9,5)，且eq\f(4\r(5),5)<eq\f(9,5)<eq\f(3\r(10),5)，所以以原点为圆心，eq\f(4\r(5),5)为半径的圆是所给平面区域内面积最大的圆，其面积为πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(5),5)))2＝eq\f(16