2024-2025学年北京市西城区第十三中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区第十三中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=−1,0,1，集合B={x∈Z|x2−2x≤0}，那么A∪BA.−1 B.0,1 C.0,1,2 D.−1,0,1,22.设i是虚数单位，若复数z满足z3−i=10，则在复平面内复数z对应的点的坐标为(

)A.1,3 B.3,1 C.−1,−3 D.−3,−13.已知向量a,b满足a+b=2,x,A.−3 B.3 C.−1 D.14.已知函数f(x)=ln(e+x)+ln(e−x)，则f(x)A.奇函数，且在(0,e)上是增函数 B.奇函数，且在(0,e)上是减函数

C.偶函数，且在(0,e)上是增函数 D.偶函数，且在(0,e)上是减函数5.已知x3−ax25的展开式中的常数项为−80A.16 B.32 C.64 D.806.直线y=kx+2与圆(x−2)2+(y−3)2=4相交于M,N两点，若MNA.−34,34 B.−7.已知双曲线C的一个焦点是F10,2，渐近线为y=±3x，则A.x2−y23=1 B.x8.已知α，β均为第一象限角，则“α<β”是“sinα<sinβ”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”.图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑(wŭ)殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面ABCD题矩形，BCAB=59,EF//AB，四边形ABFE、CDEF是两个全等的等腰梯形，▵EAD、▵FBC

(图1)

(图2)A.90 B.3015 C.7510.已知点E，F分别是正方体ABCD−A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1EA.0条 B.1条 C.2条 D.无数条二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.直线x+3y+1=0的倾斜角为

12.在等差数列{an}中，若a1+a2=16，a5=1，则a1=

；使得数列{an}前13.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2–m1=52lgE1E214.已知函数fx=2log2x−log2x−4，则fx15.已知函数f(x)=x①函数f(x)是奇函数；②∀k∈R，且k≠0，关于x的方程f(x)−kx=0恰有两个不相等的实数根；③已知P是曲线y=f(x)上任意一点，A−12④设Mx1,y1为曲线y=f(x)上一点，Nx2,y其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.已知函数fx=2asinx(1)求a的值及fx(2)若m≤fx≤M对x∈0,π2恒成立，求17.在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsinA=(1)求角B的大小；(2)若c−a=1，b=7，求▵ABC18.如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE=DE=2．(1)若F为线段PE中点，求证：BF//平面PCD．(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．19.已知椭圆E：x2a2+y2(1)求E的方程；(2)过点N0,1的直线交E于点A,B(点A,B与点C不重合).设AB的中点为M，连接CM并延长交E于点D.若M恰为CD的中点，求直线AB的方程．20.已知函数f(x)=(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求证：f(x)<x；(3)若函数g(x)=f(x)+ax2−x在区间(1,+∞)上无零点，求21.已知数列A:a1，a2，a3，…，ann≥3的各项均为正整数，设集合T=(1)若数列A：1，3，5，6，直接写出集合T和PT(2)若A是递减数列，求证：“A为等差数列”的充要条件是“PT(3)已知数列A：2，22，23，…，2n，求P参考答案1.D

2.B

3.B

4.D

5.D

6.D

7.D

8.D

9.B

10.D

11.5π612.9；5

13.1010·114.(4,+∞)

；

；

；

；

；；4

15.②③④

16.解：(1)fx由于fπ6=所以fx=3(2)当x∈0,π2故当2x−π6=π2当2x−π6=−π6时，f因此M≥1,m≤−2，

故m的最大值为−2，M的最小值为1．

17.(1)∵bsin由正弦定理，得sinB∵sinA>0，∴sin∵0<B<π，∴B=π(2)根据题意，c−a2=1=由余弦定理b2得7=a2根据①②，可得ac=6，所以三角形的面积公式S△ABC

18.解：(1)取PD的中点为S，接SF,SC，则SF//ED,SF=1而ED//BC,ED=2BC，故SF//BC,SF=BC，故四边形SFBC为平行四边形，故BF//SC，而BF⊄平面PCD，SC⊂平面PCD，所以BF//平面PCD．(2)因为ED=2，故AE=1，故AE//BC,AE=BC，故四边形AECB为平行四边形，故CE//AB，所以CE⊥平面PAD，而PE,ED⊂平面PAD，故CE⊥PE,CE⊥ED，而PE⊥ED，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,−1,0则PA设平面PAB的法向量为m=则由m⋅PA=0m⋅设平面PCD的法向量为n=则由n⋅PC=0n⋅故cosm故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为30

19.解：(1)依题意ca=所以椭圆E的方程为x2(2)若直线AB与y轴重合，则M与原点重合，符合题意，

此时直线AB的方程为x=0．若直线AB与y轴不重合，设其方程为y=kx+1，由y=kx+1x28+yΔ=64k设Ax1,则xM因为M是CD的中点，所以xD因为xD2+4解得k=0，此时直线AB经过点C，不符合题意，舍去．综上所述，直线AB的方程为x=0．

20.解：(1)f′(x)=(xlnx)′=lnx2x+xx，则f′(1)=1，又f(1)=0，

所以曲线在点(1,f(1))处的切线方程为y=x−1；

(2)证明：因为x>0，所以x>0，

要证明f(x)<x，只需要证明lnx<x，即证lnx−x<0，

令ℎ(x)=lnx−x，则ℎ′(x)=1x−12x=2−x2x，

当0<x<4时，ℎ′(x)>0，此时ℎ(x)在(0,4)上单调递增；

当x>4时，ℎ′(x)<0，此时ℎ(x)在(4,+∞)上单调递减，

故ℎ(x)在x=4取极大值也是最大值，故ℎ(x)≤ℎ(4)=ln4−2<0，

所以lnx−x<0恒成立，即原不等式成立；

(3)g(x)=xlnx+a(x2−x)，

当x>1时，xlnx>0,x2−x>0，

故当a≥0时，g(x)>0在区间(1,+∞)上恒成立，符合题意；

当a<0时，g′(x)=lnx2x+xx+a(2x−1)，

令t(x)=g′(x)，则t′(x)=−lnx4xx+2a<0在区间(1,+∞)上恒成立，

所以t(x)在(1,+∞)单调递减，且t(1)=g′(1)=1+a，

①当g′(1)=1+a≤0时，此时a≤−1，g′(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立，

所以g(x)在区间(1,+∞)单调递减，所以g(x)<g(1)=0在(1,+∞)上恒成立，符合题意，

21.(1)解：因为数列A：1，3，5，6，所以3−1=2,5−1=4,6−1=5,5−3=2,6−3=3,6−5=1，所以集合T=1,2,3,4,5，P(2)证明：必要性，若A为等差数列，且A是递减数列，设