四川省成都市邛崃市第二片区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年四川省成都市邛崃市第二片区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作＋10℃，则－3℃表示气温为（）A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃2．如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的主视图是（）A． B． C． D．3．下列计算正确的是（）A． B．C． D．4．八年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15，由此可知（）A．（1）班比（2）班的成绩稳定 B．（2）班比（1）班的成绩稳定C．两个班的成绩一样稳定 D．无法确定哪班的成绩更稳定5．已知，则的值是（）A． B． C．1 D．6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何．”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺，尺、寸、丈不是法定计量单位）若设高是x尺，则可列方程为（）A． B．C． D．8．如图，，，，，在边AB上取点，使得与相似，则这样的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分．9．因式分解：__________．10．方程的根为__________．11．已知是关于的一元二次方程的一个根，则实数的值是__________．12．在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是__________．13．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象，已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm，光屏在距小孔30cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm，则光屏上火焰所成像的高度为__________cm．14．若是关于的一元二次方程的解，则的值是__________．15．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为__________cm．（结果保留根号）16．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若，，则矩形的对角线AC的长为__________．17．如图，在矩形中，对角线AC，BD相交于点，，垂足为，，，则AB的值为__________．18．如图，在中，，，D和M分别是BC、AC边上的动点，则的最小值是__________．三、计算题：本大题共1小题，共8分．19．某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（本小题12分）（1）计算：；（2）解不等式组．21．（本小题8分）若关于的方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）设方程的两根分别是、，且满足，求的值．22．（本小题10分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）画出将向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的；（2）画出将绕原点顺时针方向旋转90°得到；（3）在轴上存在一点，满足点到与点距离之和最小，请直接写出点的坐标．23．（本小题10分）如图，在中，，，．动点从点出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒，连接MN．（1）若与相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若，求t的值．24．（本小题8分）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32．4元．（1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率；（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？25．（本小题10分）如图1，直线与坐标轴分别交于点A，B，与直线交于点．（1）求的面积；（2）如图2，若有一条垂直于轴的直线以每秒1个单位的速度从点出发沿射线AO方向做匀速滑动，分别交直线，及轴于点M，N和．设运动时间为，连接1．①当时，求的值；②试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．26．（本小题12分）已知线段BD是正方形的一条对角线，点E在射线BD上运动，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°，得到线段CF，连接DF．（1）如图1，若点E在线段BD上，请直接写出线段BE与线段DF的数量关系与位置关系；【模型应用】（2）如图2，若点E在线段BD的延长线上运动，请写出线段CD，DE，DF之间的数量关系，并说明理由；【模型迁移】（3）如图3，已知线段BD是矩形的一条对角线，，，点E在射线BD上运动，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°，得到CM，在CM上截取线段，连接EF，若，直接写出线段EF的长．答案和解析1．【答案】B【解析】【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，由此直接得出结论即可．【解答】解：若气温为零上10℃记作＋10℃，则－3℃表示气温为零下3℃．故选：B．2．【答案】C【解析】【分析】本题考查了简单几何体的三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看，易得上面一层最右边有1个正方形，下面一层有3个正方形，故A、B、D错误，C正确．故选C．3．【答案】A【解析】解：A：，正确；B：因为，与不是同类项，不能合并，所以B选项错误；C：，所以C选项错误；D：，所以D选项错误；故：选A合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及其指数都不变，而的错误之处是把合并同类项与同底数幂的乘法混为一谈了本题容易出错的选项是B选项，有些学生把合并同类项与同底数幂的乘法运算混为一谈，需要注意．4．【答案】B【解析】解：班成绩的方差为17．5，（2）班成绩的方差为15，（1）班成绩的方差>（2）班成绩的方差，（2）班比（1）班的成绩稳定．故选：B．根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．【答案】D【解析】解：令，得：、、，．故选：D．令，得到：、、，然后代入即可求解．本题考查了比例的性质，解题的关键是用一个字母表示出a、b、c，然后求值．6．【答案】C【解析】【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后解一元一次不等式即可．【解答】解：根据题意得，解得．故选：C．7．【答案】C【解析】解：高是x尺，则宽为尺，根据勾股定理，得，故选：C．高是x尺，则宽为尺，根据矩形门的高、宽、对角线构成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程．本题考查勾股定理，正确理解题意，找到各个量的关系列出方程是解题的关键．8．【答案】C【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．设，则有，分两种情况考虑：三角形与三角形相似；三角形与三角形相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．【解答】解：设，则有，由，当，时，即，解得：或，当，时，即，解得：，综上，这样的点共有3个，故选：C．9．【答案】【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．【解答】解：．故答案为：．10．【答案】，，【解析】解：，，，，或，，，故答案为：，．移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程—因式分解法．11．【答案】【解析】解：把代入方程得：，解方程得．故答案为：已知是关于的一元二次方程的一个根，把代入方程，即可得到一个关于的方程，解方程即可求出值．本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．12．【答案】6【解析】解：装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：．故答案为：6．直接利用摸到黄色乒乓球的概率为，利用总数乘以概率即可得出该盒子中装有黄色乒乓球的个数．此题主要考查了概率公式，正确利用摸到黄色乒乓球的概率求出黄球个数是解题关键．13．【答案】3【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度．如图，，，，通过证明得到，然后利用比例性质求CD即可．【解答】解：如图，，，，，，，即，，即光屏上火焰所成像的高度为3cm．故答案为3．14．【答案】2025【解析】解：将代入原方程得：，，．故答案为：2025．将代入原方程，可得出，再将其代入中，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的解，将方程的解代入原方程，求出是解题的关键．15．【答案】【解析】解：点是靠近点的黄金分割点，，，点是靠近点的黄金分割点，，，，支撑点C，D之间的距离为，故答案为：．根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．16．【答案】【解析】解：连接AE，如图，由作法得MN垂直平分AC，，在中，，在中，．故答案为．连接AE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC．本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于己知角；作己知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线：过一点作已知直线的垂线）．17．【答案】【解析】解：四边形是矩形，，，，，，，，为等边三角形，，，，，，，故答案为：．根据矩形的对角线相等且平分，以及到线段两端点的距离相等的点在线段的中垂线上，得到为等边三角形，利用30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可．本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质．解答本题的关键是首先推导出为等边三角形．18．【答案】【解析】解：如图作点A关于BC的对称点E，连接BE、AE交BC于点O，作垂足为M，EM交BC于，此时最小（垂线段最短）．，，，，，，，，，．最小值为，故答案为．如图作点A关于BC的对称点E，连接BE、AE交BC于点O，作垂足为M，EM交BC于D，此时最小，由，得即可解决问题．本题考查轴对称—最短问题、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称，垂线段最短找到点D、M的位置，属于中考常考题型．19．【答案】解：（1）（名），答：这次调查的学生共有280名；（2）（名），（名），补全条形统计图，如图所示，根据题意得：，，答：“进取”所对应的圆心角是108°；（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：ABCDEA（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）B（B，A）（B，C）（B，D）（B，E）C（C，A）（C，B）（D，C）（C，D）（C，E）D（D，A）（D，B）（D，E）E（E，A）（E，B）（E，C）（E，D）用树状图为：共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是．【解析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”和“E”的情况数，即可求出所求的概率．此题考查了列表法与树状图法，扇形统计图，以及条形统计图，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．【答案】解：．（2）解不等式得，，解不等式得，，不等式组的解集为：．【解析】（1）根据实数的运算法则计算即可求解；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．本题考查了实数的运算，求不等式组的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．21．【答案】解：（1）关于的方程有两个不相等的实数根，，即，解得：；（2）设方程的两根分别是、，，，又，，即，，，解得：，符合题意．【解析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可；（2）根据根与系数的关系得出方程解答即可．本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系，关键是一元二次方程根与系数关系的应用．22．【答案】解：（1）如图，即为所求；（2）如图，即为所求；（3）如图，点即为所求，点的坐标，【解析】【分析】本题考查作图-平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，．即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点，；（3）作点关于轴的对应点，连接交轴于点，点即为所求．【解答】解：（1）（2）见答案；（3）作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，点，，设，，解得：，，令，则，解得，点．故答案为：点．23．【答案】解：（1），，，，由题意得，，．当时，，即，解得：；当时，，即，解得：，综上所述，与相似时，的值为或；（2）如图，过点作于点，，，，，，，，，，，，，，，，．，，，，即，解得．【解析】（1）根据勾股定理求出AB，分，两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）过点M作于点D，分别证明，，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．24．【答案】解：（1）设这个降价率为，依题意，得：，解得：，（舍去）．答：这个降价率为10%．（2）设每千克应涨价y元，则每天可售出千克，依题意，得：，整理，得：，解得：，．要使顾客得到实惠，．答：每千克应涨价5元．【解析】（1）设这个降价率为，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）设每千克应涨价元，则每天可售出千克，根据总利润=每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．【答案】解：（