2024-2025学年浙江省湖州、衢州、丽水等地市高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省湖州、衢州、丽水等地市高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2,3,4,5,6}，B={x|x2∈A}，则A∩B=A.{1} B.{1,2} C.{1,2,4} D.{1,2,3,4,5,6}2.若z=1−i，则|z2+A.2 B.1 C.2 D.3.双曲线的另一种定义：动点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它与定直线l：x=a2c的距离的比是常数ca(0<a<c)，则点M的轨迹是一个双曲线.动点M与定点F(3,0)的距离和它与定直线l：x=A.y22−x2=1 B.x4.为研究光照时长x(小时)和种子发芽数量y(颗)之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图如图所示，并对x，y进行线性回归分析.若在此图中加上点P后，再次对x，y进行线性回归分析，则下列说法正确的是(

)A.x，y不具有线性相关性

B.决定系数R2变大

C.相关系数r变小

D.5.已知△ABC的外接圆圆心O，且2AO=AB+AC，|OA|=|ABA.14BC B.34BC 6.古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一.如图是一个半径为r的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点A(23,−2)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y=rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<π2)，当A.42 B.C.42−37.已知长方体ABCD−A1B1C1D1，EA.715 B.12 C.7248.已知函数f(x)=cos3x−cos2x，x∈(0,π)，若f(x)有两个零点x1，x2(xA.π5∈{x1,x2} 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>0，b>0，则下列说法正确的是(

)A.若a+b=1，则log2a+log2b≤−2 B.若a+b=1，则a+b<1

C.10.现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子(主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子).记A1(i=1,2,3)表示第i号箱子有奖品，Bj(j=2,3)表示主持人打开第j号箱子.A.P(B3|A2)=12

11.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，Q是线段AB的中点，P是线段BA.三棱锥P−A1QC的体积为定值

B.在直三棱柱ABC−A1B1C1内部能够放入一个表面积为4π的球

C.直线PQ三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在(1−2x)n(n∈N∗)的展开式中，x的系数为−1013.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过左焦点F作直线l与圆M：x14.若f(x)=(x−2)3+2(x−2)+2，已知数列{an}中，首项a1=120四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在三棱锥P−ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，PC⊥平面ABC，点E是PB的中点，点F在线段CE上，且CF：EF=2：1，G为三角形ABC的重心．

(1)求证：GF//平面PAB；

(2)当PC的长为何值时，二面角E−AC−B的大小为60°．16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C对应的的三边分别是a，b，c，且2a−bc=2cosB．

(1)求角C的值；

(2)若c=117.(本小题15分)

已知数列{an}的首项是1，其前n项和是Sn，且an+1=an+2n+1，n∈N∗．

(1)求a2，a3的值及数列{an}的通项公式；

18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ln2x−1x−1+ax(a∈R)．

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

(2)若0<a≤13，x∈[32,2]，证明：f(x)<2；

(3)19.(本小题17分)

直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y=kx+1(k∈R)表示过点(0,1)的直线族(不包括直线y轴)，直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．

(1)圆M：x2+(y−3)2=4是直线族mx+ny=1(m,n∈R)的包络曲线，求m，n满足的关系式；

(2)若点N(x0,y0)不在直线族Ω：y=tx−t2(t∈R)的任意一条直线上，求y0的取值范围及直线族Ω的包络曲线E的方程；

(3)在(1)(2)的条件下，过曲线E上动点P向圆M做两条切线PA，PB参考答案1.B

2.C

3.B

4.C

5.A

6.A

7.D

8.D

9.ACD

10.BC

11.ACD

12.5

13.314.158

15.解：(1)证明：连接AG交BC于点D，由重心性质可得D是BC的中点，

又点E是PB的中点，点F在线段CE上且CF：EF=2：1，可知F是△PBC的重心，

连接PD，可知点F在PD上，如下图所示：

由重心性质可得DF：PF=1：2，DG：AG=1：2，

所以GF//PA；

又GF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，

所以GF/​/平面PAB；

(2)因为底面ABC是边长为2的等边三角形，所以AD⊥BD，

又PC⊥平面ABC，且D，E分别为BP，BC的中点，

所以可得ED⊥平面ABC，

即AD，BD，DE两两垂直．

以D为坐标原点，AD，BD，DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

设PC的长为a(a>0)，

则可得A(3,0,0),B(0,1,0),C(0,−1,0),P(0,−1,a)，所以E(0,0,a2)，

所以AC=(−3,−1,0),CE=(0,1,a2)，

设平面EAC的一个法向量为n=(x,y,z)，

则AC⊥nCE⊥n，则AC⋅n=−3x−y=0CE⋅n=y+a2z=0，

令z=6，可得y=−3a,x=316.解：(1)根据题意，有2a−bc=2cosB，

由正弦定理可得2sinA−sinBsinC=2cosB，

整理可得2sinA−sinB=2cosBsinC，

即2sin(B+C)−sinB=2cosBsinC，

整理可得2sinBcosC=sinB，

又B∈(0,π)，sinB≠0，所以cosC=22，

又C∈(0,π)，因此C=π4；

(2)由A+B+C=π，

可得tanC=tan(π−B−A)=−tan(B+A)=−tanA+tanB1−tanAtanB=1，

又2tanA=3tanB，则有−32tanB+tanB1−32tan2B=1，

解得17.解：(1)数列{an}的首项是1，其前n项和是Sn，且an+1=an+2n+1，n∈N∗，

可得a2=1+3=4，a3=4+5=9．

又an+1−an=2n+1，

当n≥2时，an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+...+(an−an−1)

=1+3+5+...+(2n−1)=12n(1+2n−1)=n2，

上式对n=1也成立，

则an=n2，n∈N∗；

18.解：(1)a=1时，f(x)=ln2x−1x−1+x=ln(2+1x−1)+x，

可得f′(x)=x−12x−1⋅[−1(x−1)2]+1=−1(x−1)(2x−1)+1=2x2−3x(x−1)(2x−1)，

此时f′(2)=23，

又f(2)=ln3+2，

所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程y−(ln3+2)=23(x−2)，

即23x−y+23+ln3=0；

(2)证明：易知f′(x)=a−1(2x−1)(x−1)，

当x∈[32,2]时，y=(2x−1)(x−1)=2x2−3x+1=2(x−34)2−18是递增函数，

所以y∈[1,3]，1y≥13，

又0<a≤13，

所以f′(x)≤0，f(x)在[32,2]上单调递减，

此时f(x)≤f(32)=2ln2+32a≤2ln2+32×13=2ln2+12，

因为e32=e⋅e>2.7×32=4.05>4，

所以2ln2=ln4<32，

则f(x)≤2ln2+12<32+12=2；

(3)易知f′(x)=a−1(2x−1)(x−1)，

当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(1,+∞)上单调递减，

当x→+∞时，ln2x−1x−1=ln(2+1x−1)→ln2，

所以f(x)≥2ln2+32不可能恒成立；

当a>0时，

令f′(x)=0，

可得2x2−3x+1−1a=0，

令g(x)=2x2−3x+1−19.解：(1)因为直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，

又圆M：x2+(y−3)2=4是直线族mx+ny=1(m,n∈R)的包络曲线，

所以直线族mx+ny=1(m,n∈R)为圆M的切线，

所以d=|m⋅0+n⋅3−1|m2+n2=2，所以m，n满足5n2−4m2−6n+1=0．

(2)将点N(x0,y0)代入y=tx−t2(t∈R)，可得关于t的方程t2−x0t+y0=0，

因为点N(x0,y0)不在直线族y=tx−t2(t∈R)上，故方程t2−x0t+y0=0无实数解，

所以Δ=x02−4y0<0，那么y0