2024-2025学年四川省成都实验外国语学校高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省成都实验外国语学校高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若命题p：∃x>0，x2−4x+3>0，则命题￢p为(

)A.∃x>0，x2−4x+3≥0 B.∃x≤0，x2−4x+3≤0

C.∀x>0，x22.在△ABC中，“A>π6”是“sinA>12A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知向量a，b的夹角为2π3，且|a|=5，|b|=4，则a在A.−38b B.−58b4.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn、TA.11113 B.3713 C.111265.遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x(小时)的大致关系：y=1−0.6x0.06，则记忆率为20%时经过的时间约为(    )(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A.80小时 B.90小时 C.100小时 D.120小时6.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为43，面积为43π的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为A.256π63 B.4π C.9π2 7.若n(n∈N∗)次多项式Pn(t)=antn+an−1tn−1+…+a2A.5+14 B.5−148.函数ℎ(x)=e2x−1ex+22x+1A.(−2,+∞) B.(−∞,2) C.(0,2) D.[−2,0]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设z1，z2为复数，且z1zA.|z1z2|=|z1||z2| 10.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是(

)A.数据−1，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1

B.已知随机变量X～B(n,p)，若E(X)=40，D(X)=30，则n=160

C.若事件M，N的概率满足P(M)∈(0,1)，P(N)∈(0,1)且P(N|M)+P(N−)=1，则M与N相互独立

D.若一组样本数据(x11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼⋅闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(x1,y1)，B(A.若点P(1,3)，Q(2,4)，则d(P,Q)=2

B.若对于三点A，B，C，则“d(A,B)+d(A,C)=d(B,C)”当且仅当“点A在线段BC上”

C.若点M在圆x2+y2=4上，点P在直线x−2y+8=0上，则d(P,M)的最小值是8−25

D.若点M在圆x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(1−2x)(1+3x)6的展开式中，含x2的项的系数为______13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点和上顶点分别为F和A，连接AF并延长交椭圆14.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b+2acosB=2c，且a=7，b=3．

(1)求边c的值；

(2)求内角A的角平分线AD16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M，N分别为AD，PD的中点．

(1)求点B到平面MNC的距离；

(2)求直线MB与平面BNC所成角的余弦值．17.(本小题15分)

某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的2×2列联表：产品合格不合格合计调试前451560调试后35540合计8020100(1)根据表中数据，依据α=0.01的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；

(2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y，求使事件“Y=k”的概率最大时k的取值．

参考公式及数据：χ2=n(ad−bc)α0.0250.010.0050.001x5.0246.6357.87910.82818.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为4，渐近线方程为y=±12x．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)双曲线的左、右顶点分别为A1、A2，过点B(3,0)作与x轴不重合的直线l与C交于P、Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，直线A1Q与A2P交于点T19.(本小题17分)

已知定义：函数f(x)的导函数为f′(x)，我们称函数f′(x)的导函数f″(x)为函数f(x)的二阶导函数，如果一个连续函数f(x)在区间I上的二阶导函数f″(x)≥0，则称f(x)为I上的凹函数；二阶导函数f″(x)≤0，则称f(x)为I上的凸函数.若f(x)是区间I上的凹函数，则对任意的x1，x2，⋯xn∈I，有不等式f(x1+x2+⋯+xnn)≤f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n恒成立(当且仅当x1=x2=⋯=xn时等号成立).若f(x)是区间I上的凸函数，则对任意的x1，x2，⋯xn∈I，有不等式f(x1+x2+⋯+xnn)≥参考答案1.C

2.B

3.B

4.B

5.C

6.A

7.A

8.D

9.ABD

10.ABC

11.AD

12.99

13.314.(−315.解：(1)由b+2acosB=2c，根据正弦定理得sinB+2sinAcosB=2sinC，

因为sinC=sin(π−C)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

所以sinB+2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB，整理得sinB=2cosAsinB，

由0<B<π，得sinB>0，所以cosA=12，结合A∈(0,π)，可得A=π3．

根据余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosπ3，即7=32+c2−3c，

整理得c2−3c+2=0，解得c=1或c=2，

根据△ABC为锐角三角形，

可得a2+c16.解：(1)∵PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，

以D为原点，如图建立空间直角坐标系Dxyz，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，

∵M，N分别为DA，DP中点，∴M(12,0,0)，N(0,0,1)，

则MN=(−12,0,1)，MC=(−12,1,0)，MB=(12,1,0)，

设平面MNC的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅MN=−12x+z=0n⋅MC=−12x+y=0，

令x=2，则y=1，z=1，所以n=(2,1,1)，

则MB⋅n=2×12+1×1+1×0=2，|n|=22+12+12=6，

∴点B到平面MNC的距离d=|MB⋅n||n|=217.解：(1)零假设H0：假设依据α=0.01的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联，

此时χ2=100(45×5−35×15)280×20×40×60≈2.344<x0.01=6.635，

则依据α=0.01的独立性检验，没有充分证据说明零假设H0不成立，

所以可认为H0成立，

即认为参数调试与产品质量无关联；

(2)在用分层随机抽样法抽取的8件产品中，

合格产品有8×4560=6件，不合格产品有2件，

从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数X的所有可能取值为1，2X123P31510故E(X)=1×328+2×1528+3×1028=94；

(3)易知因随机抽取调试后的产品的合格率为3540=78，

即Y～B(1000,78)，

则P(Y=k)=C1000k(78)k(18)1000−k,k=0,1,⋯,1000，

因为P(Y=k+1)P(Y=k)=C1000k+1(7818.解：(1)由题意知：2a=4，ba=12，解得a=2，b=1，双曲线方程为x24−y2=1．

(2)

因为直线l斜率不为0，设直线l方程为x=ty+3，易知A1(−2,0)，A2(2,0)，

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立x24−y2=1，得(t2−4)y2+6ty+5=0，

则t2−4≠0Δ>0y1+y2=−6tt2−419.解：(1)因为f(x)=x1+x，x∈(0,π2],

所以f′(x)=1(1+x)2，f″(x)=−2(1+x)3，

因为x∈(0,π2],

所以f″(x)<0，

则f(x)在(0,π2]为凸函数；

(2)由(1)知f(x)=x1+x在(0,π2]内为凸函数，

又W=x11+x1+x21+x2+⋯+xn1+xn，且x1+