2024学年赤峰市松山区高三数学上学期10月考试卷附答案解析

学年赤峰市松山区高三数学上学期10月考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知为虚数单位，复数满足，则（

）A． B．C． D．2．已知命题；命题，则（

）A．和都是真命题 B．和都是真命题C．和都是真命题 D．和都是真命题3．已知向量，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队表现卓越，成功包揽了全部8枚跳水金牌，这一成绩不仅创造了历史，也再次证明了“梦之队”的实力和统治力.跳水比赛计分规则如下：针对运动员每次跳水，共有7个裁判评分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数相加后乘以难度分，即可得出最终得分.下列说法正确的是（

）A．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的中位数一定改变B．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的方差可能不变C．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的平均数不变D．去掉一个最高分与一个最低分前后，两组数据的众数不变5．在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．6．已知函数为奇函数，则的值是（

）A．0 B．0或10 C．4或68 D．687．甲烷是一种有机化合物，分子式为，其在自然界中分布很广，是天然气、沼气的主要成分．如图所示的为甲烷的分子结构模型，已知任意两个氢原子之间的距离（H-H键长）相等，碳原子到四个氢原子的距离（C-H键长）均相等，任意两个H-C-H键之间的夹角为（键角）均相等，且它的余弦值为，即，若，则以这四个氢原子为顶点的四面体的体积为（

）A． B． C． D．8．已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．记函数的最小正周期为T.若为的零点，则的值可以是（

）A． B．3 C．6 D．1210．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（

）A． B．以为直径的圆与x轴相切C．F的坐标为 D．11．定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作.定义：为一组数据相对于常数的“正弦方差”.若，一组数据相对于的：“正弦方差”为，则的取值可能是（

）A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知等差数列的公差不为零，且成等比数列，，则.13．记的内角的对边分别为，已知，则角.14．2024年9月1日出版的第17期《求是》杂志发表了中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平的重要文章《培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人》·某校积极响应总书记的指示，创造性提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动.高三年级共有6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加.给出以下四个命题：①若1班不再分配名额，则共有种分配方法；②若1班有除劳动模范之外的学生参加，则共有种分配方法；③若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法；④若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法.其中正确命题的序号是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列an是公差不为零的等差数列，，且存在实数m满足.(1)求m的值及通项公式；(2)已知，求数列bn的前n项和.16．已知函数.(1)当时，求在处的切线方程；(2)，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.17．如图，在长方体中，点分别在上，且.(1)求证：平面平面；(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值.18．某校高三年级部组织高中生数学知识竞赛，竞赛分为个人赛和团体赛，竞赛规则如下：个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会，电脑同时给出2道判断题（判断对错）和4道选择题（每个选择题的四个选项中有且仅有一个是正确的），要求参赛者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：方式一：将班级选派的个人平均分成n组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组挑战成功，若这n个小组都挑战成功，则该班级挑战成功.方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组n个人，电脑随机分配给同组n个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组挑战成功.若这两个小组至少有一个小组挑战成功则该班级挑战成功.(1)在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率；(2)甲同学参加个人赛，他能够答对判断题并且答对选择题，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战成功的概率；(3)在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由.19．已知椭圆经过点，离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点且倾斜角为的直线与轴，轴分别交于点，点为椭圆上任意一点，求面积的最小值.(3)如图，过点作两条直线分别与椭圆相交于点，设直线和相交于点.证明点在定直线上.

参考答案1．【答案】B【分析】利用复数的加减运算即可求解.【详解】由，可得.故选B.2．【答案】B【分析】分别判断命题与命题的真假，利用命题和命题的否定真假相反即可判断、的真假，即可得结论.【详解】对于命题p，取，则有，故p是假命题，是真命题，对于命题q，取，则有，故q是真命题，是假命题，所以，和都是真命题.故选B.3．【答案】A【分析】利用投影向量公式进行求解.【详解】在上的投影向量为.故选A.4．【答案】B【分析】根据题意设出裁判的评分，根据数字特征计算即可.【详解】若7个裁判的评分分别为：10，10，9.9，9.9，9.9，9.8，9.7，去掉一个最高分与一个最低分后评分为：10，9.9，9.9，9.9，9.8，去掉前后的中位数都为9.9，故错误；去掉一个最高分和一个最低分前平均数为去掉一个最高分和一个最低分后平均数为，故错误；若7个裁判的评分分别为：10，10，10，9.9，9.9，9.9，9.8，众数为：10和9.9，去掉一个最高分与一个最低分后评分为：10，10，9.9，9.9，9.9，众数为9.9，故错误；若七个裁判的评分为：10，10，10，10，10，10，10，则去掉一个最高分和一个最低分前后均值都为10，方差都为0，则正确；故选.5．【答案】B【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到的取值范围.【详解】设，则，所以，所以点M的轨迹是一个圆D,由题得圆C和圆D相交或相切，所以，所以.故选B.6．【答案】D【分析】根据奇函数性质求得，进而求对应函数值.【详解】由题设，的定义域为R，且为奇函数，则，所以或，当，则，满足，此时；当，则不是奇函数，不合题设.故选D.7．【答案】A【分析】利用余弦定理求得，计算出正四面体的高，从而计算出正四面体的体积.【详解】设，则由余弦定理知：，解得，故该正四面体的棱长均为，由正弦定理可知：该正四面体底面外接圆的半径，高，故该正四面体的体积为．故选A.8．【答案】C【分析】利用导数画出的图象，结合的零点个数求得的取值范围.【详解】当时，，所以在区间上，当且仅当x=0时，所以函数fx在上单调递减，.当时，，令解得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，当时，，当时，，由此画出、的大致图象如下图所示，函数有三个零点，等价于与图象有三个交点，所以的取值范围是.故选C.

【思路导引】在通过图象判断函数零点个数时，容易由于图象的不准确或导数符号变化的错误判断，导致零点个数错误．在分析图象时，要特别注意极值点的准确位置.9．【答案】ABD【分析】求出，根据和求出，为的零点，故，解得，从而得到ABD正确.【详解】因为，所以，故，又，故，故，为的零点，故，故，解得，当时，，当时，，当时，，令，解得（舍去），ABD正确，C选项不成立.故选ABD.10．【答案】AB【分析】由抛物线的方程求出焦点坐标即可判断C；由焦半径的公式求出即可判断A；求出点的坐标，即可判断B，D；【详解】抛物线的焦点为，故C错误；点在抛物线C上，若，则，所以，故A正确；代入，得，故或所以，故D错误；所以以为直径的圆的圆心为：或，半径为，所以圆心为：或到x轴的距离为：等于圆的半径，故以为直径的圆与x轴相切，故B正确；故选AB.11．【答案】BCD【分析】根据正矢和余矢的定义可得函数的解析式，再根据正弦方差的定义可求的范围，最后根据正弦函数的性质可求函数的值域，故可得正确的选项.【详解】由正矢和余矢的定义可得：，而，因为，故，故，故，，而，故的值域为，因为，函数的最大值是，故函数值不可能取，而，故，故，故函数值可取BCD.故选BCD.12．【答案】【分析】利用等比中项的性质列方程，将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得，由此求得的值.【详解】设等差数列的公差为，由题意得，即，化简，得．因为，所以，解得所以.故答案为：.13．【答案】【分析】利用二倍角公式化简得，由余弦定理得，即可求解.【详解】因为，得，可得，即，由余弦定理得，即，可得.故答案为：.14．【答案】②④【分析】根据题意，由隔板法，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于①，若1班不再分配名额，即将20个名额分配到5个班级，每个班级都必须有人参加，可以将20个名额看成20个小球，排成一排，中间有19个空位，在其中任选4个，放置4个隔板，有种分配方法，故①错误；对于②，若1班有除劳动模范之外的学生参加，即将20个名额分配到6个班级，每个班级都必须有人参加，可以将20个名额看成20个小球，排成一排，中间有19个空位，在其中任选5个，放置5个隔板，有种分配方法，故②正确；对于③④，若每个班至少3人参加，可以将每个班的2个名额收回，即将10个名额分配到6个班级，每个班级都必须有人参加，可以将10个名额看成10个小球，排成一排，中间有9个空位，在其中任选5个，安排5个挡板，有种分配方法，故③错误，④正确.故答案为：②④.15．【答案】(1)，(2)【分析】（1）设等差数列an的公差为，然后相减便可得出结果；（2）先根据求得，根据错位相减法求前n项和即可.【详解】（1）设等差数列an的公差为，，由，得，两式相减得，又，所以，将代入可得，即，所以，又，所以；（2）由（1）可知，则，所以，则，即，，，，即，.16．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用导数几何意义求对应切点处的切线方程；（2）由题设得在上恒成立，利用导数研究函数最值，即可得确定参数范围.【详解】（1）由题设，则，所以，故在处的切线方程.（2）由恒成立，对于且，则，对于且，则，所以在上递增，则，故，所以在上递增，则，综上，只需.17．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理，即可得出答案．（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，,，设平面与平面夹角为，则，即可得出答案．【详解】（1）由于平面，平面，故，根据题意可得，，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，由于平面，平面，故，又，平面,故平面,平面，故，又，平面，平面，所以平面．平面，故平面平面；（2）如图所示，建立空间直角坐标系：所以，,4,，，,结合（1）知，平面的法向量为,又，,4,，设平面的法向量为,则，令，则，所以,3,，设平面与平面夹角为，则．18．【答案】(1)(2)(3)选择方式一【分析】（1）由独立事件的概率乘法公式即可得到答案；（2）分析出甲同学挑战不成功的事件，结合独立事件的概率乘法公式，再用对立事件即可得到结果；（3）分别计算出方式一和方式二的团队挑战成功的概率，再通过作差比较，利用函数单调性判断差值大小即可得到结论.【详解】（1）设事件A：选手答对1道选择题；事件：选手答对1都选择题，则，，这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率：（2）甲同学挑战不成功可能得情况如下：①只答对一道判断题和选择题；②除和外只答对一道填空题或一道选择题（中任意一道）∴甲同学挑战成功的概率：（3）方式一：小组调整成功的概率：，该班级挑战成功的概率：；方式二：小组调整成功的概率：，该班级挑战成功的概率：，令则∵，则，，可得，，∴，即，∴单调递增，又∵，且，∴，从而，即，所以为使本班调整成功的可能性更大，应该选方式一参赛.19．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据待定系数法计算即可求解；（2）由题意求出MN，利用点到直线的距离公式求出到的距离，结合三角形面积公式计算即可求解；（3）设，利用平面向量的坐标表示和点差法计算表示出A、B、C、D的坐标，由直线的两点式方程分别表示出直线