2023年江西省初中学业水平考试·数学

数学试卷第页（共页）2023年江西省初中学业水平考试·数学一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1.下列各数中，正整数是()A.3 B.2.1 C.0 D.－21.A【解析】由题可知，3是正整数，2.1是正分数，0既不是正数也不是负数，－2是负整数，2.下列图形中，是中心对称图形的是()2.B【解析】选项A，D中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；选项C中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A，C，D不符合题意；选项B中的图形是中心对称图形，故选项B符合条件．3.若a－4有意义，则a的值可以是(A.－1 B.0 C.2 D.63.D【解析】∵二次根式a－4有意义，∴a－4≥0，解得a≥4，结合选项可知选项4.计算(2m2)3的结果为()A.8m6 B.6m6C.2m6 D.2m54.A【解析】(2m2)3＝23·(m2)3＝8m6.5.如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为()A.35° B.45° C.55° D.65°5.C【解析】由光线的反射角等于入射角得出∠BOD＝∠AOC＝35°，再由直角三角形的性质求出∠OBD即可．根据题意得，∠BOD＝∠AOC＝35°，∵PD⊥CD，∴△OBD是直角三角形，∴∠BOD＋∠OBD＝90°，∴∠OBD＝90°－∠BOD＝90°－35°＝55°.6.如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个6.D【解析】∵过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，∴要经过题中所给的3个点画圆，除选定直线l外的点P外，再在直线l上的A，B，C，D四个点中任选其中2个即可画圆．∵从A，B，C，D四个点中任选其中2个点的方法可以是：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，∴最多可以画出圆的个数为6.二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7.单项式－5ab的系数为________．7.-5【解析】单项式－5ab的系数为－5.8.我国海洋经济复苏态势强劲．在建和新开工海上风电项目建设总规模约1

800万千瓦，比上一年同期翻一番，将18

000

000用科学记数法表示应为________．8.1.8×107【解析】1800万＝18

000

000＝1.8×107.9.化简：(a＋1)2－a2＝________．9.2a＋1【解析】(a＋1)2－a2＝a2＋2a＋1－a2＝2a＋1.10.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为________cm.10.2【解析】如解图，由题意可知BC＝3－1＝2cm，∠A＝60°，BC∥DE，∴∠ACB＝∠α＝60°，又∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝2cm.11.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC)．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，则树高PQ＝________m.11.6【解析】∵∠ABC和∠AQP均为直角，∴BC∥PQ，∴△ABD∽△AQP，∴BDAB＝PQAQ

，∴2040＝P12.如图，在▱ABCD中，

∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜360°)得到AP，连接PC，PD.当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为________．12.90°或180°或270°【解析】如解图，点P的运动轨迹在以A为圆心，AB长为半径的圆上，连接AC交⊙A于点P1，延长CA交⊙A于点P2，延长BA交⊙A于点P3，连接P1D，P2D，P3D.∵∠B＝60°，BC＝2AB，∴∠BAC＝90°，①∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠P1CD＝90°，∴△P1CD为直角三角形，∵点P1在AC上，∴α＝∠BAP1＝90°；②∠P2CD＝90°，即可求得α＝360°－∠P2AB＝360°－90°＝270°；③∵AB＝CD，∴AP3＝CD，又∵AB∥CD，∠ACD＝90°，∴四边形ACDP3为矩形，∴∠CDP3＝90°，∴△P3CD为直角三角形，∴α＝180°.综上所述，旋转角α的度数为90°或180°或270°.三、解答题(本大题共6小题，共30分)13.（1）计算：83＋tan45°－30（2）如图，AB＝AD，AC平分∠BAD.求证：△ABC≌△ADC.13.解：原式＝2＋1－1＝2；证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABC和△ADC中AB＝AD，∠14.如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)．(1)在图①中作锐角△ABC，使点C在格点上；(2)在图②中的线段AB上作点Q，使PQ最短．14.解：(1)如解图①，△ABC即为所求作(答案不唯一，作出其中一个即可)；(2)如解图②，点Q即为所求作．15.化简(xx＋1＋xx－1)·(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；(填序号)①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．15.解：(1)②，③；(2)选择甲同学解法：原式＝[x（x－1）（x＋1）（x－1）＋x（x＋1【一题多解】选择乙同学解法：原式＝xx＋1·x2－1x＋xx－1·x2－1x＝xx＋1·（x＋1）（x－116.为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员．(1)“甲、乙同学都被选为宣传员”是________事件；(填“必然”、“不可能”或“随机”)(2)请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率．16.解：(1)随机；(2)根据题意，列表如下：

第一名第二名

甲乙丙丁甲(乙，甲)(丙，甲)(丁，甲)乙(甲，乙)(丙，乙)(丁，乙)丙(甲，丙)(乙，丙)(丁，丙)丁(甲，丁)(乙，丁)(丙，丁)由表格可知，共有12种等可能的结果，甲、丁同学都被选为宣传员的结果有2种，∴P(甲、丁同学都被选为宣传员)＝212＝1一题多解

根据题意，画树状图如解图：由树状图可得，共有12种等可能的结果，甲、丁同学都被选为宣传员的结果有2种，∴P(甲、丁同学都被选为宣传员)＝212＝117.如图，已知直线y＝x＋b与反比例函数y＝kx(x＞0)的图象交于点A(2，3)，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y＝kx(x＞0)的图象于点(1)求直线AB和反比例函数图象的表达式；(2)求△ABC的面积．17.解：(1)∵直线y＝x＋b与反比例函数y＝kx(x>0)的图象交于点A(2，3)，∴当y＝3时，x＝2.∴b＝1，k＝6，∴直线AB的表达式为y＝x＋1；反比例函数的表达式为y＝6x((2)令y＝x＋1中，x＝0，得y＝1，∴B(0，1)，设点A到BC的距离为h，∵点C在反比例函数y＝6x(x>0)图象上，且BC∥x轴，∴点C纵坐标为把y＝1代入y＝6x得x＝6，∴点C坐标为(6，1)，∴BC＝6，(∵A(2，3)，∴h＝3－1＝2，∴S△ABC＝12BC·h＝12×6×2＝6，∴S△ABC四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18.今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．(1)求该班的学生人数；(2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5

400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？18.解：(1)设该班的学生人数为x人．由题意得，3x＋20＝4x－25，解得x＝45，答：该班的学生人数为45人；(2)由(1)可知树苗总数为3×45＋20＝155(棵)，设购买了甲树苗y棵，30y＋40(155－y)≤5400(6分)解得y≥80，答：至少购买了甲树苗80棵.

19.图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB＝AC＝AD，测得∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m．(结果保留小数点后一位)(1)连接CD，求证：DC⊥BC；(2)求雕塑的高(即点E到直线BC的距离)．(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)19.(1)证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠ABC＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC，∵在△BCD中，∠B＋∠BCD＋∠BDC＝180°，∴2∠ACB＋2∠ACD＝180°，∴∠ACB＋∠ACD＝90°，∴DC⊥BC；一题多解

证明：∵AB＝AC＝AD，∴点B，C，D在以点A为圆心，BD为直径的圆上，∴∠BCD＝90°，即DC⊥BC；(2)解：如解图，过点E作EF⊥BC，交直线BC于点F，∵∠B＝55°，BC＝1.8m，DE＝2m，在Rt△BCD中，cosB＝BCBD＝1.8BD，∴BD＝1.8cosB≈1.80.57≈3.16m，∴BE＝3.16＋2＝5.16m，在Rt△BEF中，sinB＝EF答：雕塑的高(即点E到直线BC的距离)约为4.2m．20.如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，E为A⏜上一点，且∠ADE＝(1)求B⏜的长(2)若∠EAD＝76°，求证：CB为⊙O的切线．20.(1)解：如解图，连接OE，∵∠ADE＝40°，∴∠AOE＝2∠ADE＝80°.

∴∠BOE＝180°－∠AOE＝100°.∵AB＝4，∴OB＝2，∴lB⏜＝100π×2(2)证明：∵OA＝OE，∠AOE＝80°，∴∠OAE＝180°－∠∵∠EAD＝76°，∴∠BAC＝26°.

∵∠C＝64°，∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠C＝180°－26°－64°＝90°，∵点B在圆上，AB为⊙O直径，∴CB为⊙O的切线．五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21.为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．整理描述初中学生视力情况统计表视力人数百分比0.6及以下84%0.7168%0.82814%0.93417%1.0m34%1.1及以上46n合计200100%(1)m＝________，n＝________；(2)被调查的高中学生视力情况的样本容量为________；(3)①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由；②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有26

000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对视力保护提出一条合理化建议．21.解：(1)68，23%

；【解法提示】

视力1.0的学生数为：m＝200×34%＝68，视力1.1以上的人数所占百分比是：n＝46200×100%＝(2)320；【解法提示】被调查的高中学生视力情况的样本容量为14＋44＋60＋82＋65＋55＝320.(3)①小胡说的说法正确，理由如下：初中生的视力众数是1.0，高中生视力的众数是0.9，∴初中学生的视力水平比高中学生的好；(答案不唯一)②方法一：(1－68＋46＋65＋55方法二：26

000×8＋16答：该区大约有14

300名中学生视力不良．对视力保护提出的建议是：坚持做眼保健操，加强体育锻炼，养成正确的阅读习惯，保护个人视力．(言之有理即可)22.课本再现我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图①)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂点为O.求证：▱ABCD是菱形．(2)如图②，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6.①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝12∠ACD，求OFE22.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵AC⊥BD，垂足为点O，∴AC与BD相互垂直平分，∴AB＝AD.∴平行四边形ABCD是菱形；(2)①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，∵AD＝5，∴AD2＝AO2＋DO2;

∴△AOD是直角三角形且∠AOD＝90°，∴AC⊥BD；又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为菱形；②解：如解图，过点O作OG∥BC交CD于点G，由题意及(2)①易知菱形ABCD

中，AC⊥BD

，BO＝3，CO＝4，BC＝5，AC平分∠BCD，∵在菱形ABCD

中，CA平分∠BCD，∴∠BCO＝∠OCD＝12∠BCD∵∠E＝12∠ACD＝12∠OCD，∠BCO＝∠E＋∠COE，∴∠BCO＝2∠E，∴∠COE＝∠E，∴CE＝OC＝∵OG∥BC，∴OG为△BDC的中位线，∴OG＝12BC＝52，△OFG∽△EFC，∴OGEC＝OFEF

，∴524＝六、解答题(本大题共12分)23.综合与实践某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD＝2.动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系．(1)如图①，当点P由点C运动到点B时，①当t＝1时，S＝________；②S关于t的函数解析式为________．(2)