专题15 难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合压轴题三种模型全攻略（解析版）

专题15难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】 1【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】 7【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】 13【典型例题】【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】例题：（2023·江苏苏州·苏州市胥江实验中学校校考二模）夏秋季节，许多露营爱好者晚间会在太湖边露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处（），使得A、D、E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，幕布宽，于点O，支杆与树干的横向距离．（参考数据：，，，结果精确到0.1）

(1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度；(2)下雨时收拢“天幕”，由减少到，求点E下降得高度．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意知，m，根据，计算求解即可；（2）如图，过作于，则四边形是矩形，则，当时，，，当时，，，则．【详解】（1）解：由题意知，m，∴m，∴遮阳宽度为．（2）解：如图，过作于，则四边形是矩形，

∴，当时，，∴，当时，，∴，∵，∴由减少到，求点E下降得高度为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．解题的关键在于抽象出直角三角形并正确的运算．【变式训练】1．（2023春·海南海口·九年级海口一中校考期中）油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录；在一次活动中，小文了解了油纸伞文化的内涵，决定进行设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时．(1)，；(2)求线段的长；（结果保留整根号）(3)请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：）【答案】(1)，；(2)(3)【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再证明，然后利用全等三角形的性质可得，即可解答；（2）过点B作，垂足为E，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（3）利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【详解】（1）解：（1）∵平分，，∴，∵，∴，∴，故答案为：；；（2）解：（2）过点B作，垂足为E，在中，，∴，，在中，，∴，∴线段的长为；（3）解：（3）∵，∴，∴，解得：，∴最少需要准备长的伞柄．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2023·河南周口·校联考二模）“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处（），使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”，于点，支杆与树干的横向距离．

(1)天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度．(2)下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）在中利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答；（2）过点作于点，得，再在中锐角三角函数的定义可得，最后求出和时的长即可解答．【详解】（1）解：由对称性可知，，，在中，，∴，∴，∴，答：遮阳宽度为；（2）解：如图，过点作于点，

∴，∵，，∴，∴，∴，在中，∵，当时，，当时，，∴点下降的高度为，答：点下降的高度为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用和锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2023·浙江绍兴·统考三模）图是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力．图是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图，已知，互相平分于点，，若，．

(1)求的长．(2)求点到底架的高（结果精确到，参考数据：，，）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得出，由，证明与均是正三角形，即可得出答案；（2）在中，利用正弦定义求解即可.【详解】（1）解：，，互相平分于点O，，，与均是正三角形，．（2）解：在中，，即，答：点到底架的高为．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判断和性质，解直角三角形，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，准确计算．【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形可由矩形绕点旋转得到，点在上，延长交于点．连接．

(1)判断四边形的形状并给予证明；(2)若点在水平地面上，与水平地面平行，，求点到水平地面的距离．（结果精确到．）参考数据：【答案】(1)平行四边形，见解析(2)【分析】（1）由旋转性质结合矩形的性质推出，利用证明，得到，据此可证明四边形是平行四边形；（2）延长交水平地面于点，连接．利用正切函数求得的长，得到，推出，再根据余弦函数求得的长，据此即可求解．【详解】（1）解：四边形是平行四边形．证明：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵四边形是矩形，∴，由旋转性质得，∴，∴，∴，由旋转得，∴，∵，∴四边形为平行四边形；（2）解：如图，延长交水平地面于点，连接．

∵，，∴，∴，∴，由（1）知，又，∴，由平行线的性质知，∴，∴，即点到水平地面的距离约为．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形．【变式训练】1．（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形与正方形的面积相等，且，

(1)判断四边形的形状，并说明理由．(2)求的长．（参考数据：）【答案】(1)四边形是菱形，详见解析(2)【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得，即可得出结论；（2）作于点M，解，即可求解．【详解】（1）解：四边形是菱形

，理由：正方形与正方形的面积相等，，，∴四边形是平行四边形，，，，∴四边形是菱形．（2）解：作于点M，

在中，，，得

，．【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定、正确求解直角三角形是解题的关键．2．（2023·山东青岛·统考二模）如图1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形为其横截面，为吸管，其示意图如图所示，，，．将杯子绕点按顺时针方向旋转，使与水平线平行(如图3)．(1)杯子与水平线的夹角______；(2)由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？(结果精确到，参考数据：，，)【答案】(1)(2)点A的位置是下降了厘米【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可求解；（2）过点作于点，延长交的延长线于点，在中，，在中，，，求得，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点作，∴，，∴，∵，∴；（2）如图所示，过点作于点，延长交的延长线于点，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，在中，，，∴，，∴；点A的位置是下降了厘米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．3．（2020·江西赣州·统考一模）如图是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽MN上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图所示，已知每个菱形的边长均为20cm，且．当点P向下滑至点N处时，测得时求滑槽MN的长度；此时点A到直线DP的距离是多少？当点P向上滑至点M处时，点A在相对于的情况下向左移动的距离是多少？结果精确到，参考数据【答案】（1）①；②（2）【分析】（1）①作于H，由得出，进而求出MN；②点A到直线DP的距离是；（2）当点P向上滑至点M处时，是等边三角形，作于G，求CG，即可求出结果．【详解】解：当点P向下滑至点N处时，如图1中，作于H．，，，即，，，．滑槽MN的长度为．根据题意，点A到直线DP的距离是．当点P向上滑至点M处时，如图2中，是等边三角形，，作于G，则，此时点A到直线DP的距离是，，∴点A在相对于的情况下向左移动的距离是．

【点睛】此题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，找到对应长度是关键．【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】例题：（2023·浙江舟山·统考模拟预测）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小海买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图所示，该自行车的车轮半径为，图是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管可以伸缩，点、、在同一条直线上，且．

(1)求下管的长；(2)若后下叉与地面平行，座管伸长到，求座垫离地面的距离．（结果精确到参考数据）【答案】(1)下管长;(2)座垫离地面的距离是．【分析】(1)在中利用勾股定理求得即可．(2)在过作，在中，利用三角函数求，即可得到答案．【详解】（1）解：在中，，，∴∴，答：下管长．（2）解：过点作，垂足为，

∵，∴≈∴，答：座垫离地面的距离是．【点睛】本题考查勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．【变式训练】1．（2023春·江西抚州·九年级校考阶段练习）如图1所示的是一套车牌识别系统，将其抽象成如图2所示的示意图，摄像头可绕点旋转，与地面形成的角度为，立柱与地面垂直，高度为．当车牌完全进入摄像头范围内，才能识别车牌号码，某款小汽车车牌上方距离地面．（结果精确到，参考数据：．）

(1)若，求该系统正好能识别该汽车车牌的距离；(2)若的最大值为，求系统能识别该汽车车牌的最大距离．【答案】(1)；(2)．【分析】将具体问题几何化，转为解直角三角形，由于只涉及垂直距离与水平距离，可使用正切值求得水平距离，即可求得系统能识别汽车车牌的距离．【详解】（1）如图，为车牌上方距离地面的高度，，

，，．故该系统正好能识别该汽车车牌的距离为．（2）如图，，，，．故系统能识别该汽车车牌的最大距离为．【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数中边角的关系．2．（2023·湖北随州·统考模拟预测）某县消防大队到某小区进行消防演习已知，图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为转动点A距离地面的高度为．(1)当起重臂长度为，张角，求云梯消防车最高点距离地面的高度；(2)已知该小区层高为，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，）【答案】(1)云梯消防车最高点距离地面的高度为(2)该消防车能有效救援层【分析】如图所示，过点作，垂足为，可求出，在中，根据余弦的计算方法即可求出的长，由此即可求解；当，时，能达到最高高度，可求出的度数，在中，根据正弦的计算方法即可求出的长，由此即可求解．【详解】（1）如图所示，过点作，垂足为，过点A作，垂足为，则，，，，在中，，，，，云梯消防车最高点距离地面的高度为．（2）该消防车能有效救援层，理由如下，当，时，能达到最高高度，，，在中，，，，，该消防车能有效救援层．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．3．（2023·江苏盐城·校考三模）如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．

(1)问悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？(2)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：）【答案】(1)(2)【分析】（1）过点D作于点E，过点作，垂足为，过点作的垂线，垂足为、，证明出四边形是矩形然后在中利用三角函数得到，进而求解即可；（2）首先得到，四边形是矩形，然后在中利用三角形函数求出，然后利用三角形的外角求解即可．【详解】（1）过点D作于点E，过点作，垂足为，过点作的垂线，垂足为、，

∵，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴悬臂端点C到桌面l的距离约为；（2）∵摄像头点D到桌面l的距离为，∴，同理可得四边形是矩形，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．4．（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）图①是某地的一个五角星雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图．已知与地面平行，，，点在一条直线上，点在一条直线上（结果精确到，参考数据：）．(1)求的度数；(2)求该雕塑的高度．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再根据，可得；（2）过点作．先证，推出，再解求出，进而求出，再解即可求出该雕塑的高度．【详解】（1）解：如图，连接．

，又与地面平行，点在一条直线上，．又点在一条直线上，（2）解：如图，过点作．

，，又，即，，，故该雕塑的高度约为．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形．5．（2