第12讲 构造函数及不等式放缩判断函数值大小关系（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第12讲构造函数及不等式放缩判断函数值大小关系（3类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2022年新I卷，第7题,5分构造函数、用导数判断或证明函数的单调性比较指数幂的大小比较对数式的大小2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-12分【备考策略】1会结合实际情况构造函数2能用导数证明函数的单调性3能求出函数的极值或给定区间的最值4能结合单调性进行函数值大小比较【命题预测】比较大小的问题，形式灵活、内涵丰富，学生可以综合运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决实际问题，是考查学生的逻辑推理和数学运算等核心素养的有效题型载体。近几年，这类试题得到了高考和各类大型考试命题老师的青睐和追捧。需综合复习知识讲解构造函数的重要依据常见构造类型常见的指对放缩，，，常见的三角函数放缩其他放缩，，，，，，放缩程度综合，方法技巧1构造相同函数，比较不同函数值2构造不同函数，比较相同函数值3.构造不同函数，比较不同函数值这个时候，不等式放缩就是首选之道了!4.先同构，再构造，再比较当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构(变形)出一个函数之后再来比较大小.考点一、构造函数利用单调性判断函数值大小关系1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】[方法一]：，所以；下面比较与的大小关系.记，则，，由于所以当0<x<2时，，即，，所以在上单调递增，所以，即，即；令，则，，由于，在x>0时，，所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c；综上，，故选：B.[方法二]：令，即函数在（1，+∞)上单调递减令，即函数在（1，3)上单调递增综上，，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小.【详解】设，，时，，为减函数，时，，为增函数，所以，，即.设，，时，，为增函数，时，，为减函数，所以，，即，所以.设，，为增函数，所以，所以，即.故选：D2．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数及函数，结合函数的单调性可比较与，构造函数，结合函数的单调性可比较与，即可得解.【详解】令，，则在上恒成立，故在上单调递减，故，故，即，即，、令，则，故在定义域内单调递增，故，即；令，，则在上恒成立，故在上单调递增，又，故，故，即，故有.故选：D.【点睛】关键点睛：本题关键在于构造对应的函数帮助比较大小，对与，可通过构造，从而比较与的大小关系，构造，从而比较与的大小关系，可得与的大小关系，通过构造可比较与的大小关系.3．（2024·山西·二模）设，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得、，构造函数、，利用导数讨论两个函数的单调性可得、，即可求解.【详解】，，设函数，则，设，则，所以在上单调递减，且，即，所以在上单调递减，则，即，所以.设，则，所以在上单调递增，且，即，得，所以，即，解得.综上，.故选：B【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.4．（2024·安徽·三模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，即可得解.【详解】由，即，令，则在上恒成立，故在上单调递增，则有，即，令，则在上恒成立，故在上单调递减，则有，即，故.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数、，以比较、与、之间大小关系.5．（2024·安徽芜湖·三模）设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先构造函数，利用导数证明，则，再构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，构造函数，利用导数求出其单调区间，即可比较，即可得解.【详解】令，则，令，则，所以函数在上单调递增，所以，即，所以，而，令，则，当时，，所以函数在上单调递减，所以，即，所以，,令，则，令，则，当时，，所以函数在上单调递减，所以，即当时，，所以函数在上单调递增，所以，即，所以，综上所述，.故选：A.【点睛】关键点点睛：构造和两个函数，是解决本题的关键.6．（2024·湖北武汉·二模）设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数、和，其中，利用导数得到它们的单调性即可比较出三者大小关系.【详解】由已知可得，设，，则，所以在上单调递增，所以，即，所以，设，，则，所以在上单调递增，所以，即，综上，设，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，所以故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键首先对进行合理变形得，再通过构造函数、和，利用它们的单调性即可比较三者大小关系.考点二、不等式放缩判断函数值大小关系1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（

）A． B． C． D．放缩法因为，所以，即因为，所以，即综上所述：，故选：C2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当故，故，所以；设，，所以在单调递增，故，所以，所以，所以，故选A[方法二]：不等式放缩因为当，取得：，故，其中，且当时，，及此时，故，故所以，所以，故选A[方法三]：泰勒展开设，则，，，计算得，故选A.[方法四]：构造函数因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．1．（2024·甘肃陇南·一模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，结合幂函数的单调性判断得，再构造函数，推得，从而推得，由此得解.【详解】因为，所以；令，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以，故，则，即，当且仅当时，等号成立，当，即，有，从而有；综上，.故选：D.【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：（1）；（2）.2．（2024·辽宁·一模）设则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数证明不等式，可得；根据不等式的性质可证得，则，即可求解.【详解】对于函数，，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，即.所以，.由，得，所以，则，所以，即.所以.故选：B【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.3．（2024·山东威海·二模）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求导可证明，进而可得，可判断，令，求导可证，令，可判得.【详解】令，可得，所以在上单调递增，当时，，所以，所以，所以，令，求导可得，当，，所以单调递减，所以，即，所以，令，可得，即，所以.故选：B.4．（2024·贵州遵义·三模）设，，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导数判断出其单调性，即可比较，构造函数，，即可比较，即可得解.【详解】，，令，则，所以函数在上单调递增，所以，即，所以，令，则，所以在上单调递减，所以，即，令，则，所以函数在上单调递减，所以，即，所以，即，综上所述，.故选：D.【点睛】关键点点睛：构造函数，，，是解决本题的关键.5．（2023·河南·模拟预测）实数x，y，z分别满足，，，则x，y，z的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知即，，，构选函数确定其在上单调递减，可得，又设，其在上单调递增，所以得．【详解】解：由已知得，，，设，，当时，，所以在上单调递减，因此，即所以，；又设，，当时，，所以在上单调递增，因此，所以，则；综上得.故选：B．【点睛】方法点睛：构造函数比较大小主要方法有：1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小关系.2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.考点三、构造函数解决其他综合问题1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，求导确定其单调性，根据单调性确定建立的不等关系，以及的不等关系，整理化简得答案.【详解】令，则，因为当时，有恒成立，所以当时，，即在上单调递减，所以，即，即，A错误，B正确，，即，即，CD错误.故选：B.2．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知，为正数，且，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，构造函数，求导，判断单调区间，根据已知条件，判断选项.【详解】由，可知，设，则，令，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，故当时，则，，故，，且当时，，故，只有C满足要求.故选：C3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不等式整理为，构造函数，利用单调性得到，再构造，进而得到，从而.【详解】，，且，两边加上得，，设，则，所以单调递增，，即，令，则，的定义域是，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，取得极大值即为最大值，，，.故选：C．【点睛】方法点睛：将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将整理为，从而构造函数求解.4．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，由导数求得函数单调性，利用单调性解不等式.【详解】由，有，令，则，所以在区间上单调递增．又，得，所以，所以，解得．故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用导数运算法则构造函数，令，由导数证明单调递增，不等式变形为，利用单调性解即可.1．（23-24高二下·天津·期中）已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，根据已知条件判断的单调性，奇偶性，结合的模拟草图，数形结合即可求得结果.【详解】令，则，由题可知，当时，，故在单调递减；又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增；又，则，画出的模拟草图如下所示：

当时，，则，数形结合可知，此时；当，因为为上的奇函数，故，不满足题意；当，，则，数形结合可知，此时；综上所述：的解集为.故选：A.2．（2024·辽宁·模拟预测）已知a，，若，，则b的可能值为（

）A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6【答案】B【分析】构造函数，求导确定其单调性，结合可得答案.【详解】由得，设，则，又，当时，，单调递增，当时，，单调递减．因为，所以．结合选项可知B正确，ACD错误.故选：B.3．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，利用导数求得在上单调递减，把不等式转化为，即可求解.【详解】设函数，可得，所以函数在上单调递减，由，可得，即，可得，所以，即不等式的解集为.故选：D.4．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，然后由已知可得的单调性，最后将不等式转化为，即可得到答案.【详解】，令，则，则在上单调递增.由，为奇函数，得，则，从而原不等式可化为，即，此即为.由于在上单调递增，故这等价于，所以不等式的解集为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.1．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，由导数求解函数的单调性，即可比较，利用对数函数的单调性结合中间值法可得出，的大小关系.【详解】设函数，则，当时，，为增函数，得，即，即，得，因为，因此，.故选：B.2．（2024·云南贵州·二模）已知，则的大关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据的特点，构造函数，判断其单调性，得到，故有，再运用作差法比较即得.【详解】设，则，当时，，在上递增；当时，，在上递减,故.则，即；由可知，故.故选：B.3．（2024·四川·模拟预测）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用当时，判断，通过函数在是减函数判断.【详解】当时，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，也就是说当时，，用代替，可得，即，所以，即．又知，所以，所以．故选：A4．（2023·山西·模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数研究其单调性，运用函数单调性比较大小即可.【详解】易知，，，令，则，，所以在上单调递减，又因为，所以，即．故选：D.5．（2023高三·全国·专题练习）若函数在R上可导，且满足恒成立，常数则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造并求导，判断单调性，即可得结果.【详解】令，则恒成立，故在上单调递增．，，即．故选：A6．（2024高二下·全国·专题练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据不等式结构特征构造函数，研究该函数的单调性即可求解.【详解】令，则，因为，所以，则在上单调递减，所以，即，故，，故选：C.7．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数的定义域是，其导函数为，且，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，通过求导及已知条件得出单调性并化简不等式，即可求出不等式的解集.【详解】由题意，在函数中，，导函数为，，设，则.∵，∴，则是上的增函数.不等式等价于，即，则解得：，故选：D.8．（23-24高二上·重庆·期末）已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，得到，得到在上单调递增，再由，得到，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】因为当时，，可得，令，可得，所以在上单调递增，因为，可得，对于A中，由，即，所以，所以A不正确；对于B中，由，即，所以，所以B不正确；对于C中，由，即，所以，所以C正确；对于D中，由，即，所以，所以D不正确.故选：C.9．（2024·广东·二模）函数的定义域为，若，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，解不等式即可得出答案.【详解】构造函数，满足，，则由可得，解得：.故选：B.10．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，构造函数，判断的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调性得到一元二次不等式，解之即得.【详解】设，则，故单调递增.又，故可转化为，即，由单调递增可得，解得或，即不等式的解集为.故选：.1．（2024高三下·全国·专题练习）已知，，，则下列大小关系正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】构造函数，通过导数判断单调性，进而利用单调性判断函数值的大小.【详解】由题，.令（），则，因为，所以，所在上单调递增，又，，，，故.故选：C.2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造，利用导数证明，代入可比较的大小，根据对数函数的性质可判断的大小，从而可求解.【详解】设，则，所以在上单调递减，所以，所以，所以，即，所以，即，所以，即.由，可得，即，即，所以，即.综上所述，.故选:B.3．（2023·辽宁鞍山·二模）已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用的奇偶性和单调性求得正确答案.【详解】设，，所以是奇函数.当时，，则，所以在上单调递增，则在上单调递增，不等式即，所以，所以不等式的解集为.故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键点有两点，一个是函数的奇偶性，奇偶性可以转化为来进行判断；一个是构造函数法，有关和的不等关系式，在解题过程中可以考虑利用构造函数法，然后结合导数来进行求解.4．（23-24高二下·江苏常州·期中）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将两边分别同时取对数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得解.【详解】由，，，得，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】关键点点睛：将两边分别同时取对数，构造函数是解决本题的关键.5．（2024·湖北黄冈·二模）已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得，利用指对数函数的单调性，通过构造函数判断单调性可推得，最后利用正切函数的单调性可得.【详解】由可得因，又，故,即；因，则由，由函数，，因时，，即函数在上单调递减，则有，故得；由，而，即，综上，则有.故选：B.【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法，（1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断；（2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较；（3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断.6．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性，在将所给不等式中化为即可得解.【详解】令，则，由题意可得，当时，，即在上单调递增，由，则，即，故为偶函数，故在上单调递减，则不等式可化为：，即，则有，即，即，即，解得.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性.7．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】令，则，因为当时，，所以在上单调递增，又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数，由，得，解得或故选：D.【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.8．（2024·陕西·模拟预测）已知函数，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用导数判断的单调性，再构造函数，利用导数判断得，从而得解.【详解】因为，所以，令，则恒成立，所以当时，，即，又在上单调递增，所以，所以在上恒成立，则在上单调递增，构造函数，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，可得，，所以，，所以，，即所以，，即.故选：D.【点睛】思路点睛：先利用导数判断的单调性，再构造函数，利用导数判断得，是解决本题的关键.9．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦函数、对数函数性质易得，构造，利用导数判断单调性，再判断大小关系即可得，即可得结果.【详解】因为在内单调递增，则，即，又因为在内单调递增，则，，可得；令，则，，构建，则，可知在上递减，则，即；综上所述：.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据构建，利用导数判断其单调性，进而可得.10．（2023