第03讲 指数与指数函数（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第03讲指数与指数函数（5类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第6题,5分判断指数函数的单调性判断对数函数的单调性根据分段函数的单调性求参数2023年新I卷，第4题,5分指数型复合函数单调性二次函数单调性2022年新I卷，第7题,5分比较指数幂的大小用导数判断或证明已知函数的单调性比较对数式的大小2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点4.能结合指数函数比较指数式大小【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考知识讲解指数的基本知识根式的基本性质①的定义域为,的定义域为②，定义域为③，定义域为④，定义域为⑤，定义域为指数的基本性质①零指数幂:;②负整数指数幂:③正分数指数幂:;④负分数指数幂:指数的基本计算①同底数幂的乘法运算②同底数幂的除法运算③幂的乘方运算④积的乘方运算指数函数指数函数的定义及一般形式一般地，函数，叫做指数函数指数函数的图象和性质图象定义域值域性质过定点当时，；时,当时，；时,在上是增函数在上是减函数考点一、指数与指数幂的运算1．（2023·全国·模拟预测）（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】利用指数幂的运算性质化简计算即可.【详解】．故选：A．2．（2024·广东·模拟预测）若，则．【答案】【分析】分和两种情况分类计算.【详解】当时，，当时，.故答案为：3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．1．（2024·上海宝山·二模）将（其中）化为有理数指数幂的形式为.【答案】【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可【详解】故答案为：2．（2023·山东·模拟预测）若，则的值为（

）A．8 B．16 C．2 D．18【答案】D【分析】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.【详解】解：因为，所以.故选：D．3．（2023·四川宜宾·一模）计算:.【答案】【分析】根据根式、指数幂运算以及对数的定义运算求解.【详解】由题意可得：，即.故答案为：.考点二、指数函数的图象及其应用1．（2024·四川成都·模拟预测）函数与的图象（

）A．关于轴对称 B．关于轴对称C．关于原点对称 D．关于对称【答案】C【分析】根据函数图象的对称性即可判断，对于两个函数与，如果它们的图象关于原点对称，即在定义域内恒成立，则称与为中心对称，利用指数函数的图象的对称性，得出结论.【详解】令函数，所以即，所以函数与的的图象关于原点对称，即函数与的图象的的图象关于原点对称，故选：C.2．（23-24高三上·河北衡水·开学考试）已知，则函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AD【分析】通过特值法，排除错误选项，通过的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.【详解】由于当时，，排除B，C，当时，，此时函数图象对应的图形可能为A，当时，，此时函数图象对应的的图形可能为D.故选：AD.3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）函数的所有零点之和为（

）A．0 B．-1 C． D．2【答案】A【分析】令，即，构造函数与函数，画出函数图象，可知两个函数图象相交于两点，设为，得，进而得到，即【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令，则，显然，所以，构造函数与函数，则方程的根，可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点，设为，所以，，即，另外发现，将代入，可得，所以也是函数的零点，说明，即.故选:A.1．（22-23高二下·四川绵阳·期末）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【分析】利用函数图象的平移变换可得出结论.【详解】因为，，所以，为了得到函数的图象，只需将指数函数的图象向右平移个单位，故选：D.2．（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）（多选）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【分析】根据二次函数的图象与指数函数的图象判断，注意分类讨论．【详解】当时，对应的图象可能为选项A；当时，对应的图象可能为选项C.故选：AC.3．（2024·黑龙江·二模）已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得且，求出a，即可求解.【详解】因为函数图象过原点，所以，得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交，所以，则，所以.故选：C考点三、指数（型）函数的单调性1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D2．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（

）A．函数单调递增 B．函数值域为C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称【答案】C【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD.【详解】，函数，，则，又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.故选：C.3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，即可判断为奇函数，又，可得图象的对称中心为，则，再判断的单调性，不等式，即，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】设，，则，所以为奇函数．又，则的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，所以图象的对称中心为，所以．因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，则在上单调递增，因为，所以，所以，解得，故满足的的取值范围为．故选：B4．（2024·全国·模拟预测）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.【详解】因为函数是减函数，所以．又因为函数5）图像的对称轴是直线，所以函数在上单调递减，在上单调递增．又函数是上的减函数，所以，解得，所以的取值范围是．故选:B．1．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.【详解】令，则，由复合函数的单调性可知：的单调递减区间为函数的单调递减区间，又函数，即函数为偶函数，结合图象，如图所示，可知函数的单调递减区间为和，即的单调递减区间为和．故选：C．2．（2024·福建福州·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，所以在区间单调递减，所以，解得．故选：D．3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数单调递增B．函数值域为C．函数的图象关于对称D．函数的图象关于对称【答案】ABD【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD.【详解】，函数，，则，又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.故选：ABD4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判断函数的单调性，再利用单调性解不等式即可.【详解】，易知在单调递减，在单调递减，且在处连续，故在R上单调递减，由，则，解得,故不等式的解集为.故选：A考点四、指数（型）函数的值域与最值1．（23-24高三·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为，值域为．【答案】【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域.【详解】令，解得或，∴的定义域为，令，则其在上递减，在上递增，又为减函数，故的增区间为．∵，∴，故的值域为．故答案为：，.2．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是.【答案】或【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．【详解】由题意，令，，，，当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为，因为存在最小值，故需，解得，结合，此时；当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为，因为存在最小值，故需，即，解得，这与矛盾；当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2；则实数的取值范围为或．故答案为：或．3．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.【详解】当时，，符合题意；当时，因为函数的值域为满足，由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零；若时，依题意有的最小值，即，若时，不符合题意；综上：，故选：B.1．（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是.【答案】16【分析】求出的范围，根据复合函数的单调性求解.【详解】由，而，因为单调递增，所以，则的最大值是16.故答案为：162．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得.【详解】函数在上单调递增，，令，而函数在上单调递增，则，所以函数的值域为.故选：D3．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数的取值范围.【详解】①若，当时，在上单调递减，此时，当时，，当且仅当时，等号成立，又函数的值域D满足，则解得；②若，当时，在上单调递增，此时，当时，，当且仅当时，等号成立，又函数的值域D满足，不合题意；③当时，，若，有（当且仅当时取等号）符合题意，综上所述：.故选：D.考点五、指数值的大小比较（含构造函数比较大小）1．（2024·云南·二模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据中间数比较与，根据中间数比较与.【详解】因为，，所以，因为，，所以，所以.故选：D.2．（2024·天津·一模）已知实数a，b，c满足，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件，得到，利用函数的单调性，即可得到，而，即可求出结果.【详解】因为，得到，又，函数是减函数，所以，又，得到，所以，故选：A.3．（2024·宁夏银川·三模）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，应用导数得其单调性，可判断，再结合指数函数的单调性即可判断.【详解】根据题意，构造函数，则，当时，，所以在区间上单调递增，因此可得，即，所以，又指数函数为单调递增，可得，即，因为，所以.故选：A.1．（2024·四川·模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案.【详解】因为指数函数是单调减函数，所以，又由幂函数在上单调增函数，所以，又因为指数函数是单调增函数，所以，综上可得：，故选：D.2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D3．（2024·辽宁·一模）设则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数证明不等式，可得；根据不等式的性质可证得，则，即可求解.【详解】对于函数，，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，即.所以，.由，得，所以，则，所以，即.所以.故选：B【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.一、单选题1．（2024·陕西渭南·二模）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数值域化简集合，再利用并集的定义求解即得.【详解】当时，，则，而，所以.故选：C2．（2024·河南·模拟预测）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】构造函数，根据函数单调性得到，故.【详解】构造函数，则在上单调递增，所以．故选：C．3．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分和两种情况讨论的单调性，结合充分、必要条件分析判断.【详解】若，则的图象为：可知在上单调递增；若，则的图象为：可知在上单调递减；综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件.故选：C．4．（2024·全国·模拟预测）已知函数为偶函数，则函数的增区间为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由偶函数求得参数值，进而得表达式，结合指数函数单调性即可得解.【详解】因为函数为偶函数，所以，解得，所以函数，其增区间为.故选：B．5．（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.【详解】设，，则在上单调递增.因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减，结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4.故选：6．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，利用时，和可求得的解析式.【详解】设，则，所以，又函数是奇函数，所以，即，.即.故选：C7．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【分析】由函数的图象关于对称得零点关于对称，但的零点个数为奇数个可得答案.【详解】因为函数为偶函数，所以，所以的图象关于对称，令，则，可得函数的图象关于对称，所以函数的图象关于对称，则函数的零点关于对称，但的零点个数为奇数个，则.故选：D.二、填空题8．（2024·山东济宁·三模）已知函数，则.【答案】【分析】利用已知的分段函数，可先求，再求即可.【详解】因为，所以.所以.故答案为：.9．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下面条件①②的函数解析式．①；②的值域为．【答案】（答案不唯一）【分析】根据指数函数的值域和指数运算即可得到答案.【详解】对于任意指数函数函数且,条件①，对于任意，都有，条件②，是指数函数，所以的值域为，例如：函数为指数函数，满足条件①②.故答案为：（答案不唯一）.10．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为．【答案】【分析】根据已知条件，推得，为真命题，再结合指数函数值域的范围，即可求解．【详解】命题“，”为假命题，则，为真命题，又则，故实数的取值范围为．故答案为：．一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得.【详解】由对称中心性质可知函数满足，即，整理可得，即，解得.故选：C2．（2024·贵州毕节·三模）已知函数是奇函数，若，则实数a的值为（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.【详解】因为函数是奇函数，所以，解得，又，所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，因为，所以，故.故选：B3．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性判断，根据基本不等式判断，根据指数的运算判断.【详解】由指数函数的单调性可知在上单调递增，又，所以，故正确；因为，，所以，又，所以上式取不到等号，所以，故正确；，，，，，故错误；，，故正确.故选：C.4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数方程有两个不同的根，分别是则（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果.【详解】由题意得：为R上的增函数，且当时，，，当时，，，方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象如下图所示：由图可知与图象关于对称，则两点关于对称，中点在图象上，由，解得：.所以.故选：B5．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用构造函数法，结合导数的性质判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可.【详解】由题意知，令，则，所以在上单调递减，又，所以，即，所以，即，所以，又，又，所以，所以，所以．故选：B．【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知实数进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性进行判断.6．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性即可比较大小.【详解】令，求导得，当时，，则在上单调递减，则，即，而，于是，所以.故选：D二、多选题7．（2024·山东临沂·一模）已知函数，则（

）A．的定义域为B．的值域为C．当时，为奇函数D．当时，【答案】ACD【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断A，再分、分别求出函数值的取值范围，即可得到函数的值域，从而判断B，根据奇偶性判断C，根据指数幂的运算判断D.【详解】对于函数，令，解得，所以的定义域为，故A正确；因为，当时，所以，当时，所以，综上可得的值域为，故B错误；当时，则，所以为奇函数，故C正确；当时，则，故D正确.故选：ACD三、填空题8．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解.【详解】若命题任意“，”为假命题，则命题存在，为真命题，因为时，，令，则，则在上单调递增，所以，所以.故答案为：.9．（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为．【答案】/【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值.【详解】当时，，即，当时，，即，于是，在上，都成立，即为偶函数.由指数函数的单调性可知，在上单调递增，因此，不等式等价于，即，解得.故m的最大值为.故答案为：.10．（2024·广东广州·三模）函数，其中且，若函数是单调函数，则a的一个可能取值为．【答案】4（答案不唯一）【分析】根据题意，在R上单调递增，根据分段函数单调性列式求解.【详解】因为且，若函数是单调函数，结合二次函数可知：在R上单调递增，，解得.故答案为：4（答案不唯一）.1．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B.2．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以，故选：B3．（