专题09 圆心角、圆周角压轴题八种模型全攻略（原卷版）

专题09圆心角、圆周角压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】 1【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】 3【考点三圆周角定理】 5【考点四同弧或等弧所对的圆周角相等】 7【考点五半圆(直径)所对的圆周角是直角】 10【考点六90度的圆周角所对的弦是直径】 12【考点七已知圆内接四边形求角度】 15【考点八求四边形外接圆的直径】 17【过关检测】 20【典型例题】【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知的半径，，在上，于点，于点，且，求证：．

【变式训练】1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD．2．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．【考点三圆周角定理】例题：（2023·广东梅州·校考一模）如图，是上的三个点，，则度数是．

【变式训练】1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则．2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为．【考点四同弧或等弧所对的圆周角相等】例题：（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）如图，为⊙O的直径，，则的度数为．【变式训练】1．（2023春·北京东城·八年级景山学校校考期末）如图，为的外接圆的直径，若，则

2．（2023春·江西上饶·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，点，在上，且，的延长线与的延长线交于点，连接，若，则的度数是．

【考点五半圆(直径)所对的圆周角是直角】例题：（2023·辽宁营口·校联考一模）如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则．

【变式训练】1．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）如图，是的直径，是的弦，如果．

(1)求的度数．(2)若，求的长．2．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．

(1)求证：点D为弧的中点；(2)若，，求的直径．【考点六90度的圆周角所对的弦是直径】例题：（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形中，，动点P在矩形的内部，连接、，若，则的最小值是．【变式训练】1．（2023·山东济宁·统考三模）如图，在中，，，，D为线段上的动点，连接，过点B作交于点E，则在点D的运动过程中，求线段的最小值为．

2．（2023春·浙江·九年级专题练习）在矩形中，，，点F是边上的一个动点，连接，过点B作于点G，交射线于点E，连接，则的最小值是．【考点七已知圆内接四边形求角度】例题：（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么．

【变式训练】1．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，已知四边形内接于，，则的度数是．

2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在直径为的中，点，在圆上，，若，则的度数为．【考点八求四边形外接圆的直径】例题：（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（）A． B．2 C．2 D．4【变式训练】1．（2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（

）A． B． C． D．2．（2021·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于，，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则的面积是（

）A． B． C． D．【过关检测】一、单选题1．（21·22上·肇庆·期末）如图，点，，在上，若，则的度数是（）

A． B． C． D．2．（17·18上·南通·期中）如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．3．（23·24上·广州·期中）如图，是的直径，是的弦，，则等于（

）

A． B． C． D．4．（23·24上·大同·阶段练习）如图，是的直径，点是上的一点，若，于点．则长为（）

A．1 B．2 C．3 D．45．（23·24上·武汉·期中）如图，四边形是的内接四边形，，将绕点旋转至，则下列说法不正确的是（

）

A．平分B．点A，，在同一条直线上C．若，则D．若，则二、填空题6．（23·24上·滨海新·期中）如图，是的直径，，，则．

7．（23·24上·西城·期中）如图，四边形内接于为直径，，若，则．8．（23·24上·盐城·阶段练习）如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，若，，则．9．（22·23下·襄阳·模拟预测）半径长为的中，有一条弦的长为，则弦所对的圆周角度数等于．10．（23·24上·福州·阶段练习）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转角得到AP，连接，．当为直角三角形时，旋转角α的度数为．

三、解答题11．（23·24上·南京·阶段练习）如图，在中，弦，相交于点E，．(1)求证；(2)连接，若，则的度数为________°．12．（23·24上·温州·阶段练习）如图，在中，，D为中点，以为直径作，分别交于点E，F．

(1)求证：；(2)若，，求的长．13．（23·24上·南京·阶段练习）如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．

(1)若，则______；(2)过点作于，判断、、之间的数量关系并证明．14．（23·24上·扬州·阶段练习）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动：

(1)如图1，点、、在上，点在外，线段、与交于点、，试猜想______（请填“”、“”或“”），(2)如图2，点、、在上，点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明；(3)如图3，凸四边形中，对角线长为8，，，则四边形面积的最大值是______.15．（21·22上·渭南·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．

(1)如图1，若四边形是圆美四边形．求美角的度数；(2)在