解直角三角形实际应用的三种考法（原卷版）（北师大版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题02解直角三角形实际应用的三种考法类型一、仰角俯角问题例．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为和，矩形建筑物宽度，高度．则信号发射塔顶端到地面的高度（即的长）为多少？【变式训练1】．“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台观景，然后再沿着坡角为的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面的垂直距离为．如下图，，，，求斜坡的长度．（结果精确到，，，，，，）

【变式训练2】．国家跳台滑雪中心位于北京2022年冬奥会张家口赛区古杨树场馆群，是我国首座符合国际标准的冬奥会跳台滑雪场地．外观结构与中国传统吉祥物“如意”的S形曲线完美融合，因此，被形象地称为“雪如意”，在它的身上，体现了现代建筑与自然山水、历史文化的交相辉映，在这里举行的跳台滑雪分大跳台和标准台，大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔1635米，大跳台与标准台水平相距米，大跳台坡角，标准台坡角．求大跳台与标准台出发点落差是多少？（参考数据：，，；，，，结果保留整数．）

【变式训练3】．投影仪，又称投影机，是一种可以将图像或视频投射到幕布上的设备．如图①是屏幕投影仪投屏情景图，如图②是其侧面示意图，已知支撑杆与地面垂直，且的长为，脚杆的长为，距墙面的水平距离为，投影仪光源散发器与支撑杆的夹角，脚杆与地面的夹角，求光源投屏最高点与地面间的距离．（参考数据：，，，，结果精确到）类型二、方位角问题例．如图，湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东方向上，B在A的东北方向上，且在C的正南方向900米处．

(1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米．参考数据：）；(2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在7分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）【变式训练1】．小明在学习直角三角形的三角函数时发现：如图1，在中，所对的边分别是a、b、c，∵，（）∴．小明猜想：在锐角三角形中也有相同的结论．

(1)如图2，在锐角三角形中，所对的边分别是a、b、c，请你运用直角三角形的三角函数的有关知识验证；(2)请你运用（1）中的结论完成下题：如图3，在南海某海域一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以80海里/小时的速度按北偏东的方向航行，两小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西的方向上，求此时货轮与灯塔A的距离．【变式训练2】．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知B在C的正西方向，A在C的北偏西方向，B在A的南偏东方向1800米处．

(1)求湖岸A与码头C的距离（结果可含根号）；(2)救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为420米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）（参考数据：，，）【变式训练3】．如图，渔船跟踪鱼群由西向东航行，远处有一个小岛A，在点测得小岛A在北偏东60°，航行60海里到达点，这时测得小岛在A在北偏东45°的方向上．

(1)若渔船不改变航线继续向东航行，距离A岛的最短距离是多少？（结果保留根号）(2)渔船行至点时，忽然发现油料短缺，遂就地停船休整，与此同时，在正东方向，距离点180海里的救援船前来救援，请问当小岛A、渔船和救援船所组成的三角形是直角三角形时，此时救援船距离小岛A有多远？（结果保留根号）【变式训练4】．如图，是某景区一段坡度的上坡路段，为竖直（与水平面垂直）的监控立杆，点D处安装了摄像头，点A、B分别为摄像头的测速起点与终点．安装调试摄像头时，在摄像头D处测得点A的俯角为，点B的俯角为．已知米，点O、A、B、C、D、E、在同一平面内．

(1)求杆的高度；（精确到个位）(2)一辆小汽车从A点驶向B点，摄像头两次测速抓拍的时间间隔为秒．若，此路段的限速是40千米/小时，试判断这辆小汽车是否超速违章，并说明理由．（参考数据：，，，）类型三、坡度问题例．如图某中学依山而建，校门A处有一坡度的斜坡，长度为13米，在坡顶B处看教学楼的楼顶C的仰角是，离B点4米远的E处有一个花台，在E处看楼顶C的仰角是的延长线交校门处的水平面于点D．

(1)求坡顶B的高度；(2)求楼顶C的高度．【变式训练1】．如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至E处，在E处测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度，根据小颖的测量数据，求建筑物的高度．(结果精确到0.1米．参考数据：）

【变式训练2】．如图．为测量学校旗杆的高度．小明从旗杆正前方处的点C出发沿坡度为的斜坡前进到达点D，在点D处放置测角仪．测得旗杆顶部A的仰角为量得测角仪的高为，A、B、C、D、E在同一平面内．且旗杆和测角仪都与地面垂直．

(1)求点D到地面的铅垂高度．（结果保留根号）(2)求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：）【变式训练3】．如图是某校运动会主席台的侧面示意图，是主席台上的背景墙，数学兴趣小组想利用所学知识测量背景墙的高度．他们在距离主席台底端处的处竖立测角仪，从处测得背景墙顶端处的仰角为，，，，，，均在同一平面内）．已知长为，斜坡的坡度，坡长为，，测角仪高，求背景墙的高．（结果保留1位小数，参考数据：．．

【变式训练4】．周末，小明和小红相约爬山到山顶点C处观景（山脚处的点A、B在同一水平线上）．小明在A点处测得山顶点C的仰角为，他从点A出发，沿爬山到达山顶C．小红从点B出发，先爬长为米的山坡到达点D，的坡度为，然后沿水平观景步道走了900米到达点E，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后爬山坡到达山顶C（点A、B、C、D、E在同一平面内，小明、小红的身高忽略不计）．（参考数据：，）(1)求山顶C到的距离（结果保留整数）；(2)若小明和小红分别从点A、点B同时出发，小明的爬山速度为70米/分，小红的爬山速度为60米/分（小红在山坡、山坡段的速度相同），小红的平路速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由．课后作业1．某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且米．（参考数据：，，）

(1)求的长度（精确到个位）；(2)已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？2．（1）如图：为测量河宽（假设河的两岸平行），在点处测得，在点处测得，且，则河宽为多少（结果保留根号）．（2）如图所示，小明同学在学校某建筑物的点处测得旗杆顶部点的仰角为，旗杆底部点的俯角为．若旗杆底部点到建筑物的水平距离米，旗杆台阶高米，则旗杆顶点离地面的高度为多少米（结果保留根号）．3．如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．

(1)当悬臂与桌面平行时，=___________°(2)问悬臂端点到桌面的距离约为多少？(3)已知摄像头点到