第01讲 平面向量的概念、线性运算及其坐标运算（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第01讲平面向量的概念、线性运算及其坐标运算（5类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示向量垂直的坐标表示2023年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示向量垂直的坐标表示利用向量垂直求参数2022年新Ⅱ卷，第4题,5分平面向量线性运算的坐标表示数量积及向量夹角的坐标表示2021年新Ⅱ卷，第10题,5分坐标计算向量的模数量积的坐标表示逆用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的余弦公式2020年新Ⅱ卷，第3题,5分向量加法的法则向量减法的法则无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义4理解向量的线性运算性质及其几何意义5会向量间的坐标运算【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习知识讲解1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．（1）若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.（2）P为线段AB的中点⇔eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))．4.向量的坐标运算两点间的向量坐标公式：，，终点坐标始点坐标向量的加减法，，向量的数乘运算，则：向量的模，则的模相反向量已知，则；已知单位向量向量的平行关系，，考点一、平面向量基本概念的综合考查1．关于平面向量，下列说法正确的是（

）A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的2．下列结论正确的是：（

）A．若与都是单位向量，则．B．若与是平行向量，则．C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量3．（多选）下列结论中，错误的是（

）A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；B．若，则，不是共线向量；C．若，则四边形是平行四边形；D．与同向，且，则1．下列说法正确的是（

）A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行C．模为1的向量都是相等向量D．向量的模可以比较大小2．下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向3．下列说法错误的是（）A．B．，是单位向量，则C．若，则D．两个相同的向量的模相等4．（多选）下列说法错误的是（

）A．若与都是单位向量，则B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量C．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合考点二、相等向量及其应用1．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2024高三·上海·专题练习）已知向量，不共线，实数，满足，则（

）A．4 B． C．2 D．1．（2023·北京大兴·三模）设，是非零向量，“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点D的坐标为．考点三、平面向量线性运算的综合考查1．（广东·高考真题）如图所示，已知在中，是边上的中点，则（

）A． B．C． D．2．（海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（

）A． B． C． D．3．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形中，，且，点是的中点，则（

）A． B．C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则点的坐标为（

）A． B． C． D．1．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，点，则点B的坐标为（

）A． B． C． D．2．（山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（

）

A． B． C． D．3．（2024·河南三门峡·模拟预测）在中，，则（

）A． B．C． D．4．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形是平行四边形，，，记，，则（

）A． B．C． D．考点四、平面向量共线定理与点共线问题1．（2022·四川绵阳·二模）已知平面向量a，b不共线，，，则（）A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线2．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（

）A．、、三点共线 B．、、三点共线C．、、三点共线 D．、、三点共线3．（2024·贵州黔东南·二模）已知向量三点共线，则.1．已知为不共线向量，，则（

）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线2．（2024·辽宁·二模）（多选）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（

）A．三点共线 B．C． D．点在的内部考点五、平行向量（共线向量）求参数1．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为．15．2．（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量，满足，则正数（

）A．1 B． C． D．23．（23-24高一下·广东河源·期中）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则.4．（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则．1．（2024·山东菏泽·模拟预测）设向量，，若，则实数的值为（

）A． B． C．2 D．12．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量，不共线，，，且，则（

）A． B．0 C．1 D．3．（2024·江苏·二模）已知非零向量，，若，则（

）A． B． C． D．一、单选题1．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．（22-23高一下·贵州遵义·阶段练习）在四边形中，若，则（

）A．四边形是平行四边形 B．四边形是矩形C．四边形是菱形 D．四边形是正方形3．（2024高三·全国·专题练习）设分别为的三边的中点，则（

）A． B． C． D．4．（2021·全国·二模）已知向量和不共线，向量，，，若､､三点共线，则（

）A．3 B．2 C．1 D．5．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（

）A． B．C． D．6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点，，，，则与向量同方向的单位向量为（

）A． B．C． D．7．（22-23高一下·江西九江·期中）设为两个非零向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、多选题8．（22-23高一下·吉林四平·阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线C．单位向量是模为的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等三、填空题9．（22-23高三上·福建厦门·开学考试）写出一个与向量共线的向量.10．（2024·陕西西安·一模）已知平面向量，若与共线，则实数．一、单选题1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.③（为实数），则必为零.④为实数，若，则与共线.其中正确的命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．已知，，则与共线的单位向量是（）A． B．或C． D．或3．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（

）A． B．或C．或 D．4．下列命题中正确的是（

）A．若，则B．C．若，则与的方向相反D．若，则5．（2024·四川·模拟预测）如图，是边的中点，在上，且，则（

）A． B．C． D．6．（2023·湖北武汉·三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（

）．A． B． C．3 D．9二、填空题7．（2024·青海西宁·二模）若向量不共线，且，则的值为．8．（2022·广西柳州·三模）已知平面向量，，若，则.9．（2024·山西·三模）如图，函数的图象经过点A，B，点T在x轴上，若，则点B的纵坐标是．10．（2022高三·全国·专题练习）设两个向量和＝，其中为实数.若，则的取值范围是.一、单选题1．（四川·高考真题）如图，正六边形中，（

）A． B． C． D．2．（安徽·高考真题）若，,则（）A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）3．（辽宁·高考真题）已知点则与同方向的单位向量为A． B． C． D．4．（山东·高考真题）如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（

）A． B．C． D．5．（全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．6．（福建·高考真题）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于A． B． C． D．7．（山东·高考真题）已知向量与且则一定共线的三点是（

）A．A，C，D三点 B．A，B，C三点C．A，B，D三点 D．B，C，D三点8．（广东·高考真题）已知平面向量，，且，则等于（

）A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）9．（海南·高考真题）平面向量，共线的充要条件是（

）A．，方向相同 B．，两向量中至少有一个为零向量C．， D．