二次函数中特殊四边形存在性问题（解析版）（北师大版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题06二次函数中特殊四边形存在性问题类型一、平行四边形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；(3)把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求其中一个N点坐标的过程写出来．【答案】(1)抛物线的函数表达式为(2)当时，取得最大值，此时，(3)N点的坐标为其中一个N点坐标的解答过程见解析【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）运用待定系数法求得直线的解析式为，如图1，过点作轴交于点，设，则，证明，得出：，运用求二次函数最值方法即可得出答案；（3）设，分三种情况：当为的边时；当为的边时；当为的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．【详解】（1）∵抛物线与轴交于两点（点在点的左侧)，解得：，∴抛物线的函数表达式为；（2）∵抛物线与轴交于点，∴，∴，设直线的解析式为，把代入，得：解得：，∴直线的解析式为，如图1，过点作轴交于点，设，则，∴，∵，∴，∴当时，取得最大值，此时，．（3）如图2，沿射线方向平移个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，∴新的物线解析式为，对称轴为直线，设，当为的边时，则，，解得：，当为的边时，则，解得：，当为的对角线时，则，解得：，综上所述，点的坐标为：【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点．

(1)点坐标是______；点坐标是______；(2)求抛物线的解析式和顶点坐标；(3)探究1：在抛物线上直线下方是否存在一点，使面积最大？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(4)探究2：在（3）的条件下，平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)，(3)(4)点的坐标为或或【分析】（1）由题意求出当时，，当时，，即可得出、的坐标；（2）将、两点坐标分别代入二次函数解析式，即可求解；（3）设点坐标为，过点作于点，交于点，则点坐标为，根据，即可求解；（4）分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形对角线时，当为平行四边形对角线时，列出方程组可求出答案．【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，当时，，当时，，解得：，，，故答案为：，；（2）将、两点坐标分别代入二次函数解析式，，解得：，二次函数解析式为：，化为顶点式为，抛物线的顶点为；（3）存在，理由如下：设点坐标为，如图，过点作于点，交于点，

则点坐标为，，，当时，有最大值，此时，，；（4）存在，理由如下：设，由（1），（3）可知，，，如图，当为平行四边形的对角线时，

，，，如图，当为平行四边形的对角线时，，，，如图，当为平行四边形的对角线时，，，，综上所述，点的坐标为或或．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键．【变式训练2】．已知抛物线（如图所示）．(1)填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；(2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，点M在直线上．在平面内是否存在点N，使四边形为菱形？直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在请说明理由【答案】(1)0，1；直线（或y轴）(2)(3)存在，，，使得四边形是菱形【分析】（1根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可；（2）根据等边三角形的性质求得，将代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标；（3）首先求得直线的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标．【详解】（1）抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线（或y轴）．故答案为：0，1；直线（或y轴）；（2）如图，∵是等边三角形，∴．∴．∴．把代入，得，．∴．（3）∵点A的坐标为，，点P的坐标为设线段所在直线的解析式为∴解得：∴解析式为：设存在点N使得是菱形，∵点M在直线上，∴设点M的坐标为：如图，作轴于点Q，∵四边形为菱形，∴，∴在直角三角形中，，即：解得：代入直线的解析式求得或1，当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：当N在右图1位置时，∵，∴，又∵M点坐标为，∴N点坐标为，即坐标为．当N在右图2位置时，∵，M点坐标为，∴N点坐标为，即坐标为．当P点在抛物线的左支上时，同理可求或，∴存在，，，使得四边形是菱形．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用应用，解题的关键是仔细读题，并能正确的将点的坐标转化为线段的长，本题中所涉及的存在型问题更是近几年中考的热点问题．【变式训练3】．如图，直线l：与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与抛物线交于点B．

(1)求该抛物线的解析式；(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第三象限内，连接、，设点M的横坐标为m，四边形的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；(3)若点C在直线上，抛物线上是否存在点D使得以O，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点D的坐标．【答案】(1)该抛物线的解析式为(2)S有最大值，当时，S的最大值是(3)，，，【分析】（1）把代入，求出B的值，再将点B的坐标代入，求出a的值，即可得出抛物线解析式；（2）连接，设点，根据得出S关于x的表达式，将其化为顶点式，即可求解；（3）设点C的坐标为，而点B和点O的坐标分别为和，进行分类讨论：①当是平行四边形的一条边时，则有，，得出或，得出方程或，求解即可；②当是平行四边形的对角线时，必过的中点，且与互相平分，即E也是的中点，得出，得出方程，求解即可．【详解】（1）解：把代入得：，把代入得：，解得：，∴，，把代入得：，解得：，∴该抛物线的解析式为．（2）解：连接，如图所示：

设点，∵，，∴，则，∵，∴S有最大值，当时，S的最大值是．（3）解：设点C的坐标为，而点B和点O的坐标分别为和，①当是平行四边形的一条边时，则有，，∴或，∴或，∴或，∴，，，，②当是平行四边形的对角线时，必过的中点，且与互相平分，即E也是的中点，∴，∴，∴，∴，，综上所述，点D坐标为，，，．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，求二次函数最值的方法，以及平行四边形的性质：平行四边形对边平行且相等，平行四边形对角线互相平分．【变式训练4】．如图，抛物线经过两点，与轴交于点，直线经过点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)将在直线上平移，平移后的三角形记为，直线交抛物线于，当时，求点的坐标；(3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)点的坐标为或或或(3)点坐标为或或或【分析】（1）把点，代入抛物线方程，用待定系数法即可求解；（2）根据题意得是等腰直角三角形，将在直线上平移，设向右平移个单位长度，则向上移动同样的单位长度，可得用含表示点，的坐标，根据即可求解；（3）本题应分情况讨论：①将平移，令D点落在x轴（即E点）、B点落在抛物线（即F点）上，可根据平行四边形的性质，得出F点纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求得F点坐标；②过D作x轴的平行线，与抛物线的交点符合F点的要求，此时F、D的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出F点坐标．【详解】（1）解：抛物线经过两点，，解得，，∴抛物线的解析式为；（2）解：直线经过点，且，，解得，，∴直线的解析式为，，是等腰直角三角形，将在直线上平移，设向右平移个单位，则向上平移为个单位，∴点的对应点的坐标为，直线交抛物线于，则，当点在点下方时，，且，，解得，，∴点的坐标为或；当点在点上方时，，且，，解得，，∴点的坐标为或；综上所述，点的坐标为或或或；（3）解：①平移直线，交x轴于E点，交抛物线于F点，

当时，四边形为平行四边形，此时点和点的纵坐标互为相反数，，设，则，解得：或，或，②过D作轴与抛物线交于点点，过点作，交x轴于点，过点作，交x轴于点，此时四边形，为平行四边形，此时点点的纵坐标为，代入，得：，解得：或，或，综上所述：点坐标为或或或．【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法是解题的关键．类型二、菱形存在性问题例．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点．

(1)求抛物线的表达式；(2)直线与直线交于点．点是线段上的动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，交直线于点．①若点在第二象限，且，求的值；②在平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①或．②存在；或【分析】（1）根据待定系数法列出方程组即可求出抛物线的表达式；（2）①利用，用和抛物线及一次函数的解析式表示出的长度，解出即可求出答案；②先根据直线与直线相交于点求出点坐标，再根据题意当四边形是正方形，利用正方形四个角都是直角且四条边都相等求出点的坐标及的长度，再根据坐标求解即可．【详解】（1）解：抛物线经过两点，，解得，抛物线的表达式为．（2）①如图1，过点作于点，过点作于点，

设直线与轴交点为．，直线轴，，，，由一次函数，当时，，则点坐标为，在中，，，，，．，，，．，平行于轴，，，，，，解得，．的值为或．②存在．点的坐标为或．如图，

（），（），直线的解析式为：，联立直线与直线的方程得：，解得，（）．若四边形是正方形，则，，解得，，，，，．，同理可得：，，．点的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、正方形等综合知识点，难度较大，本题第（2）问中的第1小问通过面积比列出关于的方程是解题的关键，第2小问通过正方形的性质进行讨论即可解题，对于二次函数的综合题型要学会结合数形结合的方法解题．【变式训练1】．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标．当为何值时，的面积最大？并求出这个面积的最大值；(3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)当时，的面积最大，且最大值为(3)存在，，，，【分析】（1）利用待定系数法即可求得，的值得出抛物线解析式即可；（2）过P作轴，交于M，利用割补法即可表示的面积，再根据二次函数的最值即可求得最大值；（3）分①当为边时，，②当为对角线时，，③为对角线，，三种情况讨论即可．【详解】（1）解：将，代入得，解得：，∴抛物线解析式为：；（2）解：设P的坐标为，

在抛物线，令，可得，∴，设为，将，代入得，解得，∴直线的解析式为：，过P作轴，交于M，则，故，当时，最大值为；（3）解：向左平移2个单位后，，联立，解得，∴，∵，∴；①当为边时，，设，则，即，解得，，∴，；②当为对角线时，，，∴，解得：，∴；③当为对角线时，，∴，解得：，，当时，点为，与点B重合，舍去，∴．综上所述，存在，，，，．【点睛】本题考查二次函数综合．（1）掌握待定系数法是解题关键；（2）掌握割补法求面积是解题关键；（3）需注意分情况讨论和两点之间距离公式．【变式训练2】．已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．

(1)判断的形状，并说明理由．(2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点作轴于，交于点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使最大时点的坐标和的面积；(3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由．【答案】(1)是直角三角形，理由见解析(2)，即点的坐标为时，最大，的面积为(3)存在，或或或或，证明见解析【分析】（1）分别令、求出三点的坐标，进而可得的长度，根据勾股定理的逆定理即可判断；（2），求出直线的解析式，即可根据点的坐标得出点的坐标，进而表示出，从而可建立函数关求解；（3）以、、、为顶点的四边形是菱形，即、、三点可构成等腰三角形，分类讨论、、即可求解．【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：令，则；令，则，解得，∴，，∴∴是直角三角形（2）解：∵点是抛物线在第一象限部分上的点，∴设直线的解析式为：，则，解得：，∴直线的解析式为：，∴∵∴∴当时，即点的坐标为时，最大此时，，∴的面积为：（3）解：由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，设点∵，，∴，，∵以、、、为顶点的四边形是菱形∴、、三点可构成等腰三角形，即，解得：，∴或，即，解得：∴或，即，解得：，∴综上所述：或或或或【点睛】本题考查了二次函数与面积及特殊四边形的综合问题．计算量较大，考查学生思维的完整性以及数据处理的准确性．【变式训练3】．如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为，对称轴是直线，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．

(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)四边形的面积最大，最大值为，(3)存在，或或【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设点，则连接，根据得到四边形面积的函数解析式，利用二次函数的性质解答即可；（3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可．【详解】（1）由题意得：，解得，∴这个二次函数的解析式为；（2）设点，则连接，∵点B的坐标为，对称轴是直线，∴当中时，，∴，∴，∴当时，且，此时四边形的面积最大，最大值为，∴

（3）存在，∵，，∴直线的解析式为，设，则，∵轴，∴轴，即，∴是以M、N、C、Q为顶点的菱形的边；如图3-1所示，当为对角线时，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴轴，∴轴，即轴，∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，∴点N的坐标为，∴，∴；如图3-2所示，当为边时，则，

∵∴，∴，解得或（舍去），∴，∴；如图3-3所示，当为边时，则，

同理可得，∴，解得或（舍去），∴，∴；如图3-4所示，当为边时，则，

同理可得，解得（舍去）或（舍去）；如图3-5所示，当为对角线时，

∴，∵，∴，∴，∴轴，∴轴，这与题意相矛盾，∴此种情形不存在如图3-6所示，当为对角线时，设交于S，

∵轴，∴，∵，∴，这与三角形内角和为180度矛盾，∴此种情况不存在；综上所述，或或．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．类型三、矩形存在性问题例．如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；(2)是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作轴交于点，过点作于点，过点作轴于点，求出的最大值及此时点的坐标；(3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)当时，最大值为，此时(3)存在，点的坐标为或或或【分析】（1）设顶点式，展开得，解方程求出即可得到抛物线解析式；（2）根据题意推出等腰三角形，利用等腰直角三角形的性质，推出的表达式，从而建立起的函数表达式，最终利用函数法求最值；（3）先通过勾股定理求出点的坐标，再由矩形对角线的性质，直接计算的坐标．【详解】（1）解：设抛物线解析式为，即，，解得，抛物线的函数表达式为；（2）由题意，，则为等腰直角三角形，，设的解析式为，将与代入得，则，点在抛物线上，轴交于点，设，则，则，其中，如图，延长交于点，则，

且由题可知，为等腰直角三角形，由”三线合一“知，，，，由二次函数的性质可得，当时，最大值为，此时；（3）由平移可求得平移后函数解析式为，与原函数交点；以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设，

，，，，，解得，即，此时设，由、、、四点的相对位置关系可得：，解得：，；同理，以为边，作交对称轴于，可构造矩形，设，，，解得，即，此时设，，由、、、四点的相对位置关系可得：，解得：，；以为对角线，作交对称轴于，可构造矩形，设，

，，解得，，即，，此时设，由、、、四点的相对位置关系可得：，解得：，；设，由、、、四点的相对位置关系可得：，解得：，．综上所述，点的坐标为或或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，矩形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点．

(1)求抛物线的表达式；(2)直线与直线交于点．点是线段上的动点，过点作轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，交直线于点．①若点在第二象限，且，求的值；②在平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①或．②存在；或【分析】（1）根据待定系数法列出方程组即可求出抛物线的表达式；（2）①利用，用和抛物线及一次函数的解析式表示出的长度，解出即可求出答案；②先根据直线与直线相交于点求出点坐标，再根据题意当四边形是正方形，利用正方形四个角都是直角且四条边都相等求出点的坐标及的长度，再根据坐标求解即可．【详解】（1）解：抛物线经过两点，，解得，抛物线的表达式为．（2）①如图1，过点作于点，过点作于点，

设直线与轴交点为．，直线轴，，，，由一次函数，当时，，则点坐标为，在中，，，，，．，，，．，平行于轴，，，，，，解得，．的值为或．②存在．点的坐标为或．如图，

（），（），直线的解析式为：，联立直线与直线的方程得：，解得，（）．若四边形是正方形，则，，解得，，，，，．，同理可得：，，．点的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、正方形等综合知识点，难度较大，本题第（2）问中的第1小问通过面积比列出关于的方程是解题的关键，第2小问通过正方形的性质进行讨论即可解题，对于二次函数的综合题型要学会结合数形结合的方法解题．【变式训练2】．如图，已知抛物线经过点，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积；(3)点F为抛物线对称轴上的一个动点，在平面内是否存在点G，使得以点A、D、F、G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，的面积最大，(3)存在，或或或【分析】（1）根据对称轴推出，将代入，求出a、b、c的值，即可得出函数表达式；（2）用待定系数法求出直线的函数表达式为，进而得出，过点E作轴，交于点F，设，则，求出的表达式，将其化为顶点式，根据，可得当取最大值时，的面积最大为，即可求解；（3）根据题意得出点F横坐标为，设，进行分类讨论：①当为矩形对角线时，②当为矩形的对角线时，③当为矩形对角线时，结合中点坐标公式和勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵对称轴为直线，∴，整理得：，把代入得：，解得：∴抛物线函数表达式为；（2）解：设直线的函数表达式为，把，代入得：，解得：，∴直线的函数表达式为，联立直线和抛物线表达式：，解得：，，∴，过点E作轴，交于点F，设，则，∴，∵，∴当时，取最大值，∵，∴当取最大值时，的面积最大为，∴，综上：当时，的面积最大，；

（3）解：∵抛物线的对称轴为直线，∴点F横坐标为，设，∵，∴，①当为矩形对角线时，，解得：，∴，∴，即，解得：，∴或；

②当为矩形的对角线时，，解得：，∵四边形为矩形，∴，∴，即，解得：，∴，

③当为矩形对角线时，，解得：，∵四边形为矩形，∴，∴，即，解得：，∴，

综上：存在，或或或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的最值求法，具有分类讨论的思想．【变式训练3】．如图，二次函数与x轴交于、两点，且与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式．(2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作于点M，交x轴于点N，过点P作轴交BC于点Q，求的最大值及此时P点坐标．(3)将抛物线沿射线平移个单位，平移后得到新抛物线．D是新抛物