第04讲 等式与不等式性质（含糖水不等式）（原卷版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第04讲等式与不等式性质（含糖水不等式）（6类核心考点精讲精练）【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题知识讲解等式的性质性质1如果，那么________；性质2如果，，那么________；性质3如果，那么________；性质4如果，那么________；性质5如果，，那么________；比较两个实数大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：；；另外，若，则有；；.不等式的基本性质：对称性：．传递性：．可加性：．可积性：①；②．同向可加性：；异向可减性：．同向正数可乘性；异向异号可乘性：；异向正数可除性：．乘方法则：（，）．开方法则：（，）．倒数法则：；．糖水不等式及其变形若实数a，b，c，满足，，则_____，eq\f(b,a)_____eq\f(b－m,a－m)，(b－m＞0)；eq\f(a,b)_____eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)_____eq\f(a－m,b－m)，(b－m＞0)（用不等号填空）．对数型糖水不等式及其变形（1）设,且,则有（2）设,则有（3）上式的倒数形式：设,则有考点一、由不等式性质判断式子大小关系1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（

）A． B． C． D．2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则1．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．2．（2024·北京丰台·二模）若，且，则（

）A． B．C． D．考点二、由不等式关系，求解不等式范围1．（2023高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围为.2．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是.1．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的取值范围是，的取值范围是.2．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知，，则的最小值.3．（2024·浙江·模拟预测）已知正数满足，则的取值范围为．考点三、作差法或作商法比较式子大小关系1．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，满足，求证：.2．（上海浦东新·阶段练习）设，比较与的大小1．（2024高三·全国·专题练习）已知为正实数．求证：.2．若，求证：．考点四、由不等式性质证明不等式1．（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在中分别为角所对的边长，则”1．（1）设，，证明：；（2）设，，，证明：.考点五、糖水不等式及其应用1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（

）A． B． C． D．2．（2023·四川凉山·一模）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，，，则A． B．C． D．1．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数满足，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高三·福建龙岩·阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较的大小（填”<”或”>”或”=”）考点六、多选题综合1．（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（

）A． B． C． D．2．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．1．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．（2024·江西·模拟预测）已知，则下列不等式一定正确的是（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则一、单选题1．（2024·河南·模拟预测）“，是“”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·吉林长春·一模）若，，，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）设，，为实数，且，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．4．（2023·山东·模拟预测）对于实数，，，下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则5．（23-24高三上·北京房山·期末）已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．6．（2023·广东·二模）若，则（

）A． B．C． D．二、多选题7．（2023·湖南张家界·二模）下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则三、填空题8．（2023高三·全国·课后作业）已知，则的取值范围是．9．（2023高三·全国·专题练习）若,,则的取值范围是.10．（23-24高三上·海南海口·开学考试）已知，，则的取值范围是.一、单选题1．（2024·山东聊城·三模）“，且”是“，且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．（2024·陕西铜川·三模）已知为正实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2024·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．（2024·北京·三模）已知，且，则（

）A． B．C． D．7．（2024·四川成都·模拟预测）已知，为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（

）A． B．C． D．8．（2024高三下·全国·专题练习）记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2024·辽宁·模拟预测）若，则使“”成立的一个充分条件可以是（

）A． B．C． D．10．（2024·安徽合肥·三模）已知实数满足，则（

）A． B．C． D．一、单选题1．（四川·高考真题）若则一定有A． B． C． D．2．（浙江·高考真题）设，是实数，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（广东·高考真题）设，若，则下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．4．（上海·高考真题）已知为非零实数，且，则下列命题成立的是A． B． C． D．5．（北京·高考真题）已知，，，均为实数，有下列命题：（1）若，，则；（2）若，，则；（3）若，，则，其中正确命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．36．（北京·高考真题）设，且，