二次函数中的定值、定点问题（解析版）（北师大版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题07二次函数中的定值、定点问题类型一、定值问题例．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．

(1)求抛物线的解析式(2)是直线下方抛物线上的一点，连接、、，交于，，求点的坐标．(3)如图2，若动直线与抛物线交于，两点（直线与不重合），连接，，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)定值，理由见解析【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）先求得直线的解析式，进而根据已知条件得出，过点作轴于点，根据平行线分线段成比例求得的坐标，即可得出的横坐标，代入直线解析式，即可求解；（3）设点的坐标为，点的坐标为．由点，点，可得到直线的解析式为：．得出点的坐标可以表示为．由点，点，得直线的解析式为：．同理可得可得到直线的解析式为：．联立可得，则点的横坐标为定值．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，∴，解得：，∴抛物线解析式为；（2）解：∵与轴交于点，当时，，则设直线的解析式为，将代入得，解得：∴直线的解析式为，∵，∴如图所示，过点作轴于点，

∴，∴∵，∴∵直线的解析式为，∴当时，，即；（3）设点的坐标为，点的坐标为．∵直线与不重合，∴且且．如图3，由点，点，

∵到直线的解析式为：．∵，∴可设直线的解析式为：．将代入，得．∴．∴点的坐标可以表示为．设直线的解析式为：，由点，点，得，解得．∴直线的解析式为：．同上，由点，点，可得到直线的解析式为：．∴．∴．∴点的横坐标为定值．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，平行线分线段成比例定理，待定系数法求解析式，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式训练1】．如图，抛物线经过、两点，直线交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式．(2)P是抛物线上一个动点（不与A重合），与抛物线的另一个交点为D，交直线于点E，连接，求证：轴．(3)过点C的动直线交抛物线于M、N两点，分别交y轴于F、G两点，求证：为定值．【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）设直线的解析式为，设直线的解析式为，联立直线和抛物线解析式可求出点P的横坐标，联立直线和抛物线解析式可求出点，再联立直线和可求出，即可证明；（3）设，，设直线的解析式为：，和抛物线解析式联立可得，同理可得，由此可表示出，再联立和抛物线利用根与系数的关系即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为（2）证明：设直线的解析式为，∵直线经过，设直线的解析式为，联立，∴，∴，联立，∴，∴，∴，∵：交直线于点E，联立，∴，∴，∴，∴轴；（3）证明：∵分别交轴于F、G两点，设，，设直线的解析式为：，将代入得：，∴直线的解析式为：，同理直线的解析式为：，联立，∴，∴，联立，∴，∴，∵直线与y轴交于点F，∴时，，即，直线与y轴交于点G，∴时，，即，∴，，∴，直线与y轴交于点C，∴，∵直线过点，∴设直线的解析式为：，联立，∴，∴，又，∴，又，∴为定值；【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，直线与抛物线交点的求法，根与系数的关系等，抽象性较强，解题关键是能够想到根与系数的关系在解题过程中的运用．【变式训练2】．已知抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点，且．

(1)求二次函数的解析式；(2)若抛物线上B、C两点之间有一点N，且的面积为4，求N点坐标；(3)抛物线的对称轴交x轴于M，P为抛物线上一动点，直线交抛物线于另一点Q，点P关于抛物线对称轴的对称点为，直线交对称轴于G点，试探究：在P点运动的过程中，线段的长度会发生变化吗？若不变，请求其长度．【答案】(1)；(2)(3)线段的长度不变，【分析】（1）根据点的坐标可得的值，根据对称轴公式可得对称轴是：，根据和抛物线的对称性可得与的坐标，代入一个点的坐标可得抛物线的解析式；（2）先求直线的解析式，设，则，表示的长，利用三角形面积公式列式可得结论；（3）如图2，先求，设，则，作辅助线，构建直角三角形，先表示的解析式：，且，因为与抛物线的交点为、，列方程组为，由根与系数的关系得：，则，得，证明，列比例式可得的方程，化简可得．【详解】（1）把代入抛物线中得：，抛物线，对称轴是：，，，，把代入得：，解得，二次函数的解析式为：；（2）如图1，过作轴，交于，

，，设直线的解析式为：，则，解得：，直线的解析式为：，设，则，，，，，，；（3），，设，则，如图2，连接，交于，过作于，则，

设的解析式为：，把代入得：，，，，设，由，则，，、是直线与抛物线的交点，，，，，设，，，，，将代入中得：，，，，，，；在点运动的过程中，线段的长度不变，且．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、直线与抛物线的交点问题、三角形面积及二次函数的最值问题，第三问有难度，利用参数表示直线的解析式，并利用比例式列等式可解决问题．【变式训练3】．如图，已知抛物线的顶点为A，且经过点．

(1)求顶点A的坐标；(2)在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得，求点P坐标；(3)如图（2），将原抛物线沿射线方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)，过程见解析【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；（2）根据全等三角形的判定与性质可得点Q的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立求出点P的坐标即可；（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．【详解】（1）解：把代入得：，解得，∴，∴顶点A的坐标是；（2）过点B的交于点Q，过点B作轴，分别过点A

，Q作于点G，于点H，则，

∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，在和中，，∴，∴，∴点Q的坐标是，设直线的解析式为，把点A，Q代入得，，解得，∴直线的解析式为，把直线的解析式与联立得，，解得（不合题意，舍去），当时，，∴点P的坐标是；（3）在抛物线平移的过程中，线段的长度是定值，设直线的解析式为，把点A的坐标代入得，，∴直线的解析式为，∴可设新的抛物线解析式为，联立，∴，∴，∴，∴，∴，即C、D两点的横坐标的差是1，C、D两点间的纵坐标的差为1，∴，∴在抛物线平移的过程中，线段的长度是定值．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解方程组求函数交点坐标等知识，求出点Q的坐标是解题的关键．【变式训练4】．如图1，抛物线交x轴于点和点，交于y轴点C，F为抛抛物线顶点，点在抛物线上．

(1)①求该抛物线所对应的函数解析式；②求四边形ACFQ的面积；(2)如图2，直线EF垂直于x轴于点E，点P是线段BE上的动点（除B、E外）过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接DA、DQ．①当是直角三角形时，求出所有满足条件的D点的横坐标．②如图3，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)①；②4(2)①Q点坐标为；②是为定值，定值为8【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式；②结合二次函数性质求得顶点，，然后利用割补法求图形面积；（2）①分或两种情况结合一次函数图象的性质分析求解；②设，结合一次函数图象的性质分析求解【详解】（1）①∵抛物线经过点，，∴，解得∴该抛物线的函数表达式为：；②∵，∴顶点，∵，，∴，且∥x轴，∵，∴；（2）①∵点P在线段EB上，∴不可能为直角，∴当为直角三角形时，有或，ⅰ．当时，则，∵，，∴直线AQ解析式为，∴设直线DA解析式为，把代入可求得，∴直线DQ解析式为，联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或∴（舍）或（舍）∴此种情况不存在ⅱ．当时，设，设直线AD的解析式为，把A、D坐标代入可得，解得，设直线DQ解析式为，同理可求得，∵，∴，即，解得当时，∵，∴（舍）当时，∵，D点横坐标为综上可知：D点横坐标②设，由A、D的坐标得，直线的表达式为：，当时，；由点B、D的坐标得，直线的表达式为：，当时，，则是为定值，定值为8．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，数形结合以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．【变式训练5】．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线，顶点为B．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图（1），点E是直线上方抛物线上一点，连接，，，若的面积为4，求点E的坐标；(3)如图（2），设直线（）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线的对称点为，直线与直线交于点P，求证：BP的长为定值．【答案】(1)(2)或(3)见解析【分析】（1）根据题意和待定系数法进行计算即可得；（2）设抛物线对称轴交x轴于点H，交于点M，过点E作轴于点N，根据题意得，，，根据点E是直线上方抛物线上一点，设，则，可得，设直线的解析式，把，代入，得，进行计算得直线的解析式为，即可得，根据，，即可得，进行计算即可得；（3）联立方程得，，解得，，根据点D关于直线的对称点为得，设直线的解析式为，把和代入，进行计算得直线的解析式为，根据直线与直线交于点P得当时，可得，即可得．【详解】（1）解：∵抛物线过原点，且对称轴为直线，∴，解得，，∴抛物线的解析式为：；（2）解：如图所示，设抛物线对称轴交x轴于点H，交于点M，过点E作轴于点N，

∵抛物线的对称轴为直线，顶点为B，∴，，令，则，，，，∴，∵点E是直线上方抛物线上一点，∴设，则，∴，设直线的解析式为，把，代入，得，解得，，∴直线的解析式为，当时，，∴，∵，∴，∵，∴∵，∴，解得，，，当时，，当时，，∴或；（3）证明：如图所示，

联立方程得，，解得，或，∴，，∵点D关于直线的对称点为，∴，设直线的解析式为，把和代入，得，解得，，即直线的解析式为，∵直线与直线交于点P，∴当时，，∴，∵，∴，即的长为定值．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质．类型二、定点问题例．已知抛物线经过点，与轴交于，两点，与轴交于点(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，为直线上方抛物线上的动点，过点作于点，若，求点坐标；(3)如图2，将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上，若过定点的直线交抛物线于、两点，过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；（2）如图1，过点作轴于点，交于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，可证得：是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，再由，建立方程求解即可得出答案；（3）先求得平移后的抛物线的解析式为：，设，，则直线的解析式为，由直线经过定点，可得，再由直线经过点，可得直线的解析式为，进而求得，再运用待定系数法求得直线的解析式为，当时，，即直线必过定点，．【详解】（1）解：抛物线经过点，，，解得：，抛物线的解析式为；（2）如图1，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，把，代入，得：，解得：，直线的解析式为，设，则，，，，，，轴，是等腰直角三角形，，，又，，是等腰直角三角形，，，，，解得：，，为直线上方抛物线上的动点，，，；（3）证明：如图2，抛物线，将抛物线沿轴平移得，使的顶点落在轴上，抛物线的解析式为：，

设，，则直线的解析式为，直线经过定点，，，直线经过点，，解得：，直线的解析式为，由，解得：或，，设直线的解析式为，把，代入，得，解得：，，，，直线的解析式为，当时，，直线必过定点，．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线的平移变换，直线恒过定点问题，解决本题的关键是可以通过直线与抛物线的图象只有一个交点得出直线和直线的与和的关系．【变式训练1】．如图（1）所示，抛物线，经过，，三点．(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否一点，使得以，，的顶点的三角形与相似，如有请求出满足要求的所有点，如果没有，请说明理由．(3)如图（2）所示，点，为抛物线上的动点，满足，请证明直线必定通过一个定点，并求出这个定点的坐标．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）设抛物线解析式为，待定系数法求解析式，即可求解；（2）假设，如图所示，易求得此时，不在抛物线上．同理当时也不在抛物线上，当时求得，符合要求．（3）设，，所以，；，．根据，得出，设的直线方程为：，代入P，Q的坐标有，得出的方程为，即可求解．【详解】（1）设抛物线解析式为，抛物线过点代入得解得：所以抛物线解析式为：．（2）解：∵，，∴，当，则，即∴，过点作轴，∵∴∴∴设，则①又∵∴②联立①②解得：（负值舍去）∴由，当时，，故，不在抛物线上当时，则，即，如图所示，则由，当时，，故，不在抛物线上当时，则，即，如图所示，同理可得由，当时，，故，在抛物线上，符合要求．综上满足要求的点为（3）如图（3）所示，设，，所以，；，．∵∴，∴，∴∴∴设的直线方程为：，代入P，Q的坐标有所以的方程为代入上式可得当时恒等于4，所以总经过定点．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数求解析式，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定以及二次函数的性质是解题的关键．【变式训练2】．如图1，抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点，，其对称轴为直线．

(1)直接写出抛物线C的解析式；(2)已知点，点，均在抛物线上（点在点右侧），若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；(3)如图2，将抛物线平移得到抛物线，使的顶点在原点，过点的两条直线，，它们与轴不平行，都与抛物线只有一个公共点分别为点和点，求证：直线必过定点．【答案】(1)抛物线的解析式为：．(2)点的坐标为或，．(3)见解析【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，可得①，由抛物线可得，；把代入中，得②，由此可得，，；（2）需要分情况讨论，①若，由点的平移可知，点左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点，设，则，将点代入得，，求解节课得出点的坐标；②若，由点和点的坐标可知，点和点的中点坐标为，，设，则，将点代入得，，求出即可求出点的坐标；（3）根据题意得，抛物线的解析式为：，设，，则直线可设为，直线可设为，因为直线与抛物线只有一个公共点，所以联立与抛物线，得，得，所以△，解得，可求出直线的解析式为：，同理可得，直线的解析式为：，联立和的解析式可得，，由点，代入可得，所以直线的解析式为：，则直线过定点．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，，即①，抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点，，，，，，把代入中，得②，由①②可知，，，抛物线的解析式为：．（2）解：若，四边形是平行四边形，∴且，，，向左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点，点，都在抛物线上，点在点的右侧，点左平移1个单位长度，向下平移5个单位长度得到点，设，则，将点代入得，，解得，，若，四边形是平行四边形，∴且，，，的中点坐标为，设，则，将点代入得，，解得或，点在点的右侧，．综上，点的坐标为或；（3）解：根据题意得，抛物线的解析式为：，设，，则直线可设为，直线可设为，直线与抛物线只有一个公共点，联立与抛物线，得，得，△，解得，直线的解析式为：，同理可得，直线的解析式为：，联立和的解析式可得，，，，设直线的解析式为：，将，代入可得，直线的解析式为：，直线过定点．【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查待定系数法求解析式，平行四边形存在性等内容熟练掌握直线与二次函数的交点求法，本题的关键是可以通过直线与抛物线的图象只有一个交点得出直线和直线的与和的关系．【变式训练3】．如图1，抛物线：与x轴的正半轴交点B，与y轴交于点C，，其对称轴为直线．

(1)直接写出抛物线的解析式；(2)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．(3)如图2，作抛物线关于原点O中心对称的抛物线，若抛物线与直线交于E，F两点，与直线交于M，N两点，且，点P，Q分别是、的中点，求证：直线必定经过一个定点，并求出该定点坐标．【答案】(1)(2)存在，G点坐标存在，为或或(3)直线过定点，证明见解析【分析】（1）由得出，根据对称轴为直线和代入即可解得；（2）设D点坐标为，G点坐标为，分三种情况①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，进行讨论即可；（3）联立与，解得，根据韦达定理得出，，得出P和Q点的坐标，表示出直线的解析式即可判断；【详解】（1）对称轴为直线，即，又∵，，将和代入解得：，即函数解析式为：；（2）设D点坐标为，G点坐标为，且，，分情况讨论：①当为对角线时，则另一对角线是，由中点坐标公式可知：线段的中点坐标为，即，线段的中点坐标为，即，此时的中点与的中点为同一个点，，解得，经检验，此时四边形为平行四边形，此时G坐标为；②当为对角线时，则另一对角线是，由中点坐标公式可知：线段的中点坐标为，即，线段的中点坐标为，即，此时的中点与的中点为同一个点，，解得，经检验，此时四边形为平行四边形，此时G坐标为；③当为对角线时，则另一对角线是，由中点坐标公式可知：线段的中点坐标为，即，线段的中点坐标为，即，此时的中点与的中点为同一个点，，解