第04讲 数列求和综合（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、奇偶并项、周期综合）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第04讲数列求和综合（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、奇偶并项、周期综合）（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新Ⅱ卷，第12题,5分求等差数列前n项和等差数列通项公式的基本量计算2024年全国甲卷，第18题,12分错位相减法求和利用an与sn关系求通项2023年新Ⅱ卷，第18题,12分分组(并项)-奇偶项求和利用定义求等差数列通项公式等差数列通项公式的基本量计算求等差数列前n项和2023年全国甲卷（理科），第17题,10分错位相减法求和利用与关系求通项或项2022年新I卷，第17题,10分裂项相消法求和利用与关系求通项或项累乘法求数列通项利用等差数列通项公式求数列中的项2022年新Ⅱ卷，第22题,12分裂项相消法求和利用导数研究不等式恒成立问题含参分类讨论求函数的单调区间2021年新I卷，第16题,5分错位相减法求和数与式中的归纳推理2021年新I卷，第17题,10分分组(并项)-奇偶项求和由递推数列研究数列的有关性质利用定义求等差数列通项公式求等差数列前n项和2021年全国乙卷（文科），第19题,12分错位相减法求和等差中项的应用等比数列通项公式2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分【备考策略】1.熟练掌握裂项相消求和2.熟练掌握错位相减求和3.熟练掌握拆项分组求和法、并项转化求和法、倒序相加求和法，能综合解决数列的求和问题4.熟练掌握数列中不等式的综合问题【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常考查裂项相消求和、错位相减求和、奇偶并项求和，需重点综合复习知识讲解1．公式法(1)等差数列的前n项和公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(2)等比数列的前n项和公式①当q＝1时，Sn＝na1；②当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).2．分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解．3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项技巧：；；指数型；对数型.等4．倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．5．错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．万能公式：形如的数列求和为，其中，，6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．考点一、公式法直接求和1．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．2．（2021·全国·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．3．（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）求.4．（2020·全国·统考高考真题）设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．1．（2024·四川遂宁·三模）等比数列中，，．(1)求的通项公式：(2)记为的前n项和，若，求m．2．（2024·浙江·三模）已知等差数列的公差不为零，成等比数列，且.(1)求数列的通项公式;(2)求.3．（2024·江苏南通·二模）设数列的前项和为，若，.(1)求，，并证明：数列是等差数列；(2)求.4．（2024·辽宁·二模）设等差数列的前n项和为，公差为d，且.若等差数列，满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，记数列的前n项和为，且，求n的最大值.5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)求证：数列的前n项和.考点二、分组转化求和1．（2024·全国·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.2．（2024·浙江台州·一模）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．1．（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）已知公差不为零的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列.(1)求数列通项公式；(2)设，求数列的前项和.2．（2024·山东·二模）已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.35．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，．(1)证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和．考点三、裂项相消求和1．（全国·高考真题）设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．2．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．3．（2024·湖北·模拟预测）设是正数组成的数列，其前n项和为，已知与的等差中项等于与的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)令，求的前项和.4．（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列（）中，，.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，证明.1．（23-24高二下·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)设的前项和为，证明：．2．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.3．（2024·浙江丽水·二模）设等差数列的公差为，记是数列的前项和，若，.(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求证：.4．（2024·全国·模拟预测）设数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.考点四、错位相减求和1．（2024·全国·高考真题）记为数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．2．（2023·全国·高考真题）设为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．3．（2021·全国·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．4．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围.1．（2024·全国·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．2．（2024·贵州遵义·三模）已知数列的前n项和为，，且点在直线上．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前n项和．3．（2024·浙江·三模）已知等比数列和等差数列，满足，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：．考点五、奇偶并项求和1．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．2．（2024·河北保定·二模）已知数列的前n项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和.3．（2024·山东潍坊·三模）已知正项等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若求数列的前项和.4．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足当时，(1)求和，并证明当为偶数时是等比数列；(2)求5．（2020·天津·高考真题）已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．1．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且.(1)求数列的通项公式；(2)设求数列的前20项和.2．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和.3．（2024·山东·二模）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.4．（2024·福建厦门·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，，.(1)求的通项公式；(2)记为数列的前n项和，若，求n的最小值.考点六、数列求和之不等式综合1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知各项均为正数的数列前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)证明：．2．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列的前项和为，已知是与的等差中项.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：.3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项积．(1)求的通项公式；(2)设，证明：．4．（2024·福建三明·三模）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围；(3)记，求证：．1．（2024·山东烟台·三模）在数列中，已知，.(1)求数列的通项公式；(2)若，为数列的前n项和，证明：.2．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，令，求证：．3．（2024·安徽合肥·三模）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，设数列的前项和，求证：．4．（2024·陕西铜川·三模）已知数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)若，求正整数的最大值.5．（2024·四川·模拟预测）已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)若数列满足，，求证：．1．（2024·陕西安康·模拟预测）设等比数列的前项和为，已知.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前项和.2．（2024·全国·模拟预测）已知单调递增的等比数列的前项和为，满足，数列也为等比数列．(1)求数列的通项公式．(2)记，求数列的前项和．3．（2024·山西吕梁·二模）已知等差数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.4．（2024·四川成都·三模）已知数列的前项和为，.(1)证明：数列是等比数列，并求出通项公式；(2)数列满足，求数列的前项和.5．（2024·全国·模拟预测）设等差数列的前项和为，且，是等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.1．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．2．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列的首项，公差为，为的前项和，为等差数列．(1)求与的关系；(2)若，为数列的前项和，求使得成立的的最大值．3．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知数列的各项均大于1，其前项和为，数列满足，，，数列满足，且，.(1)证明：数列是等差数列；(2)求的前项和.4．（2023·湖南永州·二模）已知数列的前项和为．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项的和．5．（23-24高三上·江苏南通·期末）设的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)已知，且的前项和为，求证：.6．（2023·山东潍坊·模拟预测）设数列的前项和为，已知．(1)证明：为等比数列，求出的通项公式；(2)若，求的前项和．7．（2024·河南·三模）已知数列的各项都为正数，且其前项和.(1)证明：是等差数列，并求；(2)如果，求数列的前项和.8．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正项等比数列中，为的前n项和，.(1)求数列的通项公式；(2)令，设数列的前n项和，求.9．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知等比数列的首项为，公比为整数，且.(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，比较与的大小关系，并说明理由.10．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且数列为等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)定义：表示不超过x的最大整数．设，求数列的前114项和．1．（全国·高考真题）等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.2．（全国·高考真题）等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.3．（广东·高考真题）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切的正整数都有4．（山东·高考真题）已知数列的前n项和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令.求数列的前n项和.5．（广东·高考真题）设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．(1)证明：；(2)求数列的通项公式；