第03讲 复数（解析版）-2025版高中数学一轮复习考点帮VIP

Page第03讲复数（9类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第2题，5分复数的四则运算无2024年新Ⅱ卷，第1题，5分复数的模无2023年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共轭复数无2023年新Ⅱ卷，第1题，5分复数的四则运算、复数的几何意义无2022年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共轭复数无2022年新Ⅱ卷，第2题，5分复数的四则运算无2021年新I卷，第2题，5分复数的四则运算、共轭复数无2021年新Ⅱ卷，第1题，5分复数的四则运算、复数的几何意义无2020年新I卷，第1题，5分复数的四则运算无2020年新Ⅱ卷，第2题，5分复数的四则运算无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。知识讲解1．复数的定义我们把形如的数叫做复数，其中i叫做，满足，虚数单位的周期为．【答案】虚数单位42．复数通常用字母z表示，即，其中的a与b分别叫做复数z的与．【答案】实部虚部3．对于复数，复数，为实数；为虚数；为纯虚数；为非纯虚数.即复数【答案】；4．在复数集中任取两个数，，规定与相等当且仅当，即复数相等：⇔.【答案】5．共轭复数（1）定义：当两个复数的实部，虚部时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．（2）表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果，那么．【答案】相等互为相反数6．复数的几何意义为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，的向量表示同一个复数.【答案】相等7．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做，x轴叫做，y轴叫做．实轴上的点都表示；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．【答案】复平面实轴虚轴实数8．复数的模向量的模称为复数的模或绝对值，记作或．即，其中．如果，那么是一个实数a，它的模就等于．【答案】9．复数的加、减法运算法则设，则，．【答案】10．复数加法的运算律对任意，有（1）交换律：．（2）结合律：．【答案】11．复数的乘法（1）复数的乘法法则设是任意两个复数，那么它们的积．（2）复数乘法的运算律对于任意，有交换律结合律乘法对加法的分配律【答案】12．设的三角形式分别是，那么，=.这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.简记为：模相乘，辐角相加.【答案】13．设的三角形式分别是，且，那么，.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简记为：模相除，辐角相减.【答案】考点一、复数的四则运算1．（2024·全国·高考真题）设，则（

）A． B．1 C．-1 D．2【答案】D【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，，故.故选：D2．（2023·全国·高考真题）（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】利用复数的四则运算求解即可.【详解】故选：C.1．（2024·天津·高考真题）已知是虚数单位，复数．【答案】【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】.故答案为：.2．（2023·全国·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得，则.故选：B.3．（2024·河南·三模）已知为虚数单位，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.【详解】.故选：D考点二、求复数的实部与虚部1．（2024·全国·模拟预测）已知，则的实部是（

）A． B．i C．0 D．1【答案】C【分析】根据复数除法运算化简，由实部定义可得.【详解】因为，所以z的实部是0.故选：C．2．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（

）A． B．1 C．3 D．【答案】A【分析】先利用乘法运算法则化简复数，然后化简得，即可求出其虚部.【详解】因为，所以，所以，所以，则的虚部为.故选：A1．（2024·重庆·三模）设复数z满足，则z的虚部为（）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】设复数，根据题意，列出方程，结合复数相等，求得的值，即可求解.【详解】设复数，因为复数z满足，可得，即，则，，解得，所以复数的虚部为.故选：A.2．（2024·陕西·二模）复数的实部为（

）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】通过复数的运算将复数化简成的形式，即可得到实部.【详解】由，可得复数的实部为3，故选：.3．（2024·江西鹰潭·二模）已知，则的虚部为（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数，继而得的虚部.【详解】由，则，的虚部为2.故选：D.考点三、复数相等1．（2023·全国·高考真题）设，则（

）A．-1 B．0

· C．1 D．2【答案】C【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为，所以，解得：．故选：C.2．（2022·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数相等的条件可求.【详解】，而为实数，故，故选：B.1．（2024·河南·模拟预测）已知为虚数单位，，满足，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等的充要条件得出方程组，求出、的值，即可得解.【详解】因为，又且，所以，故．故选：D．2．（2024·安徽合肥·三模）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，则，根据题意，结合复数的乘法运算和相等复数建立方程组，解之即可求解.【详解】设，则，因为，所以，即，所以，解得，所以．故选：D．3．（2024·河北保定·三模）若复数满足，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，根据复数相等，即可列式求.【详解】设，则，所以，由，得，则，所以，解得.故选：B.考点四、复数的分类及纯虚数概念考查1．（2024·河北·二模）已知复数是实数，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根据复数的四则运算法则计算得到，再根据实数的定义求解即可.【详解】因为是实数，所以，即.故选：D.2．（2024·河南·三模）已知复数为纯虚数，则的值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】利用复数的除法运算求出z，根据复数为纯虚数，列出相应等式和不等式，即可求得答案.【详解】，由题意得，所以，故选：C．1．（2024·辽宁大连·二模）设，则“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由复数为纯虚数求得的值，再根据充分必要条件关系判断.【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得，所以是复数为纯虚数的充要条件.故选：A.2．（2024·辽宁·模拟预测）若复数为实数，则实数等于（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】由复数的除法把化简，表示成复数的代数形式，由虚部为0，求的值.【详解】，若复数为实数，则，即.故选：D.考点五、复数的几何意义1．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.2．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A.3．（2024·山西·三模）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】整理得到不等式组，解出即可.【详解】由于，故点位于第四象限，因此，解得，即的取值范围是.故答案为：.1．（2024·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由题意求出，进而解出，判断在复平面内对应的点所在象限即可.【详解】由题意知：，所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.2．（2024·江西·模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数的几何意义，由复平面内复数对应的点的坐标可以得出对应复数的代数形式，再结合复数的四则运算法则，即可得解.【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以，所以，所以．故选：A．3．（2024·江西·模拟预测）若复数的共轭复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由，可得，则，则在复平面内对应的点的坐标为．故选：D.考点六、复数的模长及与模相关的轨迹问题1．（2024·全国·高考真题）已知，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若，则.故选：C.2．（2023·全国·高考真题）（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可.【详解】由题意可得，则.故选：C.3．（2024·广东揭阳·二模）已知复数在复平面内对应的点为，且，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】借助导数的几何意义可得，再利用模长公式即可得.【详解】由题意得，所以，则.故选：B.1．（2024·福建南平·二模）若复数满足，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可.【详解】由题意可知，复数满足，则可转化为，所以.故选：A.2．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可求出，再由复数的模长公式求解即可.【详解】因为，则，即，故.故选：B.3．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．3【答案】B【分析】利用复数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可.【详解】的几何意义是复数z对应的点Z到点的距离为1，即点Z在以点为圆心，1为半径的圆上，的几何意义是点Z到点的距离．如图所示，故．故选：B．考点七、复数的三角形式1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得，即可得解.【详解】设，则，所以，，即，所以故时，，故可取，故选：D【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.2．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.【详解】，在复平面内所对应的点为，在第二象限.故选：B.1．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（

）A． B． C．1 D．0【答案】B【分析】变形复数，根据题中定义进行计算，即可判定.【详解】，所以,所以的虚部为.故选:B.2．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（

）A．2022 B．2023 C． D．【答案】B【分析】根据题意结合复数运算可得的方程的根为，进而整理可得，取即可得结果.【详解】设，则，由题意可得：可得关于的方程的根为，故，整理得，即，令，可得，且2022为偶数，所以.故选：B.考点八、欧拉公式1．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则（

）A． B．0 C．1 D．【答案】B【分析】把代入欧拉公式即可。【详解】.故选：B2．（2022·重庆北碚·模拟预测）欧拉是世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】，因此，.故选：C.1．（2023·云南昆明·一模）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断【详解】由题意可得：对应的点为，∵，则，故位于第二象限.故选：B.2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题设的表达式求出的表达式，再代入选项逐一检验即得.【详解】因，则，对于A，，故A项正确；对于B，，故B项错误；对于C，，故C项错误；对于D，由B项知，，故D项错误.故选：A.考点九、复数多选题1．（2024·福建福州·三模）已知复数，下列结论正确的是（

）A．若，则 B．C．若，则或 D．若且，则【答案】BCD【分析】通过列举特殊复数验证A；设，则，通过复数计算即可判断B；由得，即可判断C；设，通过复数计算即可判断D.【详解】对于A，设，则，所以，而，所以，故A不正确；对于B，设，则，故B正确；对于C，若，所以，所以，所以或，所以至少有一个为0，故C正确.对于D，设，则，所以，而，所以，故D正确.故选：BCD.2．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D.【详解】对于A，由，得，则A错误.对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确.对于C，设（，且），则，所以，则C正确.对于D，由，得.设（，且），则，，从而，则D正确.故选：BCD3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．的最小值为3 D．的最小值为3【答案】ABD【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A；借助复数的几何意义计算可得B；借助圆与直线的距离可得C、D.【详解】对A：为纯虚数，可设选项A正确；对B：设，，则，即，则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，，选项B正确；对C：为纯虚数，对应点在轴上（除去原点），所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，的取值范围为，无最小值，选项C错误；对D：，表示点到以为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，为纯虚数或0，在轴上（除去点），当时取得最小值3，∴选项D正确.故选：ABD．1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，都是复数，下列正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AD【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式即可判断D.【详解】设，对于A，若，则，故，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，若，则，所以，，同理，所以，所以，故D正确.故选：AD.2．（2024·山东济宁·三模）已知复数，则下列说法中正确的是（

）A． B．C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件【答案】AC【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可.【详解】A：设，则，所以，，则，故A正确；B：设，则，所以，，则，故B错误；C：由选项A知，，，又，所以，不一定有，即推不出；由，得，则，则，即，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；D：设，则，若，则，即，推不出；若，则，又，同理可得，所以，；所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误.故选：AC3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知方程的两个复数根分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】解方程求出，再结合共轭复数、模的意义及复数运算逐项判断即可各个选项.【详解】方程可转化为，解得或，不妨设，，对于A，显然，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，由，则，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD.一、单选题1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用复数的乘法计算，再借助纯虚数的定义求解即得.【详解】依题意，是纯虚数，于是，解得，所以实数a的值为.故选：D2．（2024·河北·三模）已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求得，可求的共轭复数的虚部.【详解】由，可得，所以，所以，所以，所以的共轭复数的虚部是.故选：D.3．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的除法法则及共轭复数的定义即可求解.【详解】，所以.故选：B．4．（2024·河北沧州·模拟预测）设，是复数，则下列命题中是假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】对于A，利用复数模的定义即可判断；对于B，利用共轭复数的定义即可判断；对于C，利用复数共轭复数相乘的性质即可判断；对于D，举反例即可判断.【详解】设，，其中．对于A，，，所以，故A正确；对于B，，，，所以，故B正确；对于C，，，由，得．因为，，所以不一定成立，如，，此时，而，，即，故C错误；对于D，由，得，，，所以，故D正确﹒故选:C．5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题设求出，从而求出的值.【详解】由题知，，所以.故选：A.6．（2024·山东泰安·二模）若复数满足，则（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【分析】根据复数的乘、除法运算可得，则，结合复数的几何意义即可求解.【详解】由，得，所以，故.故选：C二、多选题7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知复数（为实数），若，则的值可能为（

）A． B． C．1 D．3【答案】BC【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可.【详解】由题意可知：，解得，结合选项可知：BC正确；AD错误.故选：BC.8．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（

）A． B．若互为共轭复数，则C．若，则 D．若复数为纯虚数，则【答案】ABD【分析】根据复数的乘法运算，复数的模值运算，纯虚数的定义即可判断.【详解】解：由题意得：对于选项A：令则所以，故A正确；对于选项B：令，，所以，故B正确；对于选项C：令，，根据复数的乘法运算可知：，，，所以C错误；对于选项D：若复数为纯虚数，则，即，故D正确.故选：ABD三、填空题9．（2024·上海·三模）设（为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为．【答案】【分析】根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得.【详解】由为纯虚数，得，解得，所以实数m的值为.故答案为：10．（2024·广东·二模）设，为虚数单位，定义，则复数的模为．【答案】【分析】根据给定的定义求出复数，再利用模的意义计算得解.【详解】依题意，，所以复数的模为.故答案为：一、单选题1．（2024·河北保定·二模）复数（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复数乘除法以及模长计算公式，整理化简即可求得结果.【详解】.故选：D.2．（2024·浙江杭州·三模）已知复数满足，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用复数的运算性质求出，再利用共轭复数的性质求出，最后利用复数和对应点的关系求解即可.【详解】由题意得，故，故，显然在复平面上对应的点是，在第四象限，故D正确.故选：D3．（2024·江苏南通·三模）已知为复数，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】A【分析】正向可得，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得或，则必要性不成立.【详解】若，则，则，故充分性成立；若，设，则，，则，或与不一定相等，则必要性不成立，则“”是“”的充分非必要条件，故选：A4．（2024·四川成都·模拟预测）复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用复数除法法则得到，从而得到方程，求出答案.【详解】在复平面上对应的点位于虚轴上，∴，即.故选：D5．（2024·广东广州·三模）当时，复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先对复数进行化简，再确定实部和虚部的符号即可得解．【详解】因为，所以，故复数在复平面内的对应点位于第一象限，故选：A．6．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】根据复数的几何意义可得复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，进而求出的最大值.【详解】根据题意，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，所求式子的几何意义表示点到圆上点的距离的最大值，如图所示，最大值为.故选：D.7．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】设，利用复数的模长结合已知组成方程组，解出即可.【详解】设因为，所以，即，①又，所以，即，②又，所以，即，③②③可得，④把①代入④可得，所以，故A正确；故选：A.二、多选题8．（2024·福建宁德·三模）已知是两个复数，下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若为实数，则C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数【答案】AC【分析】根据题意，复数，根据复数的运算法则和复数的概念，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】设复数，则，对于A中，由，且，可得，所以，所以，所以A正确；对于B中，由，可得，即，但与不一定相等，所以与不一定相等，所以B错误；对于C中，由均为纯虚数，可得，