2025年重点高中自主招生考试数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年自主招生模拟考试数学试题卷一、填空题（本大题共40分，8小题，每小题5分）1．关于的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围．2．已知，且，则．3．已知实数x，y，z满足，则的值为．4．如图中，直角顶点在坐标原点，且，点在上，点在上，则．

5．在直角坐标系中，有四个点，，，，当四边形的周长最短时，．6．在中，以边为直径作半圆交边、于点、，，，则为．7．若点是内一点，且它到三角形三个顶点的距离之和最小，则点叫的费马点（）．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，就是的费马点．问题：已知在中，若P为的费马点，，，，则的值为．

8．一个均匀立方体六个面上分别标有数字，如图是这个立方体的表面展开图．抛掷这个立方体，四个侧面数字之和是奇数的概率是．二、解答题（本大题共80分，6小题，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）9．化简求值：，其中10．在矩形中，点是上一点，，，垂足为点．

(1)求证：；(2)若，求11．在平面直角坐标系中，以、、、为顶点作一个正方形，设它在直线上方及直线上方部分的面积为S．

(1)当时，求S的值；(2)当时，求S关于的函数解析式．12．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：ｔ123y2214469（1）求a、b的值；（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）13．如图所示，和相交于点、，点为上任意一点，交于点，交于点，直线交于点、．

(1)若，求证：；(2)若，，，，求的长．14．已知抛物线经过点(1)若，抛物线顶点为点A，它与轴交于两点B、C，且为等边三角形，求的值；(2)若，且，问、、为何值时，式子的值最小．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【分析】可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解可得到关于m的不等式组，可求得m的取值范围．【详解】解：∵∴，∵不等式组恰有三个整数解，∴整数解为，，0，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有三个整数解的应用．2．或【分析】根据得出，即，代入，得，，解得或，从而求得或，即可代入计算求解．【详解】解：∵，又∵，，∴，∴∴∵∴∴解得：或，∴当时，，∴当时，，∴，∴或．故答案为：或．【点睛】本题考查绝对值意义，非负数的性质，代数式求值．熟练掌握绝对值和偶次方的非负性是解题的关键．3．【分析】令＝＝=，则x=2k，y=6k，z=3k．代入求值即可．【详解】∵＝＝=，∴x=2k，y−z=3k，x+z=5k，∴y=6k，z=3k.∴===.故答案为.【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的运算法则.4．【分析】过点作轴交于点，过点作轴交于点，结合题意和直角三角形两个锐角互余可推得，，根据相似三角形的判定和性质可得，，设，则，根据题意可求得，，推得点的坐标，代入，即可求解．【详解】解：过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图：

∵，轴，轴，∴，，，∴，，∴，∴，∵，∴，，设，则，∵点在上，将代入得：，∴，则，故，∵点在上，将代入得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，相似三角形的判定和性质，求反比例函数的函数值和自变量，熟练掌握反比例函数上点的特征是解题的关键．5．【分析】设A点关于x轴的对称点为，B点关于y轴的对称点是，设直线解析式为，把，代入得，，所以，把，代入，即可求得，，即可求解．【详解】解：∵四边形周长最短，长度一定，∴必须使最短，作A点关于x轴的对称点为，B点关于y轴的对称点是，连接，交y轴于C，交x轴于D，如图，

此时最小，∵，，∴，，设直线解析式为，将，代入直线中得：，解得：，∴，把，分别代入，解得，，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了最短线路问题及坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式，应用线段长度一定，当四边形周长最短时，即最短，可以利用对称性求解是正确解答本题的关键．6．##0.6【分析】连接，，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据在同圆和等圆中，等弦所对的弧相等，等弧所对的圆周角相等可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，，推得，根据等边对等角可得，结合题意求得，根据相似三角形的判定和性质可得，即可求解．【详解】解：连接，，如图：∵为直径，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴又∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，在同圆和等圆中，等弦所对的弧相等，等弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定和性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．7．【分析】由P为的费马点，得，从而求得，再由，，求得，即，即可得出，从而可证得出，得到，再把，代入，求得，，即可代入求解．【详解】解：∵P为的费马点，∴，∵∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形判定与性质，熟练掌握相似三角形判定与性质定理是解题的关键．8．【详解】解

立方体对面的2个数组成3个无序对：．因为6个数之和是奇数，故要使4个侧面的数字之和为奇数，其充要条件是上、下底的两个数字之和为偶数．这样上、下底形成的无序数字对只有两种：，故所求的概率为．所以应填．注：若只考虑上底面数字，则上底面数字一共有6种情形，其中使4个侧面数字之和为奇数时上底面的数字只有4种：2，3，4，5（对应的下底面数字必为4，5，2，3），故所求概率为．9．；【分析】根据分式的混合运算把原式化简，把x的值代入计算即可．【详解】解：，将，代入上式中可得：．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的乘除混合运算法则是解题的关键．10．(1)见解析(2)【分析】（1）由证明，即可得出结论；（2）先证出，再由角的互余关系即可求出的度数．【详解】（1）解：连接．

，，又，，，又，在和中，，，，，．（2）解：由（1）∴，又，又，，．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、余角的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．11．(1)(2)【分析】（1）由已知条件和题意，要求面积S的值，只要把三角形三个顶点坐标求出来问题就解决了；（2）由题意知直线是定的，而是动的且平行于移动，此时面积S也是动的，从而要分类讨论，求出每种情况的面积表达式，根据几何关系及三角形顶点坐标易求S关于a的表达式．【详解】（1）解：当时，如图，

直线与的交点是，∴．（2）解：①当时，如图1

直线与直线的交点坐标是点，直线与直线的交点坐标是点，，，②当时，如图2，

直线与直线的交点坐标是点，直线与直线的交点坐标是点，，，综上所述，．【点睛】此题看似复杂其实很简单，主要考查一次函数的性质及三角形的面积公式，还考查了直线的平移和分类讨论的思想．12．（1）a=1；b=20；（2）798元；（3）第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克【分析】（1）根据表中的数据可得，解方程组可得；（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货．得﹣n2+4n+n2+20n=1140，求n可得；（3）设第m天甲级干果的销售量为﹣2m+19．第m天乙级干果的销售量为2m+19，得（2m+19）﹣（﹣2m+41）≥6，解不等式可得．【详解】解：（1）根据表中的数据可得，解得．（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货．﹣n2+40n+n2+20n=1140解得n=19，当n=19时，y1=399，y2=741，毛利润=399×8+741×6﹣1140×6=798（元）．（3）设第m天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，第m天甲级干果的销售量为：-m2+40m-[-(m-1)2+40(m-1)]=﹣2m+41．第m天乙级干果的销售量为：=2m+19，∴（2m+19）﹣（﹣2m+41）≥6解得m≥7，∴第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克．【点睛】此题考查了二元一次方程组的运用，一元一次不等式运用，正确理解题意是解题的关键．13．(1)见解析(2)【分析】（1）根据等圆中，等弦所对的弧相等可得，推得，根据在等圆中，等弧所对的弦相等可得，根据等弧所对的圆周角相等可得，根据全等三角形的判定即可证明；（2）连接，根据在等圆中，等弧所对的圆周角相等可得，，结合三角形的外角性质可得，根据相似三角形的判定和性质可得，求得，根据在等圆中，等弧所对的圆周角相等可得，推得，根据等角对等边可得，根据三角形的外角性质可得，据在等圆中，等弧所对的圆周角相等可得，推得，根据相似三角形的判定和性质即可求解．【详解】（1）解：在中，，∴，，即，，∵，∴，，（2）解：连接，如图：

在中，∵，∴，在中，∵，∴，，在中，，，在和中，∵，，，，，，在中，∵，∴，又∵，，，，在中，，在中，∵，∴，故，，在和中，，，．【点睛】本题考查了圆心角，弦，弧的关系，全等三角形的判定，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，在等圆中，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．14．(1)(2)当、时，式子的值最小【分析】（1）将代入抛物线的解析式中，联立，可得出b、c之间的关系式．如果是等边三角形，那么倍的长正好是A点纵坐标的绝对值，联立b、c的关系式可求出b的值．（2）易知：，，可将b、c看作是一元二次方程的两实根，那么可根据，求得a的大致取值范围为．由于，且，则说明：I）a、b、c均大于0，由于，如果三数均为正数，显然，因此不合题意．I