二次函数图像与各项系数之间关系的三种考法（解析版）（北师大版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页专题03二次函数图像与各项系数关系的三种考法类型一、图像与a，b，c，之间关系例．如图，已知二次函数的图象与x轴分别相交于A，B两点，与y轴相交于点C，，则由抛物线的特征判断以下结论：①；②；③；④，其中正确的是（

）A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根据函数图象得，，即可判断①；根据函数图象得函数有两个不相等的实数根，得，即可判断②；根据函数图象得，当时，，即可判断③；根据函数的图象得，根据，得，当时，，即可判断④；即可得．【详解】解：根据函数图象得，∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴，∴，故①正确；根据函数图象得函数有两个不相等的实数根，∴，∴，故②错误；根据函数图象得，当时，，故③正确；根据函数的图象得，∵，∴，当时，，，故④正确；综上，①③④正确，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．【变式训练1】．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：；；；；．其中正确的结论有（

）个A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根据对称轴、图象开口方向、与轴的交点判断出的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过，从而判断②；根据图象与轴有两个交点可以得到，从而可以判断③；根据二次函数的图象与轴的交点在和之间可以得出，再根据即可判断④，根据，进行比较即可判断⑤，从而得到答案．【详解】解：函数开口向上，，对称轴在轴右侧，异号，，抛物线与轴交点在轴负半轴，，，故①正确，符合题意；图象与轴交于点，对称轴为直线，图象与轴的另一个交点为，当时，，故②错误，不符合题意；由图象可得：抛物线与轴有两个交点，，，，，，故③正确，符合题意；二次函数的图象与轴的交点在和之间，，图象与轴交于点，对称轴为直线，，，，，，，故④正确，符合题意；，，，故⑤正确，符合题意；综上所述，正确的有：①③④⑤，共4个，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点位置确定，利用数形结合的思想是解此题的关键．【变式训练2】．如图，抛物线经过点，，且，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】利用函数图象，由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置得，由抛物线与轴的交点位置得，再根据二次函数的性质和图象分别判断即可得出答案．【详解】解：抛物线开口向上，，抛物线的对称轴在轴的右侧，，故①正确，符合题意；抛物线经过点，，，故②正确，符合题意；，，，，，故③不正确，不符合题意；当时，，，，，，故④正确，符合题意．故选：．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．【变式训练3】．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有（

）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵函数开口方向向上，∴，∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴，∴，故①正确；②∵图象与x轴交于点，对称轴为直线，∴图象与x轴的另一个交点为，∴当时，，∴，故②错误；③∵抛物线与y轴B交点在和之间，对称轴为直线，∴顶点纵坐标要小于，∴，且，∴，故③正确；④∵图象与y轴的交点B在和之间，∴，∵图象与x轴交于点和，∴的两根为和3，由韦达定理可知：，∴，∴，∴，故④正确；⑤∵对称轴为直线为，∴，∵，，∴，故⑤正确．综上所述，正确的有①③④⑤，，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．【变式训练4】．如图是二次函数的图象，其对称轴为．下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，则；⑥若点在该抛物线上，则．其中正确的结论有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】由抛物线开口方向得到，根据对称轴得到，由抛物线与y轴的交点位置得到，则可对①进行判断；由可对②进行判断；根据得出，从而把化简为，然后结合，可对③进行判断；观察图形可得出当时，，然后结合求出，可对④判断；通过二次函数的增减性可对⑤进行判断；根据函数在顶点处取最大值可对⑥判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴，∴，故①错误；∵，∴，故②正确；∵，∴，∴，∵，，∴，即，故③错误；观察图形可知：当时，，即，又，∴，即，∴，故④正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，∵，在抛物线上，，∴，故⑤正确；当时，，当时，有最大值为，∴，∴，故⑥正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析各结论的正误是解题的关键．类型二、二次函数与一次函数图像例1．抛物线和直线在同一坐标系内的图像如图，其中正确的是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】先由二次函数图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致，逐一判断即可．【详解】解：A．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象一致，符合要求；B．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、三、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；C．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；D．由二次函数图象的开口方向可知，根据对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，，此时直线应经过一、二、四象限，与图中一次函数图象不一致，故可排除；故选D．【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，解题的关键是能够根据函数图象判断解析式中系数的正负．【变式训练1】．在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致．【详解】解：A．由抛物线可知，，即，由直线可知，，故本选项不符合题意；B．由抛物线可知，，即，由直线可知，，∵抛物线与y轴的交点为，直线与y轴的交点为，∴抛物线与y轴的交点与直线与y轴的交点关于x轴对称，而图中两个点明显不关于x轴对称，故本选项符合题意；C．由抛物线可知，，即，由直线可知，，且图中抛物线与y轴的交点与直线与y轴的交点关于x轴对称，故本选项符合题意；D．由抛物线可知，，即，由直线可知，，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．【变式训练2】．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据函数图象判断两个值，函数的图象是否正确即可得到答案．【详解】解：A、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，故该选项不符合题意；B、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，但对称轴，矛盾，故该选项不符合题意；C、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，故该选项不符合题意；D、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，根据，得抛物线的对称轴应在轴的左侧，与图象相符，故该选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．【变式训练3】．已知一次函数（为常数）的图象如图所示，则函数的图象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据一次函数的图象，确定的取值范围，进而进行判断即可．【详解】解：∵的图象过一、二、四象限，∴，∵，，∴抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的开口向上，顶点位于第一象限，故满足题意，只有选项D．故选D．【点睛】本题考查二次函数和一次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握一次函数和二次函数的性质．【变式训练4】．如图，函数的图象过点，那么函数的图像是（

）

B．

C．

D．

【答案】B【分析】利用二次函数的图象判断，由函数的图象过点，得出，即可得出函数的图象经过点，据此即可得出结论．【详解】解：对称轴在轴的右侧，、异号，，，直线随的增大而减小，函数的图象过点，，函数的图象经过点，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，能够判断直线随的增大而减小，且经过点是解题的关键．类型三、二次函数与反比例函数图像例．二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据二次函数图象推出，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可得到答案．【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，且与y轴交于负半轴，∴，∴，∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，∴四个选项中只有B选项符合题意，故选B．【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应的系数关系是解题的关键．【变式训练1】．在同一直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质进行判断即可．【详解】解：当时，反比例函数的图像经过一、三象限，二次函数的图像开口向上，其对称轴在轴右侧，且与轴交于负半轴，故选项C、D不符合题意；当时，反比例函数的图像经过二、四象限，二次函数的图像开口向上，其对称轴在轴左侧，且与轴交于正半轴，故选项A不符合题意，选项B符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质，解题关键是根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论．【变式训练2】．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】先根据抛物线顶点排除A、C，然后根据函数图象得到的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【详解】解：由函数可知抛物线的顶点为，故A、C不合题意；B、由抛物线可知，，由双曲线可知，，故B不合题意；D、由抛物线可知，，由双曲线可知，，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象，反比例函数的图象，熟记反比例函数与二次函数的有关性质是解题的关键．【变式训练3】．二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．【详解】当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴左侧，则A选项不符合题意，当时，二次函数图象，开口向下，对称轴在y轴右侧，则C选项不符合题意，B选项符合题意；当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，当时，二次函数图象，开口向上，对称轴在y轴右侧，则D选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对的取值进行分类讨论（当时和当时），注意运用数形结合的思想方法，充分观寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解．【变式训练4】．若双曲线的两个分支在第二、四象限内，则抛物线的图象大致是图中的（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据双曲线的图象位置可知；再根据k的符号判断抛物线的开口方向及对称轴，从而得出答案．【详解】解：∵双曲线的两个分支在第二、四象限内，∴，∴抛物线开口向下，可以排除C、D选项；对称轴，∴抛物线的对称轴在y轴的左边．可以排除B选项，∴A选项符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象和二次函数图象．熟练掌握反比例数图象和二次函数图象与系数的关系是解题的关键．课后作业1．函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据，，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．【详解】解：分两种情况讨论：①当时，反比例函数，在二、四象限，而二次函数开口向下，与y轴交点在原点上方，故选项B、C、D都不符合题意，选项A符合题意；②当时，反比例函数，在一、三象限，而二次函数开口向上，与y轴交点在原点下方，故选项A、B、C、D都不符合题意，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．2．函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（

） B． C． D．【答案】A【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．【详解】解：设，，由图像知，，，，，，，，∴，∵函数的图像开口大于函数的图像开口，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；B．图像开口向上，故此选项不符合题意；C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；D．图像开口向上，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小．3．二次函数二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数、则；④；⑤若且，则，其中正确结论的个数有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，，，，，，故①错误；②对称轴是直线，与x轴交点在左边，二次函数与x轴的另一个交点在与之间，∴当时，，，故②错误；③对称轴是直线，图象开口向下，时，函数最大值是，m为任意实数，则，，③正确；④，，由②得，，④正确；⑤，，，，，∴，，，，，⑤正确；综上可知，正确的有③④⑤，共3个，故选：C．【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质、二次函数与一元二次方程的关系．4．已知二次函数为