考研数学一(解答题)高频考点模拟试卷15(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷15(题后含答案及解析)题型有：1.1．计算f(x+1)-f(x)，其中正确答案：由行列式的分解法可知=(n+1)xn。涉及知识点：行列式2．已知(1，a，2)T，(一1，4，6)T构成齐次线性方程组的一个基础解系，求a，b，s，t．正确答案：此齐次线性方程组的基础解系包含2个解，未知数有3个，则系数矩阵的秩为1，立刻得到s=2，t=一1．于是方程组为把(1，a，2)T，(一1，4，b)T代入，得a=2，b=1．涉及知识点：线性代数3．正确答案：涉及知识点：高等数学部分4．设F(x)是f(x)的原函数，且当x≥0时有f(x)F(x)=sin22x，又F(0)=1，F(x)≥0，求f(x)。正确答案：因为F’(x)=f(x)，所以F’(x)F(x)=sin22x。等式两端积分，得∫F’(x)F(x)dx=∫sin22xdx，即∫F(x)dF(x)=∫sin22xdx，故有sin4x+C，由F(0)=1得，C=，因为F(x)≥0，所以涉及知识点：一元函数积分学5．证明：正确答案：因此，当时，g(x)＜0，即f’(x)＜0，故f(x)＜f(0)=1，得证．涉及知识点：一元函数微分学6．设A是n阶矩阵，证明：A=0的充要条件是AA2=O.正确答案：设则若应有，即aij=0(i=1，2，…，n；j=1，2，…，n)，即A=O.反之，若A=O，显然AAT=O涉及知识点：线性代数7．求从点A(10，0)到抛物线y2=4x之最短距离．正确答案：抛物线上点P(，y)到A(10，0)的距离的平方(如图4．4)为问题是求d(y)在[0，+∞)上的最小值(d(y)在(一∞，+∞)为偶函数)．由于在(0，+∞)解d′(y)=0得y=±于是d(±)=36，d(0)=100．又d(y)在[0，+∞)的最小值为36，即最短距离为6．涉及知识点：微分中值定理及其应用8．求．正确答案：涉及知识点：高等数学9．求级数的收敛域与和函数．正确答案：涉及知识点：高等数学部分10．求微分方程xy”=y’2满足初始条件y(0)=y’(0)=1的特解．正确答案：y=C2e—∫—dx=C2ex，由y(0)=1得C2=1，所以原方程的特解为y=ex．涉及知识点：高等数学11．正确答案：涉及知识点：线性代数部分12．求极限正确答案：涉及知识点：高等数学13．设A=，求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．正确答案：｜λE—A｜==(λ+A一1)(λ—a)(λ—a一1)=0，得矩阵A的特征值为λ1=1一a，λ2=a，λ3=1+a．(1)当1-a≠a，1一a≠1+a，a≠1＋a，即a≠0且a≠时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化．(2)当a=0时，λ1=λ3=1，因为r(E—A)=2，所以方程组(E一A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化．涉及知识点：线性代数设函数求：14．函数的定义域；正确答案：数的定义域是(-∞，0]∪(0，＋∞]，即(-∞，＋∞)；涉及知识点：函数、极限、连续15．f(0)，f(-1)，f(3)，f(a)，f(f(-1))正确答案：因0∈(-∞，0]，－1∈(-∞，0]由f(x)＝2＋x，得f(0)＝2＋0＝2，f(－1)＝2＋(-1)＝1因x∈(0，＋∞)，由f(x)＝2x，得f(3)＝23＝8当a≤0时，由f(x)＝2＋x得f(