大学物理(上)总复习

微分法:由积分法:初始条件求得速度方程:求得运动方程:匀加速运动牛顿运动定律动量定理冲量功动能定理动量守恒定律当常矢量机械能守恒定律当常量角量与线量的关系定轴转动质点刚体m质点

定轴转动刚体动量守恒合外力为零，动量守恒角动量守恒合外力矩为零，角动量守恒质点刚体例：一质点运动轨迹为抛物线求：x=–4时（t>0)粒子的速度、速率、加速度。分析：x=–4，t=2xy解：t=2vx=－4t=2vy=–24t=23.一质量m=0.14kg的垒球沿水平方向以v1=50m/s的速率投来，经棒打击后，沿仰角

=45°的方向向回飞出，速率变为v2=80m/s。求棒给球的冲量的大小与方向。若球与棒接触的时间为

t=0.02s，求棒对球的平均冲力大小。它是垒球本身重量的几倍？解：如图，设垒球飞来方向为x轴方向。棒对球的冲量大小为方向：与x轴夹角棒对球的平均冲力此力为垒球本身重量的4.一人造地球卫星绕地球作椭圆运动,A、B

分别为近地点和远地点,A、B距地心的距离分别为r1、r2。设卫星的质量为m，地球的质量为M，万有引力常量为G，则卫星在A

、B

两点处的万有引力势能的差为多少？卫星在A、B

两点处的动能差为多少？解:

由万有引力势能公式得

ABr1r2地心由机械能守恒解：因木块极缓慢地移动，所以可认为木块m在任意时刻均处于平衡状态。其所受合力为零。支承力弹性力

如图所示，弹簧原长为AB，劲度系数为k，下端固定在A点，上端与一质量为m的木块相连，木块总靠在一半径为a的半圆柱面的光滑表面上。今沿半圆的切向用力拉木块,使其极缓慢的移过角。求这一过程中

力作的功。mBAa木块在移到角度为时，所受弹力为：则切线方向木块移过的过程中，力所作的功为mBAa5.弹簧(倔强系数为k)一端固定在a点,另一端连一质量为m的物体,靠在光滑的园柱体表面(半径R),弹簧原长ab,在沿半圆切向外力F作用下缓慢地沿表面从b到c;用功能原理求外力F做的功。解:

根据功能原理:以m,弹簧,

地球为研究对象弹性势能零点,重力势能零点均选在b处cmab6.求均匀薄圆盘对于中心垂直轴的转动惯量。解:取面积元dS,其质元的质量为dmrdrdSd

则质元dm对oo'轴的转动惯量为平行轴定理若外力在垂直于转轴的平面内若外力不在垂直于转轴的平面内平行于转轴，不会使刚体绕轴转动刚体的定轴转动定律定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立：W外+W内非=（Ek2+Ep2）—（Ek1+Ep1）刚体重力势能：若W外+W内非=0，则Ek+Ep=常量。Emghmgmhmmghpiiiic===ååDD×ChchiEp=0

mi解：7.如图，两圆轮的半径分别为R1和R2，质量分别为M1和M2，皆可视为均匀圆柱体且同轴固结在一起，二盘边缘绕有细绳，绳子下端挂两个质量分别为m1和m2的物体，求在重力作用下，m2下落时轮的角加速度

对整个轮，由转动定律由运动学关系联立解得角量与线量的关系8.如图，唱机的转盘绕着通过盘心的固定竖直轴转动，唱片放上去后将受到转盘摩擦力作用而随转盘转动。设唱片可看成是半径为R的均匀圆盘，质量为m，唱片与转盘之间的滑动摩擦系数为

k。转盘原来以角速度

匀速转动，唱片刚放上去时它受到的摩擦力矩是多大？唱片达到角速度

需要多长时间？在这段时间内转盘保持角速度

不变，驱动力矩共做了多少功？唱片获得了多大动能？解:唱片上一面元面积为质元的质量：此面元受转盘摩擦力矩：rdrdSd

各质元所受力矩方向相同，整个唱片所受摩擦力矩唱片在此力矩作用下做匀加速转动，角速度从0增加到

需要时间:驱动力矩做功唱片获得动能rdrdSd

.OM

A.L9.如图，均匀杆长L=0.40m，质量M=1.0kg，由其上端的光滑水平轴吊起而静止。今有一质量m=8.0g的子弹以v=200m/s的速率水平射入杆中而不复出。射入点在轴下d=3L/4处。(1)求子弹停在杆中时杆的角速度；(2)求杆的最大偏转角。解：(1)由子弹和杆系统对悬点O的角动量守恒mo质心(2)对杆、子弹和地球，由机械能守恒得由此得例质量为M的匀质园盘,半径为R,盘底面与水平接触面之间摩擦系数.一质量为m的子弹以速度v射入盘边缘并嵌在盘边,求1)子弹嵌入盘边后盘的角速度?2)经多少时间停下来?3)盘共转个多少角度?注意如果是空气阻力引起的解:1)子弹与圆盘相撞守恒

rdr2)子弹与盘从到停止转动,运用角动量定理3)运用功能原理:例：长度为

l，质量为m的均匀细棒，在竖直平面内摆动。棒最初处于水平位置，求它下摆到θ角时的角加速度和角速度。θ解：dmx由转动定律重力的力矩：重力集中在质心时的力矩

例:

匀质细杆(m1,L)一端挂在墙上,一端固定有一物体(m2)求1)转动惯量,2)从图中水平位置无初速落下时的

,3)落到铅直位置时的角加速度,角速度o(m1,L)m2解:1)解得以m1,m2,地球为系统,

E守恒取方向为正2)由3)竖直位置时,棒受重力矩M=0,故此时

'=0N——分子总数

——摩尔数m:气体总质量，M:摩尔质量，

——分子数密度，注意与密度的区别

=n

一个分子的质量

——

密度

记住几个常数

NA

=6.023

1023/mol

标准状况下：P=1atm=1.013105Pa

T=273.15K

1mol理想气体的体积V=22.4升(l)g5/37/58/6气体分子CP,m5R/27R/28R/2单原子刚性双原子刚性多原子

20.8

29.1

33.3=1.67=1.40=1.33

3R/2

5R/2

6R/2

12.5

20.8

24.9CV,m

(J/mol·K)1.2g氢气与2g氦气分别装在两个容积相同的封闭容器内，温度也相同。(氢气视为刚性双原子分子)。求：(1)氢分子与氦分子的平均平动动能之比；(2)氢气与氦气压强之比；(3)氢气与氦气内能之比。解：(1)(2)(3)f(v)是速率分布函数,试说明下列各表达式的物理意义:

(1)Nf(v)

速率在v

附近单位速率间隔内的分子数.

(2)f(v)dv

速率在v附近dv速率间隔内的分子数占总分子数的比例.

(3)

平均速率

(4)

平均平动动能

(5)

归一化条件,所有速率区间内的分子数占总分子数的比例的总和为1.

(6)

f(vP)dv

最概然速率vP附近dv速率间隔内的分子数占总分子数的比例.

(7)

速率小于最概然速率vP的分子数.

(8)

v≥vP的分子数占总分子数的比例.

(9)

100m/s≤v≤200m/s的分子数.

v02v0a0vf(v)(1)速率分布曲线如右图所示：解：由归一化条件：另法：由图可有面积S(3)求粒子的平均速率。2.

N个粒子,其速率分布函数为(1)作速率分布曲线并求常数a；

(2)分别求速率大于v0

和小于v0的粒子数；()()())()()(¥<<=££=<£=vv20vfv2vvavfvv0vvavf00000(2)大于v0的粒子数：v02v0b0vf(v)(3)平均速率：小于v0的粒子数:例.某气体在温度T=273K时，压强为p=1.010-2atm,密度

=1.2410-2kg/m3。求：该气体分子的方均根速率解:不能直接使用!其数学表达式:此式称为热力学第一定律。即系统对外界做的功系统从外界吸收的热量系统内能的增量三.热力学第一定律实验证明:外界对系统做功外界对系统传热系统内能改变能量守恒,热力学第一定律永远成立，不管过程是不是准静态，只是对于准静态可以解析计算现在把四种过程归纳如下:过程等容等压等温绝热特征dV=0dP=0dT=0dQ=0过程V=恒量P=恒量T=恒量方程PT

–1=恒量VT

–1=恒量PV=恒量

热量Q

CV(T2-T1)

CP(T2-T1)

RTln(V2/V1)

RTln(P1/P2)

0功W0P（V2-V1）

R(T2-T1)

RTln(V2/V1)

RTln(P1/P2)内能增量

E

CV(T2-T1)

CV(T2-T1)

0

CV(T2-T1)热一律Q=

EQ=

E+WQ=WW=-

E热机效率一次循环工质对外做的净功A工质从高温热源吸收的热量Q1循环过程

热二律的两种表述：

克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化。克劳修斯表述实质说明热传导过程的不可逆性，

开尔文表述：唯一效果是热全部转变为功的过程是不可能的。开尔文表述实质说明功变热过程的不可逆性，

第二类永动机不可能制成．

微观意义：一切自然过程总是沿着无序性增大的方向进行。

热力学概率（W）：任一宏观态所对应的微观态数在一个孤立系统内，一切实际过程都向着W增大的方向进行。对孤立系统，一定条件下的平衡态是对应W为最大值的宏观态。

自然的宏观过程都是都是不可逆的，而且它们的不可逆性又是互相沟通的。如功热转换、热传导、气体自由膨胀等都是不可逆过程。

熵的概念在孤立系统中所进行的自然过程总是沿着热力学概率或微观状态数W

增大的方向进行。

熵增加原理——也是热二率的一种表述在孤立系统中所进行的自然过程总是沿着熵增加的方向进行，它是不可逆的。

熵是系统状态的函数，与过程无关。

熵的微观意义：系统内分子热运动的无序性的量度。系统某一状态的熵值越大，它所对应的宏观状态越无序。克劳修斯熵定义：当系统由平衡态1过渡到平衡态

2

时，熵的增量等于系统沿任何可逆过程由状态

1

到状态

2

的

dQ/T

的积分。熵的单位为

J/K。

熵变：（可逆）例.己知:绝热器被分为两部份,分别充有1摩尔的氦气(He)和氮气(N2),视气体为刚性分子理想气体。若活塞可导热、可滑动,摩擦忽略不计。初始态:氦的压强PHe=2大气压,THe=400K0,氮的压强PN2=1大气压,TN2=300K0。HeN2初态终态HeN2解:1.总系统是绝热的。2.分系统之间可传热,活塞将向右移。3.应用热一律和状态方程。求：最终系统达到的状态具体求解:左侧He对N2做功,活塞向右,同时又放热,右侧N2受He所做的功,同时吸热总系统绝热,不对外做功,由热力学第一定律整理由于PHe>PN2,THe>TN2HeN2初态终态HeN2代入上式,终态时利用体积关系,求终态时压强P’:换成HeN2初态终态HeN2大气压终态时,两侧同温、同压、同体积:大气压最后例:1mol理想气体由初态(T1,V1)经某一不可逆过程到达末态(T2,V2);求熵变(设气体的CV,mol为恒量)。PVo解一:设计一个可逆过程,如图·23·1·1~3为等容3~2为等温解二:

不考虑具体过程,先找出气体系统的熵变与状态参量(T,V)的关系等式两边积分,得系统的熵变为一.简谐振动

x(t)=Acos(ωt+φ)二.描述简谐振动的特征量

1.振幅A2.周期T和频率v3.相位2旋转矢量xOp

0

tM

振幅矢量1位移xOx由初始机械能

E0

与k

决定由初始条件

决定。例：已知振动曲线如图，求振动方程。AA/21txO解：AOxx=A/2t=0

0t=0

0=－π/3t=1x=0t=1

1=π/2三、同方向不同频率的简谐振动的合成合振动x=x1+

x2合振动不是简谐振动当

2

1时

2-

1<<

2+

1其中随ｔ缓变随ｔ快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动拍频:单位时间内强弱变化的次数xtx2tx1t合振动忽强忽弱的现象1.水平弹簧振子，弹簧倔强系数k=24N/m，重物质量m=6kg，重物静止在平衡位置。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体(不计摩擦),使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。解：设物体的运动方程为

x=Acos(

t+

)恒外力所做的功等于弹簧获得的机械能，当物体运动到最左端时，这些能量全部转化为弹簧的弹性势能mkFx–A–so角频率物体运动到–A

位置时计时，初相为

=

所以物体的运动方程为x=0.204cos(2

t+

)[m]

注意振动能量与波动能量的区别2.两个谐振子作同频率同振幅的简谐振动。第一个振子的振动表达式为x1=Acos(

t+

)，当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。(1)求第二个振子的振动表达式和二者的相差；解：(1)由已知条件画出相量图，可见第二个振子比第一个振子相位落后

/2，故

=2

–

1=–/2，第二个振子的振动函数为

x2=Acos(

t++

)=Acos(

t+

–/2)A1A2xo

3.一质点同时参与两个同方向同频率的谐振动,其振动规律为x1=0.4cos(3t+

/3)，x2=0.3cos(3t-

/6)(SI)。求：(1)合振动的振动函数；(2)另有一同方向同频率的谐振动x3=0.5cos(3t+

3)(SI)

当

3

等于多少时，x1,x2,x3的合振幅最大？最小？解:xaf-p/6p/3o相量图法(2)当

f3=f

=0.12

时，

xaf-p/6p/3o当

f3=f

-

=-0.88

时，

Ox

1

2x2x1xx2NQM1M2MP

由图得同一直线上同频率的简谐振动的合成二、波的特征量：波长：波速一、简谐波四、波形图和振动图：xuOxP波速由媒质的性质决定T、n由波源决定三、波的重要特征：两个相位传播和能量传播4.已知t=2s时一列简谐波的波形如图，求波函数及

o点的振动函数。x(m)0.5y(m)ou=0.5m/s123解：波函数标准方程已知A=0.5m，

=2m，T=

/u=2/0.5=4s由得即所以波函数为o点的振动函数为也可以选ｘ＝０，ｙ＝０例：平面简谐波以速度u=120m/s沿x轴正向传播的，t=0时波形如图，求此平面波的波函数。y(m)Ox(m)t=0u解：考虑O点A/2yOAwj=p/350.2初相：j’=-p/2DD初相：D相位落后ODj=j’-j=12(m)A考虑同频率、振动方向、同初位相、同振幅两波

S2S1r1r2·p

p点两分振动例：两波源A、B相距30cm，初相差为，两简谐振动的振幅为1m,频率为10Hz,CB垂直于AB，CB=40cm,若使C处振动加强，求：相干波满足的条件。ABC

r1

r230cm40cm解：若振动加强ABC

r1

r230cm40cm

k=1,2,3,...S1S2Pr1r2

t3.16：用很薄的玻璃片放在双缝的一条缝后面,这时屏上零级条纹移到原来的第7级明纹的位置上。如果入射光的波长为550nm，玻璃片的折射率为1.58，试求玻璃片的厚度.解:

设玻璃折射率为tS1和S2发出的两束光的光程差:原来k级明纹处:现在该处变为:

相干条件（1）同频，（2）同向，（3）恒定光程：

光程差和相位差的关系：

M

122

11

S半透半反膜M2M1G1G2Ee微小位移测量测折射率测波长例:测波长,等厚情况.当M1移动

L=0.3220mm时,等厚条纹移过1204条,求.

=2

L/N=2×0.3220/1204=0.0005349mm=5349Å解

斜入射

k

=0，1,2…——光栅方程+q、j在法线的同侧-

q、j在法线的两侧jABCDq12q1’2’E单缝衍射中央明纹内的条纹数。d/a=整数条纹数目：（条）相邻主极大之间分布着（N-1)个极小，(N-2)次极大0

/d-(

/d)-2(

/d)2

/dII0sin

N=4光强曲线

/4d-(

/4d)1.在图示的双缝干涉实验中,D=120cm,d=0.5mm,用波长为

=5000Å的单色光垂直照射双缝。(1)求原点o(零级明条纹所在处)上方的第五级明条纹的坐标x。(2)如果用厚度h=1×10-2mm,折射率n=1.58的透明薄膜覆盖s1缝后面,求上述第五级明条纹的坐标x'

。s1s2doxD解:(1)原点o上方的第五级明条纹的坐标:(2)覆盖s1时,条纹向上移动由于光程差的改变量为(n-1)h,而移动一个条纹的光程差的改变量为

,所以明条纹移动的条数为s1s2doxD另2.

两平板玻璃之间形成一个

=10-4rad的空气劈尖,

若用

=600nm

的单色光垂直照射。求:

1)第15条明纹距劈尖棱边的距离;2)若劈尖充以液体(n=1.28)后,第15条明纹移动了多少?解:

1)明纹…设第k条明纹对应的空气厚度为ek2)第15条明纹向棱边方向移动(为什么?)设第15条明纹距棱边的距离为L15',所对应的液体厚度为e15'

因空气中第15条明纹对应的光程差等于液体中第15条明纹对应的光程差,有明纹…明纹…4.

单缝衍射,己知:a=0.5mm,f=50cm白光垂直照射,观察屏上x=1.5mm处为明条纹,求1)该明纹对应波长?

衍射级数?

2)

该条纹对应半波带数?解:1)(1)(2)(Å)k=1:

1=10000Å答:x=1.5mm处有2)k=2时2k+1=5单缝分为5个半波带

k=3时2k+1=7单缝分为7个半波带k=2:

2=6000Åk=3:

3=4286Åk=4:

4=3333Å

2=6000Å,

3=4286Å5.用

1=400nm和

2=700nm

的混合光垂直照射单缝;

1的第k1级明纹恰与

2的第k2级暗纹重合;

求:(1)k1,k2;解:(1)

1

的明纹条件与

2

的暗纹条件:双缝，缝间距d=0.10mm，缝宽a=0.02mm，用波长l=480nm单色光

入射双缝后放一焦距为50cm的透镜，试求，(1)透