第17讲 新高考新结构命题下的导数解答题综合训练（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page新高考新结构命题下的导数解答题综合训练（11类核心考点精练）在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：三考题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实际水平。三重强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独特见解和创造力。三突出试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思考和探索，培养逻辑思维和创新能力。面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。导数版块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适中，易于学生入手。然而，同样不能忽视的是，导数版块也可能被置于第18、19题这样的压轴题中，此时的分值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新结构试卷的特点，结合具体的导数解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的导数解答题综合训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。考点一、利用导数研究具体函数的单调性1．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．2．（2024·浙江·三模）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若曲线在点处的切线与二次曲线只有一个公共点，求实数a的值．3．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数(1)若，求的单调区间.(2)若对，恒成立，求实数的取值范围4．（2024·陕西渭南·二模）已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若当时，恒成立，求实数m的取值范围.5．（2024·湖南衡阳·模拟预测）函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)在上单调递增，求的取值范围.6．（2024·广东佛山·二模）已知.(1)当时，求的单调区间；(2)若有两个极值点，，证明：.7．（2024·河北保定·二模）已知函数.(1)若，讨论的单调性；(2)已知存在，使得在上恒成立，若方程有解，求实数的取值范围.8．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若，的最小值为，求证：．9．（2024·浙江·模拟预测）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)当时，判断的零点个数.10．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)若，讨论的单调性．(2)若，，求证：．考点二、利用导数研究含参函数的单调性1．（2024·广东汕头·三模）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若恒成立，求的最小值．2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：．3．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：．4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数（）.(1)讨论的单调性；(2)当时，求证：.5．（2024·山西吕梁·三模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，使恒成立，则实数的取值范围.6．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，求函数在区间上的最大值．7．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．8．（2024·山东青岛·二模）已知函数.(1)证明曲线在处的切线过原点；(2)讨论的单调性；9．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若，求函数在区间上的零点个数.10．（2024·新疆·三模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有三个不同的零点，求实数的取值范围.考点三、利用导数求极值与最值1．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，求函数在区间上的最大值．2．（2024·江苏南京·二模）已知函数，其中．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，若在区间上的最小值为，求a的值．3．（2024·河南·模拟预测）已知函数．(1)求的极大值；(2)若，求在区间上的零点个数．4．（2024·湖南长沙·三模）已知函数（）.(1)求函数的极值；(2)若集合有且只有一个元素，求的值.5．（2024·河北保定·三模）已知函数，为的极值点.(1)求a；(2)证明：.6．（2024·北京顺义·三模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求证：函数存在极小值；(3)求函数的零点个数.7．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数．(1)当时，请判断的极值点的个数并说明理由；(2)若恒成立，求实数a的取值范围．8．（2024·吉林·模拟预测）已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)求证：当时，.9．（2024·四川攀枝花·三模）已知函数．(1)求函数的极值；(2)设函数的导函数为，若（），证明：．10．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数的一个极值为．(1)求实数的值；(2)若函数在区间上的最大值为18，求实数与的值．考点四、利用导数证明不等式1．（2024·广西·模拟预测）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)证明：．2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：．3．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数．(1)求的值域；(2)求证：当时，．4．（2024·河北·三模）已知函数．(1)若在恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：．5．（2024·四川内江·三模）已知函数．(1)若的图象不在轴的下方，求的取值集合；(2)证明：．6．（2024·河北·模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.7．（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数，.(1)当时，函数恒成立，求实数的最大值；(2)当时，若，且，求证：；(3)求证：对任意，都有.8．（2024·陕西·模拟预测）已知函数（），.(1)讨论函数的单调性；(2)证明：（）；(3)证明：（）.9．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知函数.(1)求函数在处的切线方程.(2)证明：.10．（2024·山东·模拟预测）已知函数，其中.(1)求曲线在点处切线的倾斜角；(2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围；(3)证明：.考点五、利用导数解决恒成立与能成立有解问题1．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，其中为常数.(1)过原点作图象的切线，求直线的方程；(2)若，使成立，求的最小值.2．（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，，求a的取值范围．3．（2024·山东济南·三模）已知函数，其中且．(1)若是偶函数，求a的值；(2)若时，，求a的取值范围．4．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知．(1)讨论的单调性和极值；(2)若时，有解，求的取值范围．5．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围．6．（2024·四川雅安·三模）已知函数.(1)当时，求函数在上的值域；(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.7．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，，求实数的取值范围.8．（2024·浙江温州·模拟预测）函数(1)求的单调区间.(2)若在时恒成立，求的取值范围.9．（2024·山东·二模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求实数的取值范围.10．（2024·河北·二模）已知函数．(1)求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的周长；(2)若函数的图象上任意一点关于直线的对称点都在函数的图象上，且存在，使成立，求实数的取值范围．考点六、利用导数研究函数的零点与方程的根1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数．(1)证明：当时，；(2)求在区间上的零点个数．2．（2024·广东汕头·三模）已知函数.(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.(2)若在只有一个零点，求.3．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)若函数至多一个零点，求a的取值范围．4．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围．5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，.(1)当时，求的单调区间；(2)若方程有三个不同的实根，求的取值范围．6．（2024·浙江温州·一模）已知（）.(1)求导函数的最值；(2)试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由.7．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)若有两个不同的实数根，求实数的取值范围．8．（2024·山东烟台·三模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，若方程有三个不等的实根，求实数的取值范围.9．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数.(1)若是函数的极值点，求的值，并求其单调区间；(2)若函数在上仅有2个零点，求的取值范围．10．（2024·福建宁德·三模）已知函数的图象在处的切线过点.(1)求在上的最小值;(2)判断在内零点的个数，并说明理由.考点七、利用导数研究双变量问题1．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围．2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，求证：．3．（2024·四川德阳·二模）已知函数，(1)当时，讨论的单调性；(2)若函数有两个极值点，求的最小值.4．（23-24高三上·河南周口·期末）已知函数.(1)若在上单调递减，求的取值范围；(2)若，求证：；(3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：.5．（23-24高三上·福建福州·期中）已知函数，为的导函数．(1)当时，讨论函数的单调性(2)已知，，若存在，使得成立，求证：．6．（23-24高三下·北京·开学考试）已知.(1)若，求在处的切线方程；(2)设，求的单调区间；(3)求证：当时，.7．（2024·安徽阜阳·一模）已知函数．(1)讨论的单调性．(2)已知是函数的两个零点．（ⅰ）求实数的取值范围．（ⅱ）是的导函数．证明：．8．（2023·浙江嘉兴·二模）已知.(1)若存在实数，使得不等式对任意恒成立，求的值；(2)若，设，证明：①存在，使得成立；②.9．（2023·全国·模拟预测）已知函数.(1)设函数，若恒成立，求的最小值；(2)若方程有两个不相等的实根、，求证：.10．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数.(1)若函数为增函数，求的取值范围；(2)已知.（i）证明：；（ii）若，证明：.考点八、利用导数解决隐零点问题1．（2024·浙江丽水·二模）设函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若对定义域内任意的实数，恒有，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）2．（22-23高三上·天津·期末）设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．(1)求a的值；(2)求的单调区间；(3)若对成立，求b的取值范围．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的极值点个数；(2)当时，若实数满足，证明：．4．（2023·江西·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为12.(1)求的单调区间；(2)证明：，有恒成立.5．（2024·山东枣庄·一模）已知．(1)讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．6．（2024·北京朝阳·一模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围.7．（2024·海南·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.8．（2024·山东·二模）已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)当时，，求的取值范围．9．（2024·辽宁抚顺·一模）已知函数．(1)当时，判断的单调性；(2)若时，恒成立，求实数的取值范围．10．（2024·辽宁·一模）已知函数，（其中a，b为实数，且）(1)当时，恒成立，求b；(2)当时，函数有两个不同的零点，求a的最大整数值．（参考数据：）考点九、利用导数解决极值点偏移问题1．（2024高三·全国·专题练习）设函数．(1)判断函数的单调性；(2)若，且，求证：．2．（22-23高三上·辽宁丹东·期末）已知函数．(1)证明：若，则；(2)证明：若有两个零点，，则．3．（23-24高二下·云南·期中）已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：.4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数．(1)证明：；(2)若，且，证明：．5．（22-23高三上·江西吉安·期末）已知函数，.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)设，是的两个不同零点，证明：.6．（22-23高三上·山西·阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，证明：.7．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数．(1)若，讨论的单调性．(2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根．（i）求的取值范围；（ii）求证：．8．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数（）．(1)求的单调区间；(2)若函数，是函数的两个零点，证明：．9．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知函数，a为实数．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：．10．（2023·辽宁阜新·模拟预测）已知函数(1)若时，求的最值；(2)若函数，且为的两个极值点，证明：考点十、导数与其他知识点杂糅问题1．（2024·河北·三模）现随机对件产品进行逐个检测，每件产品是否合格相互独立，且每件产品不合格的概率均为．(1)当时，记20件产品中恰有2件不合格的概率为，求的最大值点；(2)若这件产品中恰好有件不合格，以（1）中确定的作为的值，则当时，若以使得最大的值作为的估计值，求的估计值．2．（高二·全国·课后作业）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体．“刍薨”字面意思为茅草屋顶，图1是一栋农村别墅，为全新的混凝土结构，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图2，屋顶五面体为刍薨”，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形，点在平面和上射影分别为，，已知m，m，梯形的面积是面积的2.2倍．设．（1）求屋顶面积关于的函数关系式．（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为．现欲造一栋总高度为m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？3．（2023·浙江·一模）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数．(1)证明：；(2)若，．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．4．（2023·河北·模拟预测）某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球：若教练上一次是传给某运动员，则这次有的概率再传给该运动员，有的概率传给另一位运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第次传球传给甲运动员的概率为.(1)求，；(2)求的表达式；(3)设，证明：.5．（2024·福建福州·模拟预测）点是椭圆：（）上（左、右端点除外）的一个动点，，分别是的左、右焦点.(1)设点到直线：的距离为，证明为定值，并求出这个定值；(2)的重心与内心（内切圆的圆心）分别为，，已知直线垂直于轴.（ⅰ）求椭圆的离心率；（ⅱ）若椭圆的长轴长为6，求被直线分成两个部分的图形面积之比的取值范围.6．（2024·湖南岳阳·三模）已知的三个角的对边分别为且，点在边上，是的角平分线，设（其中为正实数）．(1)求实数的取值范围；(2)设函数①当时，求函数的极小值；②设是的最大零点，试比较与1的大小．7．（2024·全国·二模）如图，过点的动直线交抛物线于两点.(1)若，求的方程；(2)当直线变动时，若不过坐标原点，过点分别作（1）中的切线，且两条切线相交于点，问：是否存在唯一的直线，使得？并说明理由.8．（2024·山东青岛·三模）已知为坐标原点，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，且两切线间的距离为，其中.(1)求实数的值;(2)若点分别在曲线上，求与之和的最大值;(3)若点在曲线上，点在曲线上，四边形为正方形，其面积为，证明:附:ln2≈0.693.9．（2024·福建泉州·模拟预测）将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如下图，那么最上层的铁块最多可向桌缘外伸出多远而不掉下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题．将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块、……、第n块，将前块铁块视为整体，若这部分的重心在第块的上方，且全部铁块整体的重心在桌面的上方，整批铁块就保持不倒．设这批铁块的长度均为1，若记第n块比第块向桌缘外多伸出的部分的最大长度为，则根据力学原理，可得，且为等差数列．(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为．①比较与的大小；②对于无穷数列，如果存在常数，对任意的正数，总存在正整数，使得，，则称数列收敛于，也称数列的极限为，记为；反之，则称不收敛．请根据数列收敛的定义判断是否收敛？并据此回答“里拉斜塔”问题．10．（2024·重庆渝中·模拟预测）（1）证明：当时，；（2）已知正项数列满足.（i）证明：数列为递增数列；（ii）证明：若，则对任意正整数，都有.考点十一、利用导数研究函数新定义问题1．（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:如果函数在闭区间上连续，在开区间可导，导数为，那么在开区间内至少存在一点，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.已知函数.(1)若，求函数在上的“拉格朗日中值点”；(2)若，求证:函数在区间图象上任意两点，连线的斜率不大于；(3)若，且，求证:.2．（2024·广东·二模）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不断，在开区间内的导数为，那么在区间内存在点，使得成立．设，其中为自然