第13讲 泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的应用（高阶拓展、竞赛适用）（教师版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第13讲泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的应用（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2022年新I卷，第7题,5分泰勒展开式及相关不等式放缩比较指数幂的大小比较对数式的大小2022年全国甲卷理科，第12题,5分泰勒展开式及相关不等式放缩比较三角函数值大小2021年全国乙卷理科，第12题,5分泰勒展开式及相关不等式放缩比较对数式的大小2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题不定，难度较大，分值为5分【备考策略】1能理解泰勒公式的本质2能运用泰勒公式求解【命题预测】泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终．泰勒公式的重点就在于使用一个次多项式，去逼近一个已知的函数，而且这种逼近有很好的性质：与在点具有相同的直到阶的导数，所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓．泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了．但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用．运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想．在高中阶段，会基本运用即可知识讲解1．泰勒公式：泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法．【定理1】若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式：其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量．2．常见函数的泰勒展开式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我们得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．3．常见函数的泰勒展开式的结论：结论1．结论2．结论3（）．结论4．结论5；；．结论6；结论7结论8．结论9．考点一、泰勒展开式的初步认知1．（2023·辽宁·二模）（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式由此可以判断下列各式正确的是（

）．A．（i是虚数单位） B．（i是虚数单位）C． D．【答案】ACD【分析】对于A、B，将关于的泰勒展开式两边求导得的泰勒展开式，再验证结论是否正确；对于C，由，再代入关于的泰勒展开式验证是否成立；对于D，由，证明即可.【详解】对于A、B，由，两边求导得，，，又，，，故A正确，B错误；对于C，已知，则.因为，则，即成立，故C正确；故C正确；对于D，,，，当，；；；，,所以，所以成立，故D正确.故选：ACD.【点睛】利用泰勒公式证明不等式方法点睛：应用泰勒公式时要选好，有时可能需要结合题目给出信息进行相关变形，再代入验证，利用展开项的特征进行适当的放缩，证明不等式成立.2．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.(1)分别求，，在处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：.（其中为虚数单位）；(3)若，恒成立，求a的范围.（参考数据）【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据函数在处的泰勒展开式的公式即可求解；（2）把在处的泰勒展开式中的替换为，利用复数的运算法则进行化简整理可得，从而即可证明；（3）根据在处的泰勒展开式，先证恒成立，再证，恒成立，然后分和两种情况讨论即可求解.【详解】（1）解：因为函数在处的泰勒展开式为（其中表示的n次导数），所以，，在处的泰勒展开式分别为：，，；（2）证明：把在处的泰勒展开式中的替换为，可得，所以，即；（3）解：由在处的泰勒展开式，先证，令，，易知，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，再令，，易得，所以在上单调递增，在上单调递减，而，所以恒成立，当时，，所以成立，当时，令，，易求得，所以必存在一个区间，使得在上单调递减，所以时，，不符合题意.综上所述，.【点睛】关键点点睛：本题（3）问解题的关键是根据在处的泰勒展开式，先证恒成立，再证，恒成立，从而即可求解.1．（2023·辽宁丹东·一模）计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有．其中是的导数，是的导数，是的导数……．取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为，精确到0.01的近似值为．【答案】【分析】根据泰勒展开式，化简得到，求得的“泰勒展开式”中第三个非零项，令，代入上式，进而求得的近似值.【详解】取时，可得则，所以的“泰勒展开式”中第三个非零项为，令，代入上式可得.故答案为：；.2．（23-24高二下·山西长治·期末）对于函数，规定，，…，，叫做函数的n阶导数．若函数在包含的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点x，，该公式称为函数在处的n阶泰勒展开式，是此泰勒展开式的n阶余项．已知函数．(1)写出函数在处的3阶泰勒展开式（用表示即可）；(2)设函数在处的3阶余项为，求证：对任意的，；(3)求证：．【答案】(1);(2)证明见详解；(3)证明见详解.【分析】（1）根据函数在处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；（2）根据泰勒公式的定义，计算函数在处的阶泰勒展开式余项，介于与之间的常数，再通过导数判断单调性即可；（3）计算函数在处的阶泰勒展开式为,并得，令，则，再利用累加法即可证明.【详解】（1）由题意，函数，且，则，，，所以函数在处的阶泰勒展开式为：.（2）由（1）可知，，，所以函数在处的阶泰勒展开式为：，其中，介于与之间的常数，所以，因为为常数项，且，所以函数为偶函数，因为，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，所以，故对任意的，.（3）由（2）可知，函数在处的阶泰勒展开式为，所以，令，则，所以，即.【点睛】关键点点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化.考点二、泰勒展开式的综合应用1．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）设，，则（

）A． B． C． D．泰勒公式法：因为，所以，所以因为所以综上所述：故选：C其他方法放缩法因为，所以，即因为，所以，即综上所述：，故选：C构造函数法假设成立，即令，则等价证明：，即证：（原式得证，略）假设成立，即令，则等价证明：，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以函数在单调递增，所以，即：，所以假设不成立，即，综上所述：，故选：C2．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解.【详解】[方法一]：泰勒展开设，则，，，计算得，故选A.[方法二]：构造函数因为当故，故，所以；设，，所以在单调递增，故，所以，所以，所以，故选A[方法三]：不等式放缩因为当，取得：，故，其中，且当时，，及此时，故，故所以，所以，故选A[方法四]：构造函数因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．3．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】[方法一]：由泰勒公式,可知将,分别相应代入估算,得.由此可知.[方法二]：，所以；下面比较与的大小关系.记，则，，由于所以当0<x<2时，，即，，所以在上单调递增，所以，即，即；令，则，，由于，在x>0时，，所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c；综上，，故选：B.[方法三]：令，即函数在（1，+∞)上单调递减令，即函数在（1，3)上单调递增综上，，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定的信息构造函数确定与2的大小关系，构造函数确定与2的大小即得.【详解】由，得，令函数，求导得，则函数在上单调递减，，因此，由，得，有，令函数，求导得，当且仅当时取等号，即函数在单调递增，，即，因此，所以.故选：A【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用单调性可得，作差法比较，可得结果.【详解】由，构造函数，则，当时，，则在上单调递增，而，所以，即，也就是；下面再比较与，，因为,，所以，则，所以.故选：B【点睛】思路点睛：构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小.3．（2024·全国·模拟预测）若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指对数运算法则得到，，，从而利用对数函数的性质分析判断得，，从而得解.【详解】，，，因为，则，所以，即；而，，所以，所以，即；综上：.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用与比较大小，利用与比较大小，从而得解.4．（2023高三·全国·专题练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，，利用对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】设函数，，则，当时，，为增函数，所以，即，即，所以，因为，所以，所以，因此.故选：C.【点睛】关键点睛：本题的关键是构造函数，，利用导数说明函数的单调性，从而比较大小.5．（2024·陕西商洛·模拟预测）设，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造，二次求导，得到单调性，得到，再变形得到，故构造，求导得到其单调性，比较出，得到答案.【详解】设，设0，所以，所以函数在上单调递增，所以，即.根据已知得，可设，则，所以函数在上单调递增，所以，即.综上，.故选：D.【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.1．（2024·辽宁·一模）设则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数证明不等式，可得；根据不等式的性质可证得，则，即可求解.【详解】对于函数，，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，即.所以，.由，得，所以，则，所以，即.所以.故选：B【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.2．（2024·辽宁·二模）若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通过构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，即可得出结果.【详解】令，则，令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递减，又，而，所以，即在区间上单调递增，所以，得到，即，所以，令，则，当时，，即在区间上单调递增，所以，得到，即，所以，综上所述，，故选：B.【点睛】关键点点晴：通过构造函数和，将问题转化成比较函数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.3．（2024·山西·二模）设，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得、，构造函数、，利用导数讨论两个函数的单调性可得、，即可求解.【详解】，，设函数，则，设，则，所以在上单调递减，且，即，所以在上单调递减，则，即，所以.设，则，所以在上单调递增，且，即，得，所以，即，解得.综上，.故选：B【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.4．（2024·全国·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数利用导数证明得当时，有，从而可证得，同理当时，有，从而，另一方面注意到，由此即可得解.【详解】设，则，所以在单调递增，所以，即当时，有，所以．同理可得，所以，即．设，则0，所以在单调递增，所以，即当时，有，所以．又因为，所以．综上可知，．故选：B．【点睛】关键点点睛：在比较的大小关系时，关键是找到适当的中间值，然后通过适当的放缩比较大小即可顺利得解.5．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由对数函数的性质可得，构造函数，利用导数可得，则答案可求.【详解】因为，所以，所以，令，所以，则，，所以，即恒为递增函数，则，即，所以，综上：，故选：A.6．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对b放缩可得，构造，利用导数讨论单调性可得，再构造，，利用二次导数研究其单调性可比较a，c，然后可得答案.【详解】因为，所以．构造函数，则恒成立，所以在上单调递增，所以，即，即．构造函数，，则，令，则，令，则，所以在上单调递减，，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即，即．综上，．故选：B．【点睛】本题难点在于函数得构造，构造函数时经常需要利用同构函数、放缩法，构造差函数等，然后利用导数研究单调性，由单调性比较即可.7．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数及函数，结合函数的单调性可比较与，构造函数，结合函数的单调性可比较与，即可得解.【详解】令，，则在上恒成立，故在上单调递减，故，故，即，即，、令，则，故在定义域内单调递增，故，即；令，，则在上恒成立，故在上单调递增，又，故，故，即，故有.故选：D.【点睛】关键点睛：本题关键在于构造对应的函数帮助比较大小，对与，可通过构造，从而比较与的大小关系，构造，从而比较与的大小关系，可得与的大小关系，通过构造可比较与的大小关系.8．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用常见不等式放缩得到，的大小关系，再利用幂函数的单调性比较，的大小关系即可得到答案.【详解】令，则恒成立，所以在单调递增，所以当时，，即；令，则恒成立，所以在单调递增，所以当时，，即；由诱导公式得，所以，因此；因为，，故只需比较与的大小，由二项式定理得，，所以．综上，.故选：C【点睛】方法点睛：本题考查比较大小问题，此类问题常见的处理方法为：（1）中间值法：通过与特殊的中间值比较大小，进而判断两个数的大小关系；（2）构造函数法：通过观察两个数形式的相似之处，构造函数，利用导数研究函数单调性与极值等性质进而比较大小；（3）放缩法：利用常见的不等式进行数的放缩进而快速比较大小.9．（2024·湖南邵阳·一模）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数然后根据函数的单调性判断的大小，构造函数判断的大小，从而判断出大小；【详解】，设，在上单调递减.又；又，设时，在单调递减.；综上，，故选：D.10．（23-24高三上·安徽·期末）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由条件得到，，从而得到，，即可得出，构造函数，利用函数的单调性，即可判断出，从而得出结果.【详解】由，得到，又，所以，所以，，又，所以，又，得到，令，则，所以，得到，令，则在区间上恒成立，所以在区间上单调递减，又，当时，，得到在区间上恒成立，所以在区间上单调递减，又，所以，得到，故选：A.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于判断的大小，通过构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，得函数的单调性，即可求出结果.11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造函数，利用单调性可得，作差法比较，可得结果.【详解】由，构造函数，则，当时，，则在上单调递增，而，所以，即，也就是；下面再比较与，，因为,，所以，则，所以.故选：B【点睛】思路点睛：构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小.12．（2024·湖南长沙·一模）已知实数分别满足，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可得，，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，构造函数，结合导数研究函数单调性后可得，即可得出.【详解】由，则，令，，则，则当时，，故在上单调递增，故，即，即，由，则，令，，则，令，则当时，恒成立，故在上单调递增，又，故恒成立，故在上单调递增，故，即，即，故.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数、，从而借助导数求出函数单调性以比较、、的大小.13．（2023高三·全国·专题练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，，利用对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】设函数，，则，当时，，为增函数，所以，即，即，所以，因为，所以，所以，因此.故选：C.【点睛】关键点睛：本题的关键是构造函数，，利用导数说明函数的单调性，从而比较大小.14．（23-24高三下·安徽·阶段练习）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过构造函数，，，利用导数与函数的单调性间的关系，分别求出函数的单调区间，利用单调性即可比较出函数值的大小，从而求出结果.【详解】令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递增，所以，即，所以，令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递增，所以，即，所以，所以，令，则在区间上恒成立，即在在区间上单调递增，所以，即，所以，综上，，故选：D.【点睛】关键点点晴：通过构造函数，，，将比较大小转化成函数值的大小，再对函数进行求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，利用单调性即可解决问题.15．（2024·甘肃陇南·一模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，结合幂函数的单调性判断得，再构造函数，推得，从而推得，由此得解.【详解】因为，所以；令，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以，故，则，即，当且仅当时，等号成立，当，即，有，从而有；综上，.故选：D.【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：（1）；（2）.16．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，由导数分析函数在上单调递减，所以得到，得到，作差比较的大小，利用基本不等式比较大小即可.【详解】设，则在上单调递减，所以，所以，，，，所以，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数，由导数分析函数在上单调递减，所以得到，利用基本不等式比较大小即可.17．（2024·辽宁沈阳·一模）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】观察选项，构造函数，利用导数求得其单调性，结合指数函数的性质即可得解.【详解】令，则，当时，；当时，；所以在上单调递增；在上单调递减，所以且，所以且，即且，所以，又，所以，综上所述，，故选：D.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造