第09讲 解三角形中的最值及范围问题（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第09讲解三角形中的最值及范围问题（15类核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等偏上，分值为13-15分【备考策略】1会利用基本不等式和相关函数性质解决三角形中的最值及范围问题2会利用正余弦定理及面积公式解决三角形的综合问题【命题预测】本节内容一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合基本不等式和相关函数性质等知识点求解范围及最值，需重点复习。知识讲解解三角形最值及范围问题中常用到的关联知识点基本不等式，当且仅当时取等号，其中叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数，通常表达为：（积定和最小），应用条件：“一正，二定，三相等”基本不等式的推论重要不等式（和定积最大）当且仅当时取等号当且仅当时取等号辅助角公式及三角函数值域形如，，其中，对于，类函数，叫做振幅，决定函数的值域，值域为，有时也会结合其他函数的性质和单调性来求解最值及范围三角形中的边角关系构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边在三角形中，大边对大角，小边对小角在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:即注意：在锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。考点一、面积类最值及范围问题1．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．(1)求的值；(2)若，求面积的最大值．2．（2024·河北·模拟预测）在锐角中，，，分别是角的对边，.(1)求；(2)若，求的面积取值范围.3．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设.

(1)当时，求；(2)当变化时，求四边形面积的最大值.4．（23-24高三上·江西抚州·阶段练习）已知在平面四边形中，，.(1)求的值；(2)记与的面积分别为和，求的最大值.1．（2024·广东茂名·一模）在中，内角的对边分别是，且.(1)求的大小；(2)若是边的中点，且，求面积的最大值.2．（2024·江苏·模拟预测）在中，点在边上，且满足.(1)求证：；(2)若，，求的面积的最小值.3．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形中，.(1)若四点共圆，求；(2)求四边形面积的最大值.4．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角的大小；(2)若，角与角的内角平分线相交于点D，求面积的最大值.5．（23-24高三上·江西·期末）如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，∠BCD=β.(1)求的值；(2)若△ABD的面积为，△BCD的面积为，求的最大值.考点二、周长类最值及范围问题1．（2024·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知(1)试判断的形状；(2)若，求周长的最大值.2．（2024·四川南充·模拟预测）在中，.(1)求；(2)若，求周长的最大值.3．（2024·湖南常德·一模）已知的内角的对边分别是，且.(1)判断的形状；(2)若的外接圆半径为，求周长的最大值.4．（2024·山西·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．(1)试判断的形状；(2)若的外接圆半径为2，求周长的最大值．1．（2024高三下·全国·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)设，求周长的最大值．2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知向量满足，，且．(1)求角；(2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围．3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知在中，D为BC边的中点，且．(1)若的面积为，，求；(2)若，求的周长的最大值．4．（2024·贵州贵阳·三模）已知的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足.请回答下列问题:(1)证明:为等腰三角形;(2)若的外接圆直径为1，试求周长的取值范围.5．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的对边分别为，且.(1)求角的取值范围；(2)已知内切圆的半径等于，求周长的取值范围.考点三、边长类最值及范围问题1．（2024·陕西西安·一模）已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，．(1)求的值；(2)若△ABC的面积为，求c的最小值．2．（2024·贵州遵义·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A；(2)若为锐角三角形，，求b的取值范围．3．（2024·山西晋中·三模）在中，角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，在边上（不含端点）存在点，使得，求的取值范围．1．（2024·全国·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，满足．(1)求角．(2)当面积的最大值为时，求的值．2．（2024·四川·三模）三角形中，角的对边分别为，且.(1)求；(2)若边上的中线长为2，求的最小值.3．（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形的内角的对边分别为，已知．(1)求的大小．(2)若的面积为，求的取值范围．考点四、边长和差类最值及范围问题1．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且．(1)求角；(2)若，且，求的最小值．8．8．2．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，．(1)求角，并计算的值；(2)若，且是锐角三角形，求的最大值．3．（2024·广东湛江·一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．1．（2024·湖北·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，．(1)求A；(2)者，，求的取值范围．2．（2024·江西·模拟预测）在中，角，，所对的边分别记为，，，且．(1)若，求的大小．(2)若，求的取值范围．3．（2024·山西吕梁·一模）设的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)设的角平分线交于点，求的最小值．4．（2024·陕西安康·模拟预测）记的内角所对的边分别为，已知__________.在①，②，③，这三个条件中任选一个填在上面的横线上，并解答问题.(1)求角；(2)若的面积为，求的最小值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.考点五、边长积商类最值及范围问题1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角的三内角的对边分别是，且，(1)求角的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为，求的取值范围．2．（2024·宁夏固原·一模）在锐角中，内角的对边分别是，且．(1)求证：；(2)求的取值范围．3．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角的对边分别为，且满足．(1)若，求的大小；(2)求的取值范围．1．（2024·陕西安康·模拟预测）记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)证明：；(2)求的取值范围.2．（2024·江苏盐城·模拟预测）在中，已知角，，所对的边分别为，，，．(1)求角的大小；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．3．（2024·山西朔州·一模）已知的内角的对边分别为，向量，且．(1)求；(2)求的最小值．考点六、中线最值及范围问题1．（2024·四川·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足.(1)求；(2)若的面积为，为的中点，求的最小值.2．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且(1)求；(2)设为边的中点，，求线段长度的最大值.3．（2024·湖北·模拟预测）在中，已知，D为的中点.(1)求A；(2)当时，求的最大值.1．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______.(1)求；(2)若的面积为，为的中点，求的最小值.2．（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若边，边的中点为，求中线长的最大值.3．（2024·全国·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若是线段上靠近点的三等分点，，求的最大值．考点七、角平分线最值及范围问题1．（2023·浙江·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且.(1)求证：；(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，其中，，且．(1)求证：；(2)已知点在线段上，且，求的取值范围．1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知内角的对边分别为，．(1)求A；(2)A的平分线交于点，，求的最大值．2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值．3．（2023·河南·三模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．(1)求证：；(2)若的平分线交AC于D，且，求线段BD的长度的取值范围．考点八、高线最值及范围问题1．（2024·全国·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，，．(1)求角；(2)设是的高，求的最大值．2．（2023·贵州毕节·统考一模）已知的内角，，的对边分别为，，．若．(1)求角；(2)若，求边上的高的取值范围．1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心．(1)求；(2)记的角对应的边分别为，若，求边上的高长的最大值．2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角中，设边所对的角分别为，且．(1)求角的取值范围；(2)若，求中边上的高的取值范围．3．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形中，，．(1)求．(2)求边上的高的取值范围．考点九、其他线段类最值及范围问题1．（23-24高三下·河南周口·开学考试）在中，角的对边分别为．(1)求角；(2)若为边上一点，，求的最大值．2．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．(1)求；(2)若，连接，求的值．3．（23-24高一下·吉林白山·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．4．（2024·广东广州·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若D是边上一点（不包括端点），且，求的取值范围．1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知在中，，(1)求A；(2)若点D是边BC上一点，，△ABC的面积为，求AD的最小值.2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．(1)求的大小；(2)若，D是边AB上的一点，且，求线段CD的最大值．3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围.4．（2024·河北衡水·一模）在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且.(1)求角；(2)求的取值范围.考点十、外接圆及内切圆半径类最值及范围问题1．（2024·吉林·二模）已知的三个内角的对边分别为的外接圆半径为，且.(1)求;(2)求的内切圆半径的取值范围2．（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，的对边分别是，，，．(1)求角的大小；(2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值．2．1．（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若，求内切圆半径取值范围．2．（2024·全国·模拟预测）在“①；②；③”这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在中，角所对的边分别为，且______．(1)求角的大小；(2)若表示内切圆的半径，求的最大值．考点十一、角度类最值及范围问题1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在中，角、、所对的边长分别为，若成等比数列，则角的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2024·山东菏泽·二模）已知在中，的面积为．(1)求角的度数；(2)若是上的动点，且始终等于，记．当取到最小值时，求的值．1．（2023春·上海宝山·高一校考期中）如果的三边、、满足，则角的取值范围为．2．（2024·上海奉贤·三模）已知三角形的三个角对应的边分别为、、(1)求证：存在以为三边的三角形；(2)若以为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形的最小角．考点十二、正余弦类最值及范围问题1．（2024·全国·模拟预测）记的内角所对边分别为，已知．(1)证明：；(2)求的最小值．2．（2024·全国·模拟预测）记的内角的对边分别是，已知．(1)证明：；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．3．（2024·河北沧州·模拟预测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求C；(2)求的最大值．4．（2023·全国·模拟预测）已知的内角所对的边分别为．(1)求角的大小；(2)求的最小值．5．（23-24高三上·江苏南京·期中）在中，所对的边分别为，已知.(1)若，求的值；(2)若是锐角三角形，求的取值范围．1．（2024·陕西宝鸡·二模）中，为边的中点，.(1)若的面积为，且，求的值；(2)若，求的取值范围．2．（23-24高三上·山东枣庄·期末）在中，角所对的边分别为.若.(1)求；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.3．（2024·河南·一模）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求证：；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.73．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为．(1)判断的形状，并证明；(2)求的最小值．4．（2024·辽宁·一模）在中，内角所对的边分别为，满足.(1)求证：；(2)若为锐角三角形，求的最大值．5．（2024·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边分别为，其中，．(1)求角的大小；(2)如图，为外一点，，，求的最大值．考点十三、正切类最值及范围问题1．（2024·山东菏泽·模拟预测）在中，角所对的边分别为.已知(1)若，判断的形状；(2)若，求的最大值.1．（2024·云南·二模）中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是与的等差中项.(1)若，判断的形状;(2)若是锐角三角形，求的取值范围.考点十四、向量类最值及范围问题1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）周长为4的，若分别是的对边，且，则的取值范围为．2．（23-24高三上·北京·阶段练习）在中，．(1)求C；(2)若，求的最小值．3．（2024·湖南邵阳·一模）在中，内角满足.(1)求角的大小；(2)若，求的最大值.1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图在中，，满足.

(1)若，求的余弦值；(2)点是线段上一点，且满足，若的面积为，求的最小值.2．（2024·重庆·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角A的大小；(2)若，且，求AP的最小值．考点十五、参数类最值及范围问题1．（2023·陕西榆林·统考一模）的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形中，角所对的边分别为，，且．(1)求；(2)若，且，求实数的取值范围．1．（2023·全国·模拟预测）已知在中，角所对的边分别为，且.(1)求的值；(2)若，且，求实数的取值范围.2．（2023·湖北咸宁·模拟预测）在中，角所对的边分别为，满足，.(1)证明：外接圆的半径为；(2)若恒成立，求实数的取值范围.1．（2024·陕西宝鸡·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角A；(2)若的面积为1，求的最小值.2．（21-22高二下·山西·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角B；(2)若，，求的取值范围．3．（23-24高三上·河南·期中）在锐角中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若，求周长的最大值．4．（22-23高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知为锐角三角形，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.5．（2023·全国·模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，已知，且的面积.(1)求；(2)求的最小值.6．（2023·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．7．（2024·广西·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知.(1)证明：；(2)若，求周长的最大值.8．（2017·安徽淮北·模拟预测）在中，角A，B，C的对角分别为a，b，c且．(1)求；(2)若D为AC边的中点，且，求面积的最大值．9．（2023·四川绵阳·模拟预测）在斜三角形中，内角所对的边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的最小值．10．（23-24高三上·山东威海·期末）在中，角所对的边分别为记的面积为，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的最大值.1．（2024·青海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求B；(2)若，的面积为S．周长为L，求的最大值．2．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.(1)若，，求的大小；(2)若求四边形ABCD面积的最大值.3．（2024·河南·模拟预测）在中，角的对边分别为，且.

(1)求；(2)如图所示，为平面上一点，与构成一个四边形，且，若，求的最大值.4．（2024·重庆·三模）已知在数列中，．(1)求证：数列是等差数列，并求数