第03讲 平面向量基本定理及其拓展（爪子定理）（高阶拓展）（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第03讲平面向量基本定理及其拓展（“爪子定理”）（高阶拓展）（3类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙卷文数，第6题,5分用基底表示向量数量积的运算律数量积的坐标表示2022年新I卷，第3题,5分用基底表示向量无2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量4.会综合应用平面向量基本定理求解【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易理解，易得分，需重点复习。知识讲解1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．应用平面向量基本定理应注意的问题只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.形如条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线当，则与位于同侧，且位于与之间当，则与位于两侧时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上（2）已知在线段上，且，则3、中确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解考点一、基底的概念及辨析1．（2024高三·全国·专题练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（

）．A．， B．，C．， D．，2．（2024高三·全国·专题练习）如果是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（

）A．与 B．与C．与 D．与3．（2023高三·福建·阶段练习）下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（

）A．， B．，C．， D．，1．（2023·陕西西安·一模）设，下列向量中，可与向量组成基底的向量是（

）A． B．C． D．2．（2023高三·全国·专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和考点二、平面向量的基本定理综合1．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（

）A． B． C． D．2．（全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．3．（2024·陕西安康·模拟预测）在中，是的中点，与相交于点，则（

）A． B．C． D．1．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则A． B． C． D．2．（2024·山西吕梁·三模）已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（

）A． B．C． D．3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）在中，点是的中点，点分的比为与相交于，设，则向量（

）A． B． C． D．考点三、“爪子定理”的综合应用1．（全国·高考真题）设为所在平面内一点，且，则（）A.B.C.D.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A.B.C.D.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A.B.C.D.1．（2024·云南昆明·一模）在中，点满足，则（

）A． B．C． D．2．（2024·广东广州·一模）已知在中，点在边上，且，则（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在中，点在的延长线上，，如果，那么（

）

A． B．C． D．4．（2023·江苏苏州·模拟预测）（多选）在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（

）A． B． C． D．21．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和2．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形是平行四边形，，，记，，则（

）A． B．C． D．3．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，，记，则（

）A． B．C． D．4．（2024·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（

）A． B．C． D．5．（2024·全国·模拟预测）已知等边三角形的边长为2，为的中心，，垂足为，则（

）A． B． C． D．6．（2024·陕西安康·模拟预测）在梯形中，为线段的中点，，则（

）A． B． C． D．7．（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形中，为中点.为线段上靠近点的四等分点，设，，则（

）A． B．C． D．8．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形中，且满足，E为中点，F为线段上靠近点B的三等分点，设，，则（

）．A． B． C． D．9．（2024·广东汕头·三模）已知四边形是平行四边形，，，则（

）A． B．C． D．10．（2024·广东佛山·模拟预测）在中，，若，线段与交于点，则（

）A． B．C． D．一、单选题1．（2024·福建漳州·模拟预测）在中，是边上一点，且是的中点，记，则（

）A． B． C． D．2．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD，点P在的内部（不含边界），则下列选项中，可能的关系式为（

）A． B．C． D．3．（2023·湖南·一模）在中，点满足为重心，设，则可表示为（

）A． B．C． D．4．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形中，，，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．85．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形中，，，分别为上的点，，．若线段上存在一点，使得，则等于（

）A． B． C． D．6．（2024·河北衡水·模拟预测）在中，是的中点，直线分别与交于点，且，，则（

）A． B． C． D．7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在中，，过点的直线分别交直线、于点、，且，其中，，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题8．（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形中，是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题9．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在中，，点是的中点，点在边上，交于点，设，则；点是线段上的一个动点，则的最大值为．

10．（2024·天津·模拟预测）如图，在中，，，，D是边上一点，且.若，记，则；若点P满足与共线，，则的值为.1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（

）

A． B． C． D．2．（全国·高考真题）在中，，．若点满足，则（）A． B． C． D．3．（·全国·高考真题）在中，是边上一点.若，则的值为（

）A． B． C． D．4．（全国·高考