第01讲 导数的概念、运算及几何意义（学生版）-2025版高中数学一轮复习考点帮

Page第01讲导数的概念、运算及几何意义（8类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第13题,5分已知切线斜率求参数公切线问题直线的点斜式方程2024年新Ⅱ卷，第16题,15分求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究含参函数单调性根据极值求参数2022年新I卷，第10题,5分求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究函数的零点求已知函数的极值点2022年新I卷，第12题,5分函数与导函数图象之间的关系抽象函数的奇偶性函数对称性的应用2022年新I卷，第15题,5分求过一点的切线方程求某点处的导数值2022年新Ⅱ卷，第14题,5分求过一点的切线方程无2021年新I卷，第7题,5分求过一点的切线方程利用导数研究函数图象及性质2021年新Ⅱ卷，第16题,5分两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题直线的点斜式方程及辨析2020年新I卷，第21题,12分求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究不等式恒成立问题2020年新Ⅱ卷，第22题,12分求在曲线上一点处的切线方程利用导数研究不等式恒成立问题2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分左右【备考策略】1理解导数概念的实际背景，理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，了解导数的本质与思想,了解极限思想2能通过函数图象直观理解导数的几何意3能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数并.熟练使用导数公式表4能理解导数的几何意义并会求切线方程【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查在曲线上一点的切线方程或过一点的切线方程，需加强复习备考知识讲解函数在处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)。函数的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝limeq\o(,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.八大常用函数的求导公式（1）（为常数）（2），例：，，，（3）（4）（5）（6）（7）（8）导数的四则运算和的导数：差的导数：积的导数：（前导后不导前不导后导）商的导数：，复合函数的求导公式函数中，设（内函数），则（外函数）导数的几何意义导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即．直线的点斜式方程直线的点斜式方程：已知直线过点，斜率为，则直线的点斜式方程为：【注】曲线的切线的求法：若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为；（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标；第二步：写出过的切线方程为；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程，可得过点P(x0，y0)的切线方程．考点一、导数的计算1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．(5)(6)(7)(8)2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．2．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数．(1)(2)；(3)(4).3．（23-24高三上·山西临汾·阶段练习）求下列函数的导数：(1)(2)(3)(4)(5)(6)考点二、求曲线切线的斜率或倾斜角1．（全国·高考真题）曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（

）.A． B． C．2 D．12．（全国·高考真题）曲线在点处的切线的倾斜角为（

）A． B． C． D．1．（2024·上海嘉定·二模）已知曲线上有一点，则过点的切线的斜率为．2．（2024·福建厦门·一模）已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．考点三、求在曲线上一点的切线方程1．（2021·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为．2．（2023·全国·高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．1．（2024·全国·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．2．（2024·河北保定·三模）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北·模拟预测）写出函数的一条斜率为正的切线方程：．考点四、求过一点的切线方程1．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．2．（2024·贵州·模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程.1．（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（

）A．和 B．和C．和 D．和2．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条考点五、已知切线（斜率）求参数1．（全国·高考真题）曲线在点处的切线的斜率为，则．2．（2024·湖南长沙·二模）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．11．（2024·四川遂宁·三模）曲线在点处切线的斜率为3，则实数．2．（2024·浙江绍兴·二模）函数在点处的切线与直线平行，则（

）A． B． C． D．3．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，若曲线在处的切线方程为，则．考点六、两条切线平行、垂直问题1．（2021·全国·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是．2．（2023·四川凉山·一模）函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．1．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（山东·高考真题）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质．下列函数中具有性质的是A． B． C． D．3．（2024·河南·模拟预测）已知函数的图象经过两点，且的图象在处的切线互相垂直，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2024·河南·三模）已知函数点，在曲线上（在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为．考点七、公切线问题1．（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.2．（全国·高考真题）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．3．（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a=．2．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为.3．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．考点八、切线（方程）的综合应用1．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（

）A． B．C． D．3．（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（

）A． B． C． D．1．（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为（

）A． B．－2 C．－1 D．01．2．（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·重庆·模拟预测）已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．一、单选题1．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（）A． B． C．1 D．22．（2024·河北保定·三模）已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·模拟预测）若函数，点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（

）A．3 B． C．7 D．5．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（

）A．1 B． C． D．6．（2024·河南·模拟预测）函数与直线相切于点，则点的横坐标为（

）A． B．1 C．2 D．二、填空题7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为.8．（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为.9．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则的值为.10．（2024·四川·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则．一、单选题1．（2024·四川德阳·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（

）A． B．1 C． D．2．（2024·辽宁大连·一模）斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或3．（2024·重庆渝中·模拟预测）若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（

）A． B．1 C．3 D．或34．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若直线是曲线与曲线的公切线，则的方程为（

）A． B．C． D．5．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，若曲线与直线相切，则．7．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是．8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为.9．（2024·山东临沂·二模）若直线与曲线相切，则的取值范围为.10．（23-24高三上·江苏无锡·期末）已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为.1．（2020·全国·高考真题）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为.2．（2020·全国·高考真题）函数的图像在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．3．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是.4．（2019·天津·高考真题）曲线在点处的切线方程为