江苏省南通市海安市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024-205第一学期期中学业质量监测试卷高一数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知，则A.-1 B.1 C. D.3.已知函数，则A.0 B.1 C.2 D.44.命题“，”的否定为A.， B.， C.， D.，5.已知，，则“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.不充分不必要6.已知，则A. B. C. D.7.已知，，，则A. B. C. D.8.定义：表示，中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为A.1 B.2 C.3 D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.甲、乙、丙、丁四位同学均完成了1道选项为A，B，C，D的单选题，他们的对话如下：甲：我选的A；乙：我选的B；丙：我选的C；丁：我选的不是C.已知这四位同学选的选项各不相同，且只有一位同学说了谎，则说谎的同学可能是A.甲 B.乙 C.丙 D.丁10.已知函数，的定义域均为，下列结论正确的是A.若，均为增函数，则也为增函数B.若，均为减函数，则也为减函数C.若，均存在零点，则也存在零点D.若，均存在零点，则也存在零点注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值11.设，为正数，且，则A.的最小值是2 B.的最大值是C.的最大值是 D.的最大值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数的定义域为__________.13.已知，，则__________.（用，表示）14.已知，关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，，，则__________，的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知全集，集合，.（1）当时，求；（2）若，求的取值范围.16.（15分）已知，命题，，命题，.（1）若为真命题，求的最小值；（2）若和恰好一真一假，求的取值范围.17.（15分）已知，为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是，之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行.（1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间；（2）一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于，之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值.18.（17分）已知函数，.（1）是否存在，使得？请说明理由；（2）设函数，判断并证明在区间上的单调性；（3）设函数证明：，，且，.注：函数在上单调递增.19.（17分）我们知道，任何一个正实数都可以表示成.当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如.（1）求，，并写出的表达式（不必写出过程）；（2）若，且取，求，以及；（3）已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论.

金中、海安2024-205第一学期期中学业质量监测试卷高一数学答案1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】D【解析】4.【答案】A5.【答案】B【解析】或不一定等于06.【答案】C7.【答案】B【解析】，8.【答案】B【解析】先研究两函数图象如下：再根据Min的定义得到如下图象：故最大即，.二、9.【答案】AB【解析】如果甲说谎，则剩下三人可能如下情况满足题意：ABCD甲✓乙✓丙✓丁✓如果乙说谎，则剩下三人可能如下情况满足题意：ABCD甲✓乙✓丙✓丁✓如果丙说谎，则剩下三人可能如下情况满足题意，故不可能丙说谎ABCD甲✓乙✓丙丁✓如果丁说谎，则剩下三人可能如下情况满足题意，故不可能丁说谎ABCD甲✓乙✓丙✓丁10.【答案】AC【解析】，所以B错；，，所以D错；11.【答案】ACD【解析】因为，所以即为，因此有因为，所以，所以，代入题干条件即有，解得，当且仅当取等，故B错；此时由可知，即，即，当且仅当取等，故C对；由得，所以，设，则，当时取等，故D对.三、12.【答案】13.【答案】【解析】14.【答案】；【解析】由得，显然不满足题意.故时，可绘图如下：此时，，满足题意，即，而时，由已知可得必不存在满足题意.四、15.（13分）【解析】（1）当时，，（2）16.（15分）【解析】（1）因为，当且仅当取等，所以的最小值为3，故若为真命题，则，即，所以的最小值为-1；（2）若为真，则，即，（因为二次函数对称轴为，故只需考虑），①若真，假，则，即；②若真，假，则，即；综上所述，的取值范围是.17.（15分）【解析】（1）由到分为两段路程，第一段由到，距离为，所用时间为，第二段由到，距离为，所用时间为，故此人从海岛到用时为；（2）设两人相遇用时为小时，则由已知得，即，由得，所以为，即，即，即，即，因为，所以，当且仅当时取等，故的最大值为.18.（17分）【解析】（1），故即，解得，存在满足题意；（2）由已知得，则，，因为，所以，因此，，即，即，所以在上单调递减；（3）不妨设，且，，所以要证，即证，即证，即证，即证，设，，即证，即证在单调递减，在单调递增.，由（2）得时单调递减，因此只需证时单调递减.因为，所以时单调递减得证.，由本题的“注”可知时单调递增，因此只需证