第6章 图形的相似 综合测试

第6章图形的相似综合测试(满分100分，限时60分钟)一、选择题(每小题3分，共30分)1.下列线段中能成比例的是()A.3cm，5cm，7cm，9cm B.2cm，5cm，6cm，8cmC.3cm，6cm，9cm，18cm D.1cm，3cm，4cm，7cm2.若b是a和c的比例中项，则关于x的一元二次方程ax2-2bx+c=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法判断3.(2022江苏苏州工业园星海实验中学二模)《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CD=()A.2米 B.3米 C.12米 4.(2022山东济南莱芜期末)两个相似多边形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为()A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶165.(2018浙江杭州临安中考)如图，小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是() A B C D6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3，6)、B(-9，-3)，以原点O为位似中心，相似比为1∶3，把△ABO缩小，则点B的对应点B'的坐标是()A.(-3，-1) B.(-1，2) C.(-9，1)或(9，-1) D.(-3，-1)或(3，1)7.(2022广西百色中考)已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，相似比是1∶3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是()A.1∶3 B.1∶6 C.1∶9 D.3∶18.(2021山东淄博中考)如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上.已知AC=p，EF=r，DB=q，则p，q，r之间满足的数量关系式是()A.1r+1q=1p9.如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图像大致为() A B C D10.(2022江苏连云港中考)如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG.A.①②③ B.①③④ C.①④⑤ D.②③④二、填空题(每小题3分，共24分)11.(2023江苏无锡江阴青阳中学月考)下列说法中：①所有的等腰三角形都相似；②所有的正三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的圆都相似.其中说法正确的序号是.

12.(2021四川攀枝花中考)若x6=y4=z3(x，y，z13.(2022陕西中考)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上、下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE·AB.已知AB为2米，则线段BE的长为米.

14.(2022上海青浦期末)如图，点G为等边三角形ABC的重心，连接GA，如果AG=2，那么BC=.

15.(2022安徽合肥巢湖二模)如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点停止，动点E从C点出发到A点停止.点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是.

16.(2020山东潍坊中考)如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点.当PC+PD最小时，OP的长为.

17.(2021辽宁大连中考)如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，AF=EF，设BE=x，AF=y，当0<x<2时，y关于x的函数解析式为.

18.(2020江苏扬州中考)如图，在▱ABCD中，∠B=60°，AB=10，BC=8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC，EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为.三、解答题(共46分)19.(2021江苏淮安中考)(6分)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点A、B、C都在格点上(两条网格线的交点叫格点).请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹(不要求写画法).(1)将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1，画出△AB1C1；(2)连接CC1，△ACC1的面积为；

(3)在线段CC1上画一点D，使得△ACD的面积是△ACC1面积的1520.(2021广西玉林中考)(8分)如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB.(1)求证：△DFC∽△AED；(2)若CD=13AC，求S△21.(2021江苏盐城期末)(10分)如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛(E)恰好看到了镜中建筑物顶端A的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛(G)恰好又看到了建筑物顶端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度.(注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角)22.(2021江苏苏州中考)(10分)如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1=PG，PP2=PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q.已知AG∶GD=AE∶EB=1∶2，设AG=a，AE=b.(1)四边形EBHP的面积四边形GPFD的面积(填“>”“=”或“<”)；

(2)求证：△P1FQ∽△P2HQ；(3)设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求S1S23.(2021四川乐山中考)(12分)在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点(不与点B、C重合)，连接AD.(1)如图①，若∠C=60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AE，DE，则∠BDE=；

(2)若∠C=60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE.(i)在图②中补全图形；(ii)探究CD与BE的数量关系，并证明；(3)如图③，若ABBC=ADDE=k，且∠ADE=∠C.试探究BE、BD、AC

第6章图形的相似综合测试答案全解全析1.CA.∵3×9≠5×7，∴此选项不符合题意；B.∵2×8≠5×6，∴此选项不符合题意；C.∵3×18=6×9，∴此选项符合题意；D.∵1×7≠3×4，∴此选项不符合题意.故选C.2.B∵b是a和c的比例中项，∴b2=ac，∴Δ=(-2b)2-4ac=4(b2-ac)=0，∴该一元二次方程有两个相等的实数根.故选B.3.B由题意知AB∥CD，则∠BAE=∠C，∠B=∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD=AECE，∴1CD=4.D根据相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比是相似比的平方，可知它们的面积比为1∶16.故选D.5.B由正方形的性质可知，∠ACB=180°-45°=135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，易知BC=2，AC=2，选项B中三角形的边长分别为1，5和2，∵12=22，∴6.D∵以原点O为位似中心，相似比为1∶3，把△ABO缩小，∴点B(-9，-3)的对应点B'的坐标是(-3，-1)或(3，1).故选D.7.C∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，相似比是1∶3，∴△ABC与△A'B'C'的面积比是1∶9.故选C.8.C∵AC∥EF，∴EFAC=BFBC，∵EF∥DB，∴EFBD=CFBC，∴EFAC+9.A如图，设身高GE=h，CF=l，AF=a，当x≤a时，在△OEG和△OFC中，∠GOE=∠COF(公共角)，∠AEG=∠AFC=90°，∴△OEG∽△OFC，∴OEOF=GECF，∴yy+∵a、h、l都是固定的常数，∴自变量x的系数是固定值，∴这个函数图像肯定是一次函数图像，即是直线，影长将随着离灯光越来越近而越来越短，到灯下的时候，将是一个点，进而随着离灯光的越来越远而影长将越来越长.故选A.10.B由折叠性质可得DG=OG=AG，AE=OE=BE，OC=BC，∠DGF=∠FGO，∠AGE=∠OGE，∠AEG=∠OEG，∠OEC=∠BEC，∴∠FGE=∠FGO+∠OGE=90°，∠GEC=∠OEG+∠OEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°，∴GF∥CE，故①正确；设AD=2a，AB=2b，则DG=OG=AG=a，AE=OE=BE=b，∴CG=OG+OC=3a，在Rt△CGE中，CG2=GE2+CE2，∴(3a)2=a2+b2+b2+(2a)2，解得b=2a，∴AB=2AD，故②错误；设OF=DF=x，则CF=2b-x=22a-x，在Rt△COF中，x2+(2a)2=(22a-x)2，解得x=22a∴6DF=6×22a=在Rt△AGE中，GE=AG2∴GE=6DF，OC=22OF，故③④正确；无法证明∠FCO=∠GCE，∴无法判定△COF∽△CEG，故⑤错误.综上，正确的是①③④，故选B.11.答案②③⑤解析①所有的等腰三角形边不一定成比例，角不一定相等，故错误；②所有的正三角形都相似，正确；③所有的正方形都相似，正确；④所有的矩形边不一定成比例，故错误；⑤所有的圆都相似，正确.故答案为②③⑤.12.答案3解析设x6=y4=z3=k(k≠0)，则x=6k，y=4k，z13.答案(-1+5)解析设BE=x米，则AE=(2-x)米，∵BE2=AE·AB，∴x2=2(2-x)，即x2+2x-4=0，解得x1=-1+5，x2=-1-5(舍去)，∴线段BE的长为(-1+5)米.故答案为(-1+5).14.答案23解析延长AG交BC于H，如图，∵点G为等边三角形ABC的重心，∴BH=CH，AG=2GH，∴GH=12AG=1，∴AH=AG+GH=3，∵△ABC为等边三角形，AH为中线，∴AH⊥BC，∠B=60°，∴∠BAH=30°，∴AB=2BH，由勾股定理，得BH2+32=(2BH)2，∴BH=3(舍负)，∴BC=2BH=2315.答案3s或4.8s解析设运动ts时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD=tcm，CE=2tcm，∴AE=AC-CE=(12-2t)cm.①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC，∴AD∶AB=AE∶AC，∴t∶6=(12-2t)∶12，∴t=3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB，∴AD∶AC=AE∶AB，∴t∶12=(12-2t)∶6，∴t=4.8.故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3s或4.8s.16.答案3解析延长CO交☉O于点E，连接DE交OA于点P，连接PC(图略)，此时PC+PD最小.∵CD⊥OB，∠AOB=90°，∴CD∥AO，∴BCBO=CDAO，∴24=CD3，∴CD=32.∵CD∥AO，∴EO17.答案y=4+解析如图，过点F作FM⊥AE，垂足为M，∵AF=EF，∴AM=ME=12AE.在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=4+x2，∴AM=4+x22，在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠FAM=∠AEB，又∵∠B=∠AMF=90°，∴△ABE∽△FMA，∴AE18.答案93解析如图，作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B=60°，BC=8，∴BH=4，∴CH=43.∵四边形EFGC是平行四边形，∴EF=CG，EF∥CG.∴△EOD∽△GOC.∴EOGO=DOOC=DECG.∵DF=14DE，∴DEEF=45.∴DECG=45.∴EG的最小值是93.19.解析(1)△AB1C1如图所示.(2)由旋转知AC=AC1，∠CAC1=90°，∵AC=AC1=12+22=5，∴△ACC1(3)连接EF交CC1于D，连接AD.∵CF∥C1E，∴△CFD∽△C1ED，∴CDC1D=CFC1E=14，∴CD=1520.解析(1)证明：∵DF∥AB，DE∥BC，∴∠DFC=∠ABF，∠AED=∠ABF，∴∠DFC=∠AED，∵DE∥BC，∴∠DCF=∠ADE，∴△DFC∽△AED.(2)∵CD=13AC，∴CD∴S△21.解析设AB=xm，BC=ym，根据题意知，△ABC∽△EDC，△ABD∽△GFD，∴xy=1.62.4①，xy+2.4=1.62.52答：建筑物AB的高度为32m.22.解析(1)∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，∵GH∥AB，∴∠GHC=∠B=90°，∠PGD=∠A=90°，∵EF∥AD，∴∠HPF=∠PGD=90°，∴四边形PFCH为矩形，同理可得，四边形AGPE、四边形GDFP、四边形EPHB均为矩形，∵AG=a，AE=b，AG∶GD=AE∶EB=1∶2，∴PE=a，PG=b，GD=PF=2a，EB=PH=2b，∴四边形EBHP的面积=PE·PH=2ab，四边形GPFD的面积=PG·PF=2ab，∴四边形EBHP的面积=四边形GPFD的面积.(2)证明：由(1)知PE·PH=2ab，PG·PF=2ab，∵PP1=PG，PP2=PE，∴PP2·PH=PP1·PF，即PP又∵∠FPP2=∠HPP1，∴△PP2F∽△PP1H，∴∠PFP2=∠PHP1，∵∠P1QF=∠P2QH，∴△P1F