内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗民族职专实验高中2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题（解析版）

第1页/共1页科左中旗民族职专·实验高中2024-2025学年度上学期第二次月考数学试卷卷面分值：150分  考试时间：120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合B，根据集合表示的是属于但不属于的元素即可求解.【详解】，阴影部分表示属于但不属于的元素，故图中阴影部分的集合为.故选：C2.已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算法则和虚部的定义得到结果.【详解】由，，所以的虚部为.故选：C.3.命题“，”的否定是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】特称命题否定是全称命题，再将结论变为否定即可.【详解】，的否定是：，，故选：C.4.已知向量，，且，则（）A.0 B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】由向量共线的坐标运算求解.【详解】向量，，且，则有，解得.故选：D.5.已知，，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】比较三个数的大小关系通常采用“插值法”插入特殊值作为桥梁进行比较.【详解】由指数函数的性质知：，又因为为定义域内的减函数，所以，综上所述有.故选：A.6.已知事件A与事件互为对立事件，且，则（）A0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7【答案】C【解析】【分析】根据对立事件的概率之和为1求解即可.【详解】因为事件A与事件互为对立事件，所以，故选：C.7.如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则该圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设球的半径为，根据公式分别求出球的表面积和圆柱的表面积的表达式，求出两者比值即可.【详解】设球的半径为R，所以球的表面积.圆柱的表面积，所以该圆柱的表面积与球的表面积之比.故选：C.8.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在求得函数定义域上，根据函数的单调性和某区间的端点函数值异号即可判定.【详解】因函数的定义域为，且在上单调递增，由，根据零点存在定理该函数的零点所在的区间是.故选：A.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）9.设函数，则下列结论正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的一个零点为D.的最大值为1【答案】AC【解析】【分析】根据fx=A【详解】，故A正确；，所以不是对称轴，故B错误；，所以是一个零点，故C正确；因为振幅，所以的最大值为，故D错误.故选：AC.10.下列不等式，其中正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式和均值不等式可以判断AD，利用作差法判断BC，即可．【详解】对于A，由，则，故A正确，对于B，由，则,故B正确，对于C，由，则，故C正确，对于D，由均值不等式使用条件为正数，则当时,不等式就不成立，故D错误，故选：ABC．11.一个偶函数定义在上，它在上的图象如图所示，下列说法正确的是（）A这个函数有三个单调增区间B.这个函数有三个单调减区间C.这个函数在其定义域内有最大值是7D.这个函数在其定义域内有最小值是【答案】ABC【解析】【分析】由偶函数的对称性依次可判断单调性及最值.【详解】结合偶函数图象关于轴对称可知，这个函数在上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值，最小值是比−2小，故A，B，C正确，D错误.故选：.三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）12.若数列为首项为3，公比为2的等比数列，则_______．【答案】189【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列前项和公式计算即得.【详解】由数列为首项为3，公比为2的等比数列，得.故答案为：18913.已知，，则____________.【答案】【解析】【分析】利用同角的正弦余弦的平方和为1可求得，进而利用两角和的余弦公式即可求值.【详解】因为，，所以，所以.故答案为：.14.椭圆一个焦点为，离心率为，则椭圆的方程为____________.【答案】【解析】【分析】根据焦点确定焦点位置和，根据离心率公式即可求解，即可求解.【详解】根据焦点为，可得焦点在轴，且，又进而，故椭圆方程为，故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求角的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）结合余弦定理进行求解即可；（2）结合正弦定理进行求解即可.【小问1详解】由，则，又，则；【小问2详解】由（1）知，又，则由正弦定理知，，即.16.双曲线的左、右焦点分别为，（1）已知焦距为8，离心率为2，求双曲线标准方程，顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.（2）已知双曲线中，，且经过点，焦点在轴上，求该双曲线的标准方程．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】分析】（1）根据已知条件依次求出c，a，b，然后可得标准方程，再直接写出相关结果.（2）由双曲线方程，结合已知列式求出a，b即可.【小问1详解】由双曲线的焦距为8，得，由离心率为2，得，则，所以双曲线标准方程为：，该双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为.【小问2详解】依题意，，解得，所以所求双曲线的标准方程为．17.如图，在正四棱柱中，，，分别为的中点，为四边形的中心．（1）证明：∥平面．（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）由题意易得四边形为平行四边形，进而可证平面．（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值.【小问1详解】连接．因为为四边形的中心，所以为的中点．又为的中点，所以，因为为的中点，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，则．又平面，平面，所以平面．【小问2详解】在正四棱柱中，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以，则．设平面的法向量为，则令，得，即．连接．易知是平面的一个法向量，则．因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．18.抢“微信红包”已经成为人们欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x（元）如下（四舍五入取整数）：1025241121721625022158464313695192599922689879对这20个数据进行分组，各组的频数如下：组别红包金额分组频数A2B9CmD3En（1）写出m，n的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（2）从A，E两组数据中任取2个，求这2个数据差的绝对值大于100的概率；（3）记C组红包金额的平均数与方差分别为，E组红包金额的平均数与方差分别为，试分别比较与、与的大小．（只需写出结论）【答案】（1），，中位数落在组（2）（3），【解析】【分析】（1）根据已知数据确定m，n的值，由中位数定义确定其所在的组别；（2）应用列举法求A，E两组数据中任取2个数据差的绝对值大于100的概率；（3）利用平均数、方差公式求组、组的平均值和方差，比较大小即可.【小问1详解】由数据知：金额在之间共有；金额在之间共有；显然，金额在之间共有人，金额在之间共有人，所以，这20名同学抢到的红包金额的中位数落在组.【小问2详解】由数据知：组有，组有，所以，从、任取2个数据可能情况：、、、、、，6种；其中数据差的绝对值大于100的情况：、、、，4种；所以，所求概率求.【小问3详解】由数据知：组有，组有，所以，即，，.所以.19.已知函数，且．（1）求实数a的值及曲线在点处的切线方程；（2）当时，求f(x)的最大值．【答案】（1）；