人教版九年级上册数学期中考试试卷附答案

人教版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。（每小题只有一个正确答案）1．把一元二次方程2x=xA．2，3 B．−2,3 C．2,−3 D．−2,−32．下列方程中，两根之和为2的是（）A．B．C．D．3．下列图形中，为中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正八边形5．如下图，⊙中，半径弦，，则的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．一个数学兴趣小组的同学毕业时都将自己的照片向组内其他内容各送一张表示留念，共送出了306张照片，如果全组共有名同学，根据题意，可列出方程为（）A． B．C． D．7．直线被抛物线截得的线段长度为（）A．2 B．3 C．4 D．68．将二次函数的图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为（）A． B．C． D．9．已知二次函数的与的部分对应值如下表：…-1013……-3131…则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与轴的交点在轴负半轴上C．当时，D．方程的正根在3与4之间10．如下图，在中，，，，点是平面内的一个动点，且,为的中点，在点运动过程中，线段长度的取值范围是A．B．C．D．二、填空题11．已知点，点绕原点顺时针旋转后的对应点的坐标为________．12．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__________．13．如图，是绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是_______．14．如图，已知是四边形内一点，，，则的大小是__________．15．已知二次函数（）的图象与轴交于不同的两点，为二次函数图象的顶点．若是边长为4的等边三角形，则__________．16．如图，为⊙的直径，是⊙上的两点，过作于点，过作于点，为上的任意一点，若，，，则的最小值是__________．三、解答题17．解方程:（x+4）2＝5（x+4）18．在平面直角坐标系中，如图所示，已知，，，点在轴上，点在轴上，在中，点，在轴上，．，，．按下列要求画图（保留作图痕迹）：（1）将绕点按逆时针方向旋转90°得到（其中点的对应点为点，点的对应点为点），画出．（2）将沿轴向右平移得到（其中点，，的对应点分别为点，，），使得边与（1）中的的边重合．（3）求的长．19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．20．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,（1）求证：BE＝CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．21．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：x3000320035004000y100969080（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表:租出的车辆数未租出的车辆数租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．22．武汉市雾霾天气严重，环境治理已刻不容缓，武汉市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台，若供应商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量（台）与售价（元/台）之间的函数关系式．（2）当售价（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润（元）最大？最大利润是多少？（3）当售价（元/台）满足什么条件时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润（元）不低于70000元？23．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图②)，求证：EF2=ME2+NF2；(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变(如图③)，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系.24．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．（1）点C的坐标是，线段AD的长等于；（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．参考答案1．D【解析】先将2x=x2−3【详解】根据题意可将方程变形为x2−2x−3=0，则一次项系数为−2，常数项为【点睛】本题考查二次方程，解题的关键是掌握一次项系数及常数项的定义.2．C【分析】由根与系数的关系逐项判断各项方程的两根之和即可．【详解】解：在方程x2+2x-3=0中，两根之和等于-2，故A不符合题意；

在方程x2+2x+3=0中，△=22-4×1×3=-8＜0，则该方程无实数根，故B不符合题意；

在方程x2-2x-3=0中，两根之和等于2，故C符合题意；

在方程4x2-2x-3=0中，两根之和等于，故D不符合题意.

故选：C．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．3．C【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的概念．4．B【详解】选项A，正方形的最小旋转角度为90°，绕其中心旋转90°后，能和自身重合；选项B，正五边形的最小旋转角度为72°，绕其中心旋转72°后，能和自身重合；选项C，正六边形的最小旋转角度为60°，绕其中心旋转60°后，能和自身重合；选项D，正八边形的最小旋转角度为45°，绕其中心旋转45°后，能和自身重合.故选B．5．B【分析】先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得∠AOC=2∠BAC，然后把∠BAC=20°代入计算即可．【详解】解：∵半径OC⊥弦AB，∴，∴∠AOC=2∠BAC=2×20°=40°．

故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．6．A【分析】设全组共有x名同学，则每名同学送出（x-1）张照片，根据全班共送出了306张照片，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设全组共有x名同学，则每名同学送出（x-1）张照片，

依题意，得：x（x-1）=306．

故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．C【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长．【详解】解：令y=-x2+2x+6=3，

解得：x=-1或x=3，

故在直线y=3上截得的线段的长为3-（-1）=4，

故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系．8．D【分析】根据翻折前后图像对称的性质进而得出答案．【详解】解：将二次函数y=（x-1）2-4的图象沿直线y=1翻折，则顶点关于y=1对称，∵原顶点为（1，-4），且开口向上，∴翻折之后的顶点为（1，6），开口向下，∴所得图象的函数表达式为y=-（x-1）2+6，

故选：D．【点睛】本题考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，明确关于直线y=1翻折得到的图象与原图象关于直线y=1对称是解题的关键．9．D【分析】根据题意和表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图表可得，

该函数的对称轴是直线x=，有最大值，

∴抛物线开口向下，故选项A错误，

抛物线与y轴的交点为（0，1），故选项B错误，

x=-1和x=4时的函数值相等，则x=4时，y=-3＜0，故选项C错误，

x=3时，y=1，x=4时，y=-3，方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间，故选项D正确，

故选：D．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．10．B【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．【详解】解：作AB的中点E，连接EM、CE．

在直角△ABC中，AB=，∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，

∴CE=AB=5．

∵M是BD的中点，E是AB的中点，

∴ME=AD=，∴在△CEM中，5-≤CM≤+5，即≤CM≤.故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．11．【解析】【分析】根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，作出图形即可．【详解】如图所示，点A（3，2）绕坐标原点O顺时针旋转90°后的对应点A1的坐标为（2，-3）．

故答案为：（2，-3）．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，解题的关键是建立平面直角坐标系作出图形，利用数形结合的思想求解．12．且【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=42-4×m×2≥0，然后求出公共部分即可．【详解】解：根据题意得m≠0且△=42-4×m×2≥0，

解得m≤2且m≠0．

故答案为：m≤2且m≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．13．60°．【解析】试题分析：根据旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO，再求出∠BOC，∠ACO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，∴∠AOC=∠BOD=40°，AO=CO.∵∠AOD=90°，∴∠BOC=90°﹣40°×2=10°.∴∠ACO=∠A=（180°﹣∠AOC）=（180°﹣40°）=70°.∴由三角形的外角性质得，∠B=∠ACO﹣∠BOC=70°﹣10°=60°．考点：1.旋转的性质；2.等腰三角形的性质；3.三角形外角性质．.14．135°【分析】首先由OA=OB=OC，得出O是三角形ABC的外心，∠AOC=2∠ABC=150°，进而利用四边形内角和可得出答案．【详解】解：由AO=BO=CO可知：O是三角形ABC的外心，

∴∠ABC是圆周角，∠AOC是圆心角，

∴∠AOC=2∠ABC=150°，

又∵∠D=75°，

∴∠DAO+∠DCO=360°-150°-75°=135°．

故答案为：135°．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理以及圆周角定理，解决问题的关键是得出∠ABC是圆周角，∠AOC是圆心角，进而求出∠AOC=2∠ABC=150°是解决问题的关键．15．【分析】设点A、B的横坐标分别为m、n，利用根与系数的关系得：m+n=，mn=，根据AB=4=|m-n|，列式变形后得：b2-4ac=16a2，根据△ABC是边长为4的等边三角形，计算其高为，即二次函数顶点的纵坐标为，根据公式列式为，可得结论．【详解】解：设点A、B的横坐标分别为m、n，则m+n=，mn=，∵AB=4=|m-n|，

∴（m-n）2=16，

∴m2-2mn+n2=（m+n）2-4mn=（）2-4×=16，

∴b2-4ac=16a2，

∵△ABC是边长为4的等边三角形，

∴点C到AB的距离为，∵a＞0，

∴点C的纵坐标为，，∴4ac-b2=，∴16a2=，a=，故答案为：.【点睛】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点及顶点坐标，一元二次方程根与系数的关系，等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中．16．．【分析】先由MN=10求出⊙O的半径，再连接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的长，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=3，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，证出△AB′E是等腰直角三角形即可得出结果．【详解】解：∵MN=10，

∴⊙O的半径=5，

连接OA、OB，

在Rt△OBD中，OB=5，BD=3，

∴OD=，同理，在Rt△AOC中，OA=5，AC=4，

∴OC=，∴CD=4+3=7，

作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，

则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=3，

过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，如图所示：

则四边形CDB′E是矩形，

∴B′E=CD=7，CE=DB′=DB=3，

∵AE=AC+CE=4+3=7，B′E=CD=7，

∴△AB′E是等腰直角三角形，

∴AB′=AE=，故答案为：.【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握最小值的求法是解题的关键．17．x1=﹣4，x2=1．【解析】试题分析：先移项，再提取公因式（x+4）,把方程化为两个一元一次方程求解即可．试题解析：∵(＋4)2=5(＋4)．∴（x+4）2-5（x+4）=0(x+4)(x-1)=0即：x+4=0，x-1=0解得：x1=-4，x2=1．考点：解一元二次方程因式分解法．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）6【分析】（1）以点O为圆心，以OE为半径画弧，与y轴正半轴相交于点N，以OD为半径画弧，与x轴负半轴相交于点M，连接MN即可；（2）以M为圆心，以AC长为半径画弧与x轴负半轴相交于点A'，B'与N重合，C'与M重合，然后顺次连接即可；（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A'B'于点F，判断出B'C'平分∠A'B'O，再根据全等三角形的性质可得B'F=B'O=OE=x，FC'=OC'=OD=3，利用勾股定理列式求出A'F，然后表示出A'B'、A'O．在Rt△A'B'O中，利用勾股定理列出方程求解即可．【详解】（1）△OMN如图所示；（2）△A'B'C'如图所示；（3）设OE=x，则ON=x，作MF⊥A'B'于点F，由作图可知：B'C'平分∠A'B'O，且C'O⊥OB'，∴∠B'FM=∠MON=90°，∠FB'M=∠OB'M．∵B'M=B'M，∴△FB'M≌△OB'M，∴B'F=B'O=OE=x，FC'=OC'=OD=3．∵A'C'=AC=5，∴A'F4，∴A'B'=x+4，A'O=5+3=8，在Rt△A'B'O中，x2+82=(4+x)2，解得：x=6，即OE=6．【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，平移变换作图，勾股定理，熟练掌握旋转变换与平移变换的性质是解答本题的关键．19．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由OD⊥ACOD为半径，根据垂径定理，即可得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．【详解】（1）∵OD⊥ACOD为半径，∴，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC；（2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°﹣∠OEA﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=AB，∵OD=AB，∴BC=OD．20．（1）证明见解析（2）-1【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．【详解】（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，在△ACF和△ABE中，△ACF≌△ABEBE=CF.（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质．21．（1）y与x间的函数关系是．（2）填表见解析；（3）当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元【解析】【分析】（1）判断出y与x的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式．（2）根据题意可用代数式求出出租车的辆数和未出租车的辆数即可．（3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司最大月收益．【详解】解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为，将（3000，100），（3200，96）代入得，解得：．∴．将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合．∴y与x间的函数关系是．（2）填表如下：租出的车辆数未租出的车辆数租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：当x=4050时，Wmax=307050，∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元22．（1）；（2）当售价为330元/台时，月利润最大为71500元；（3）时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润不低于70000元．【分析】（1）根据销售量=原来的销售量+降价后的销售量就可以表示出y与x之间的关系式；

（2）由总利润=每台的利润×数量就可以得出W与x直接的关系式，由二次函数的性质就可以得出结论；

（3）当W=70000时，代入（2）的解析式求出x的值，由二次函数的而现在就可以求出结论．【详解】解：（1）由题意，得，．答：与之间的函数关系式为：；（2）由题意，得：，，∵售价不低于330元/台，∴∵数量不低于450元，∴，，，∴，∵，∴在对称轴的右侧随的增大而减小，∴时，最大=71500．答：当售价为330元/台时，月利润最大为71500元．（3）由题意，得，解得：，，∴，∵，∴时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润不低于70000元.【点睛】本题考查了利润率问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=2DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．试题解析：（1）∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，AG=AF∠GAE=FAE=∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=2DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=2BM=2DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2．如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△A