27.6 正多边形与圆 同步练习

27.6正多边形与圆一、单选题1．下列图形为正多边形的是（）A． B． C． D．2．正十边形的中心角是（

）A．18° B．36° C．72° D．144°3．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（

）A．7 B．8 C．9 D．104．正六边形的边长与边心距的比是（

）A． B．1：2 C． D．5．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）A．6 B．12 C．12 D．246．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形的边数是（

）A．10 B．9 C．8 D．67．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（）

A．16 B．12 C．8 D．68．如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，AF是的直径，则的度数是（

）A．36° B．72° C．54° D．60°9．如图，在正六边形中，点是边的中点，是边上任意一点，若正六边形的面积是，则的值是（

）A． B．C． D．由于点的位置不确定，所以的值不确定10．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（

）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍二、填空题11．正九边形一个内角的度数为．12．如果正六边形的边心距为3，那么它的半径是．13．如图，在的内接正六边形中，°．14．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠GBF=度．15．如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=．16．如图，六边形是的内接正六边形，记的周长为，正六边形的周长为，则的值为．17．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径的长为1，如果用它的面积来近似估计的面积，那么的面积约是．18．六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积．三、解答题19．正六边形的半径为4．求这个正六边形的周长和面积．20．如图，正六边形内接于，半径为．

(1)求的长度；(2)若G为的中点，连接，求的长度．21．如图，已知．

(1)用尺规作图作的内接正六边形（不写作法、保留作图痕迹）；(2)若的半径为2，求所作正六边形的面积．22．在图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．

23．如图，已知、、是的内接正十边形的边，连接、、，求证：．

24．如图，正方形内接于，为的中点．

(1)作等边三角形，使点，分别在和上（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）．(2)在（1）的条件下，求的度数；(3)若正方形的边长为4，求（1）中等边三角形的边长．25．在下列正多边形中，是中心，定义：为相应正多边形的基本三角形．如图1，是正三角形的基本三角形；如图2，是正方形的基本三角形；如图3，为正边形…的基本三角形．将基本绕点逆时针旋转角度得．（1）若线段与线段相交点，则：图1中的取值范围是________；图3中的取值范围是________；（2）在图1中，求证（3）在图2中，正方形边长为4，，边上的一点旋转后的对应点为，若有最小值时，求出该最小值及此时的长度；（4）如图3，当时，直接写出的值．

27.6正多边形与圆一、单选题1．下列图形为正多边形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．【解析】根据正多边形的定义，得到D中图形是正五边形．故选D．【点睛】本题考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．2．正十边形的中心角是（

）A．18° B．36° C．72° D．144°【答案】B【分析】正多边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为360°除以正多边形的边数．【解析】正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°故选：B【点睛】本题考查了求正多边形中心角，这时要清楚正多边形的中心角都相等且它们的和组成一个周角．3．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根据正多边形的中心角和为360°计算即可．【解析】解：，故选：D．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角的和是360°是解题的关键．4．正六边形的边长与边心距的比是（

）A． B．1：2 C． D．【答案】C【分析】本题主要考查正多边形边长的计算问题，熟练掌握多边形转化为解直角三角形是解题关键．可设正六边形的边长为2，欲求边长、边心距之比，可通过作图形，构造直角三角形，解直角三角形即可得出．【解析】解：如图所示，设边长多边形为正六边形，，在中，，，即边长与边心距之比.故选：C5．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，已知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（）A．6 B．12 C．12 D．24【答案】C【分析】如图，先求解正六边形的中心角，再证明是等边三角形，从而可得答案．【解析】解：如图，为正六边形的中心，为正六边形的半径，为等边三角形，正六边形ABCDEF的周长为故选：【点睛】本题考查的是正多边形与圆，正多边形的半径，中心角，周长，掌握以上知识是解题的关键．6．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形的边数是（

）A．10 B．9 C．8 D．6【答案】B【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．【解析】解：设这个多边形的边数是，由题意得，，解得，，∴这个正多边形的边数是9，故选：B．【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．7．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（）

A．16 B．12 C．8 D．6【答案】C【分析】利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，即可得出答案．【解析】解：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，∵△BCD的面积为4，∴△BCF的面积为：8．故选C．【点睛】此题考查的是正多边形和圆的题目，利用正六边形的性质，得出△BCD与△BCF高的比是解题关键．8．如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，AF是的直径，则的度数是（

）A．36° B．72° C．54° D．60°【答案】C【分析】利用正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．【解析】解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴，，∠BAE＝108°，∴，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，故选：C．【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，在正六边形中，点是边的中点，是边上任意一点，若正六边形的面积是，则的值是（

）A． B．C． D．由于点的位置不确定，所以的值不确定【答案】A【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积，根据正六边形的性质，得出，即可求解，掌握正六边形的性质是解题的关键．【解析】解：如图，连接，过点作交于点，交于点，连接，则，∵，，，∴，∵，∴，故选：．10．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（

）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC判断出△ABC的形状及∠2的度数，求出AB的长，进而可得出，经过2020次后，即可得出所得到的正六边形的边长．【解析】∵此六边形是正六边形，

∴∠1=180°-120°=60°，∵AD=CD=BC，∴△BCD为等边三角形，∴BD=AC，∴△ABC是直角三角形又∵BC=AC，∴∠2=30°，∴AB=BC=CD，同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的倍，，∴经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的倍．【点睛】本题考查了正多边形和圆，正多边形内角的性质，直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等，能总结出规律是解此题的关键．二、填空题11．正九边形一个内角的度数为．【答案】140°【分析】正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于减去一个外角，求出外角即可求解．【解析】正多边形的每个外角（为边数），所以正九边形的一个外角正九边形一个内角的度数为故答案为：140°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键．12．如果正六边形的边心距为3，那么它的半径是．【答案】【分析】连接，作于，由正六边形的性质得出，，得出，由勾股定理求出，得出即可．【解析】解：如图所示：

连接、，作于，则，，，∴，∴设，则，由勾股定理可得，，解得：，∴，即它的半径为，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正六边形的性质，运用勾股定理求出是解决问题的关键．13．如图，在的内接正六边形中，°．【答案】【分析】首先求出正六边形的内角和，然后根据正六边形每个内角都相等即可求出的度数．【解析】解：∵多边形是正六边形，∴正六边形的内角和为，∴正六边形的每个内角度数为．∴．故答案为：．【点睛】此题考查了正六边形的内角度数，解题的关键是熟知多边形内角和公式．多边形内角和=．14．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠GBF=度．【答案】22.5°【分析】正八边形内接于圆，可求得GF所对的圆心角为45°，进而可求得GF所对的圆周角的度数．【解析】解：∵多边形为正八边形∴正八边形ABCDEFGH内接于圆∴GF所对的圆心角为45°∴GF所对的圆周角∠GBF为22.5°故答案为：22.5°．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，同弧所对的圆周角与圆心角的关系，解题的关键是掌握正多边形与圆的关系．15．如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n=．【答案】12【分析】连接OA、OB、OC，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O的内接正方形与内接正三角形的中心角得到∠AOC=90°，∠AOB=120°，则∠BOC=30°，然后计算即可得到n的值．【解析】解：连接OA、OB、OC，如图，∵AC，AB分别为⊙O的内接正方形与内接正三角形的一边，∴∠AOC==90°，∠AOB==120°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°，∴n==12，即BC恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故答案为：12．【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．16．如图，六边形是的内接正六边形，记的周长为，正六边形的周长为，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查了正六边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，设正六边形的边长为a，利用含角的直角三角形的性质求出，从而得出的长，进而解决问题．【解析】解：设正六边形的边长为a，连接，交于H，如下图：∵六边形是的内接正六边形，∴，，，∴∴，∴∴，由正六边形的性质知，是等边三角形，∴，故答案为：．17．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径的长为1，如果用它的面积来近似估计的面积，那么的面积约是．【答案】【分析】设为正十二边形的边，连接，过作于，由正十二边形的性质得出，由直角三角形的性质得出，求出的面积，即可得出答案．【解析】解：设为正十二边形的边，连接，过作于，如图所示：，的面积正十二边形的面积，的面积正十二边形的面积，故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正十二边形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握正十二边形的性质是解题的关键．18．六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积．【答案】．【分析】由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．【解析】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六边形ABCDEF中，∵直角三角板的最短边为1，∴正六边形ABCDEF为1，∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，∵∠ABC=∠CDE=∠EFA=120︒，AB=BC=CD=DE=EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE=∠FEA=30︒，∴BG=DI=FH=，∴由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=，∴AC=AE=CE=，∴由勾股定理得：AI=，∴S=，故答案为：．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．三、解答题19．正六边形的半径为4．求这个正六边形的周长和面积．【答案】这个正六边形的周长为24，面积为．【分析】先由正多边形的性质求出，然后证明出是等边三角形，过点O作交于点M，利用垂径定理得到，根据勾股定理得到，从而求出的面积，然后根据正六边形的面积等于的面积的6倍可求出正六边形的面积，根据正六边形的周长即可求出正六边形的周长．【解析】如图，由题意得：，又∵，∴是等边三角形，过点O作交于点M，∴，∴，∴，∴正六边形的面积，∴正六边形的周长．【点睛】本题考查正多边形和圆及垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明出是等边三角形．20．如图，正六边形内接于，半径为．

(1)求的长度；(2)若G为的中点，连接，求的长度．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解．（2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解．【解析】（1）解：连接，，如图：

六边形是正六边形，，又，是的半径，且半径为，，是等边三角形，．（2）连接，，如图：

则为的直径，，，由（1）得：，在中，，，G为的中点，，在中，，．【点睛】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键．21．如图，已知．

(1)用尺规作图作的内接正六边形（不写作法、保留作图痕迹）；(2)若的半径为2，求所作正六边形的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）在上任取一点A，然后过点A画的直径，以点A为圆心，圆的半径为半径依次在圆上画出交点，则六边形满足条件；（2）连接、，过O点作于G点，则，利用正六边形的性质得到，则可判断为等边三角形，接着计算出的面积，然后把的面积乘以6得到正六边形的面积．【解析】（1）解：正六边形如图所示：

（2）连接，过点作，垂足为，则，．正六边形的面积．【点睛】本题主要考查了圆和内接多边形，首先确定六边形的度数或边长关系，再结合圆的度数作图，利用内接六边形的小三角形为正三角形是解题的关键．22．在图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．

【答案】见解析【分析】根据圆内接正多边形的性质分别画出圆内接正方形、正八边形、正六边形及正三角形即可．【解析】解：如图所示：

【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的关系，熟知圆内接正多边形的性质是解答本题的关键．23．如图，已知、、是的内接正十边形的边，连接、、，求证：．

【答案】见解析【分析】利用正十边形的性质，圆心角与圆周角关系定理，同旁内角互补，两直线平行证明．【解析】证明：如图，连接，，、、为的内接正十边形的边，

，，．，，．，．【点睛】本题考查了正十边形的性质，圆心角与圆周角关系定理，同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握正十边形的性质，圆心角与圆周角关系定理，是解题的关键．24．如图，正方形内接于，为的中点．

(1)作等边三角形，使点，分别在和上（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）．(2)在（1）的条件下，求的度数；(3)若正方形的边长为4，求（1）中等边三角形的边长．【答案】(1)见解析(2)；(3)等边三角形的边长为．【分析】（1）如图所示，连接并延长交于，以为圆心，为半径画圆，交于点，，点，即为所求；（2）利用等边三角形的性质及圆周角定理求得，，据此即可求解；（3）如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据勾股定理计算半径的长，再利用勾股定理求的长，可得等边三角形的边长．【解析】（1）解：如图所示，连接并延长交于，以为圆心，为半径画圆，交于点，，点，即为所求，即得到等边三角形．

（2）解：连接，∵是等边三角形，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，∴；（3）解：如图，连接，过O作于N，

∵，∴，中，，∴，中，，，∴，∴，∴，∴等边三角形的边长为．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：作等边三角形，圆内接三角形，还考查了正方形和等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．25．在下列正多边形中，是中心，定义：为相应正多边形的基本三角形．如图1，是正三角形的基本三角形；如图2，是正方形的基本三角形；如图3，为正边形…的基本三角形．将基本绕点逆时针