高等应用数学基础课件：函数的微分

函数的导数教学要求:理解导数概念，会求曲线的切线和法线方程熟记导数(微分)基本公式,熟练掌握导数(微分)的四则运算法则、复合函数的求导法则;掌握隐函数的法,及会求参数表示的函数的一阶导数会用拉格朗日定理证明简单的不等式,掌握用洛比塔法则,会用一阶导数求函数单调区间与极值,会用二阶导数求曲线凹凸区间与拐点,能求解一些简单的实际问题中的最大值和最小值,会求经济函数的边际值和边际函数,会求需求弹性．曲线的切线左导数右导数函数在某一点处可导导函数函数f(x)=|x|在x=0处连续但不可导基本公式导数的概念一个公式的推导求导后

函

数

符

号改变求导后

函

数

符

号不变“余”带“-”导数的基本公式和、差、积、商求导法复合函数求导法隐函数求导法：如函数对数求导法：如函数关键是正确分解复合函数求导法则课堂例题1（求导数）课堂例题2（求导数）课堂例题3（求导数）课堂例题4（求导数）求函数的导数1、设函数求2、求曲线在点处切线的斜率。3、计算下列极限例题1-3（求导数），求4、设5、设，求6、设，求7、设，求8、设，求10、设，求11、设，求9、设，求是由方程12、设所确定的函数，求例题4-12（求导数）13、选择适当的函数填在下列空白处例题13（求原函数）14、求下列微分dx例题14（求微分）求下列导数或微分练习题（求导数或微分）平行切线簇能否用一符号表示？思考题（不定积分引子）费尔马引理罗尔定理拉格朗日

中值定理推广f(x)在[a,b]上连续

f(x)在(a,b)内可微中值定理（图示）两个推论：设函数f(x)在(a,b)内可导,且f

(x)

0,则f(x)

C。设函数f(x)和g(x)在(a,b)内可导,且f

(x)=g

(x),则f(x)=g(x)+C。应用：证明：导数为常数的函数必是线性函数。证明：当x>0时，ln(1+x)<x.两个推论洛必塔（L’Hospital

）法则注意

型洛必塔法则课堂例题求下列极限可以不用洛必塔法则不能用洛必塔法则例题（用洛必塔求极限）解1-3（用洛必塔求极限）课堂例题（用洛必塔求极限）若函数f(x)在0处有1~n阶导数，则泰勒公式若函数f(x)在0处有1~

阶导数，则泰勒级数泰勒公式与泰勒级数当x=a时数项级数一般地前n项的和几何级数性质IIP5数项级数级数求和几何级数函数在驻点和导数不存在的点处可能取得极值！函数的导数大于零，函数增加！

函数的导数小于零，函数减少！单调性和极值设函数f(x)在区间(a,x0)、(x0,b)内可导，且或，则极小值极大值判别法例求函数的单调区间和极值。解：第1步，求一阶导数找驻点或导数不存在的点第2步，列表讨论x(-

,0)0(0,2/5)2/5(2/5,+)y´+不存在-0+y

极大f(0)

极小f(2/5)

第3步，结论：函数在区间（-

,0)、(2/5,+)内增加，在(0,2/5)内减少，极大值为f(0)=0,极小值为f(2/5)例题拐点拐点拐点

函数的二阶导数为0或二阶导数不存在的点可能是拐点！曲线的凹凸性和拐点设函数f(x)在区间(a,x0)、(x0,b)内可导，且或，则拐点

拐点判别法例求曲线的凹凸区间和拐点。解：第1步，找二阶导数为0或二阶导数不存在的点第2步，列表讨论x(-

,4)4(4,+)y"+不存在-y

（4,2)拐点

第3步，结论：曲线的凹区间为