《信号与系统》课件第3章

第3章连续信号与系统的频域分析

3.1证明题图3.1所示矩形函数f(t)与｛cosnt|n为整数｝在区间(0,2π)上正交。

证因为

所以f(t)与｛cosnt|n为整数｝在区间(0,2π)上正交。题图3.1

3.2设f(t)的正交展开式为

试证明f(t)和｛c0,c1,c2,…,cn｝是一一对应关系。

证因为而{gi(t)}为正交函数集,故有即

故f(t)与{c0,

c1,

…,

cN}一一对应。

3.3设

试问函数组｛ξ1(t),ξ2(t),ξ3(t),ξ4(t)｝在(0，4)区间上是否

为正交函数组，是否为归一化正交函数组，是否为完备正交函数组，并用它们的线性组合精确地表示题图

3.2所示函数f(t)。题图3.2

解据ξi(t)的定义式可知ξ1(t)、ξ2(t)、ξ3(t)、ξ4(t)的波形如题解图3.3-1所示。题解图3.3-1不难得到：

可知在(0,4)区间ξi(t)为归一化正交函数集,从而有

3.5试求题图3.3所示信号的三角型傅里叶级数展开式，并画出频谱图。题图3.3

解

(a)因为所以

3.6试求题图3.4所示周期信号的指数型傅里叶级数系数Fn，并画出其幅度谱。题图3.4

解

(a)

3.10设有一周期信号f(t)，其基波频率为ω0=2π，且f(t)的指数型傅里叶级数为

这里，F0=1,

F±1=1/4,

F±2=1/2,

F±3=1/3。试写出f(t)的三角型傅里叶级数表达式。所以

3.11求题图3.6所示信号的傅里叶变换。题图3.6

解

3.12求题图3.7所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅里叶

变换。题图3.7所以

故原式得证。

3.16已知题图3.8所示信号f1(t)的频谱函数为F1(jω)=

R(ω)+jX(ω),式中R(ω)、X(ω)均为ω的实函数，试求f2(t)的频谱函数F2(jω)。题图3.8

解参见题解图3.16。已知题解图3.16

3.17据傅里叶变换的定义及性质，利用三种以上的方法计算题图3.9所示各信号的傅里叶变换。题图3.9

解(a)方法1,按定义求。

方法2,利用时域积分性质。

f1(t)的一阶、二阶导数如题解图3.17-1所示。题解图3.17-1方法3,利用时域卷积性质。

f1(t)可以看做题解图3.17-2所示f2(t)与f2(t)的卷积，则有

而

故

(b)方法1,按定义求。

而

故方法2,利用时域积分性质。

f1(t)的导数如题解图3.17-3所示。题解图3.17-3故

3.18求题图3.10(a)、(b)所示F(jω)的傅里叶逆变换f(t)。题图3.10题解图3.19-1

(4)Sgn(t)·g2(t)的波形如题解图3.19-2所示,即

又

故题解图3.19-2

3.20求下列函数的傅里叶逆变换f(t):

解

(1)因为

所以

(2)因为

所以

故所以

故

3.22已知一系统由两个相同的子系统级联构成，子系统的冲激响应为

激励信号为f(t)。试证明系统的响应y(t)=－f(t)。

证因为

所以

即系统函数

故

因此

3.23设f(t)的傅里叶变换为F(jω)，且

试在K≥ωm条件下化简下式：又因为F(jω)=0,

|ω|≥ωm,且K≥ωm,故

即所以

(d)因为

所以

3.25(略)

3.26对下列信号求奈奎斯特间隔和频率：

(1)Sa(100t)；

(2)Sa2(100t);

(3)Sa(100t)+Sa(50t);

(4)Sa(100t)+Sa2(60t)。

解

(1)因为

所以

(2)对Sa2(100t),有

故

(3)ωm=100rad/s,故

(4)ωm=120rad/s,故

3.27已知一线性时不变系统的方程为

求其系统函数H(jω)和冲激响应h(t)。

解由系统方程可得

故

3.28已知：

试用傅里叶变换法求f(t)*h(t)。

解

而

故而

同理,有

因此

3.29如题图3.11所示系统，其中：

试求整个系统的冲激响应h(t)。题图3.11

解

其中

因此

H2(jω)的波形如题解图3.29-1所示。而题解图

3.29-1

H(jω)的波形如题解图3.29-2(a)所示，而H(jω)可表示为

Ha(jω)与Hb(jω)之和,

Ha(jω)和Hb(jω)的波形如题解图3.29-2(b)、(c)所示。

由于

故题解图

3.29-2

3.30已知f(t)=Sa(ωct)，s(t)=cosω0t，且ω0>>ωc,求题图3.12(a)所示系统的输出y(t)。

解因为

所以题图3.12从而有

而从而有

故

3.31已知系统如题图3.13所示，其中：

f(t)=8cos100t·cos500t,

s(t)=cos500t

理想低通滤波器的系统函数H(jω)=ε(ω+120)－ε(ω－120)，试求系统响应y(t)。题图3.13

解

故

3.32已知系统的传输函数如题图3.14所示，若输入

，试求响应yzs(t)。题图3.14

解

因此因为

所以

即

故

3.34一个因果线性时不变滤波器的系统函数是H(jω)=

－2jω,求系统对下列信号f(t)的响应y(t)：

3.35(略)

3.36如题图3.16所示电路，在电流源is(t)激励下得到输出电压uo(t)。求网络传输函数H(jω)；要使uo(t)与is(t)的波形无失真，确定R1和R2的值。题图

3.16

解根据网络的激励和响应，写出网络传输函数为

代入L、C数值整理得依照网络无失真传输条件，传输函数应满足:

式中,K、td均为常数，则要求

解得R1=R2=1Ω。故当电阻R1