重庆市南开中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

重庆南开中学高2027届高一（上）期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合的关系判断A、B；根据集合的性质判断C；根据集合之间的关系判断D；【详解】A选项，不是整数，所以，A选项错误；B选项，是无理数，所以，B选项错误；C选项，集合元素的无序性，所以C选项正确；D选项，是点集，是数集，两者没有包含关系，故D错误.故选：C2.命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】命题“，”的否定为“，”，故选：B.3.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得，解得且.故选：C.4.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数奇偶性及具体点函数值即可判断.【详解】，定义域为，故函数是偶函数，排除选项A；又，排除C,D,故选：B.5.设，，若，则的最小值为（）A.8 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【详解】因为，，，则，当且仅当，即，时取等，所以的最小值为8.故选：A.6.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由解析式直接确定函数单调性，即可求解.【详解】由得定义域为；因为单调递增，单调递减，所以单调递增；当，，当时，，所以函数的值域为，故选：C.7.已知函数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，，解方程即可.【详解】因①，用代替①中的得：②，则得：，解得.故选：D.8.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分段函数在定义域上单调递减，则函数各段均单调递减，且左边函数的右端点值大于左边函数左端点值，建立不等式组，解得范围.【详解】由题可知，解得，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.下列命题正确的有（）A.与是同一个函数B.是偶函数C.是单调递减函数D.的单调递增区间为【答案】ABD【解析】【分析】对于A：根据函数相等分析判断；对于B：根据偶函数的定义分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复合函数单调性分析判断.【详解】对于选项A：定义域均为，且化简后解析式均为，所以是同一个函数，故A选项正确；对于选项B，由，解得，可知函数的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，故B选项正确；对于选项C，因为，所以不是单调递减函数，故C选项错误；对于选项D，由，解得，可知函数的定义域为，因为开口向下且对称轴为，所以函数的单调递增区间为，故D选项正确.故选：ABD.10.已知实数，，且满足，则（）A.的最小值为9 B.的最小值为7C.的最大值为18 D.的最小值为1【答案】AD【解析】【分析】由基本不等式可判断A、B是否正确；由可判断C；由可得，再由基本不等式化简计算，可判断D.【详解】对于A：因为，所以，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为9，故A正确；对于B：，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故B不正确；对于C：因为，由选项A可知，，所以，当且仅当时取等，所以有最小值18，C不正确；对于D：由可得，，所以，当且仅当即时取等号，所以D正确.故选：AD.11.已知函数的定义域为.且满足，当时，，，则下列结论正确的有（）A.是奇函数 B.在上单调递增C. D.不等式的解集为【答案】BCD【解析】【分析】令，求得的值，再令得到；由函数单调性的定义法判断函数的单调性；令，得到，由此递推出；由题中等量关系化简不等式得，由函数单调性列出不等式，解的解集.【详解】选项A，令，则，则；令，则，所以，所以不是奇函数，A选项错误；选项B，，，且，因为，所以；又因为当时，，所以fx1−x2故在R上的单调递增，B选项正确；选项C，令，则有，所以，，，…，，将以上式子相加可得：，C选项正确；选项D，因为，所以原不等式可化为；由选项C可知，所以原不等式可化为；因为在R上单调递增，所以，解得，D选项正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.12.已知数集，，若，则________.【答案】1【解析】【分析】根据题意分两种情况讨论即可.【详解】易知，所以或，若，即，此时，，符合题意；若，此时，，，舍；综上，.故答案为：113.已知“函数y=fx的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”，根据这个结论，若函数图象的对称中心是，则______.【答案】【解析】【分析】根据充要条件可得是奇函数，根据奇函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，是奇函数，即是奇函数；，由，解得.故答案为：14.已知关于不等式在区间有解，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】分离参数，然后将不等式有解转化为最值问题即可.【详解】法一：原不等式可化为，因为不等式在有解，所以；令，则；令，易知在1,2单调递减，在单调递增，，所以.法二：令，则即可；由二次函数在闭区间上的最值可知，，所以或，解得或，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，集合，其中.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式得集合，根据集合的并集运算即可；（2）根据交集的定义即可列不等式求解.【小问1详解】对于集合，由可得，所以；当时，，所以.【小问2详解】因为，所以，因为，所以或，解得或，故实数的取值范围为16.近日，重庆市第七届运动会田径比赛在合川体育中心落下帷幕，重庆南开中学田径队奋勇争先、顽强拼搏，经过个单元的激烈比拼，创造了金银铜的佳绩，累计打破项赛会纪录.好成绩离不开平时的刻苦训练.根据相关研究，某一体能训练项目有助于运动员的肌力改善，其肌力增长速度值（值越大，表示肌力增长速度越快、效果越好）与训练时间（分钟）的函数关系如下：vt=-240t+2+120,0<t≤10（1）训练开始多长时间，训练的效果可以达到最好？最多维持多少分钟？（2）若在集训中，要求运动员的肌力增长速度值不低于，并且至少保持分钟才能达标，请判断进行该项体能训练能否达标？并说明理由.【答案】（1）训练开始后10分钟效果最好，且能维持分钟（2）能达标，理由见解析【解析】【分析】（1）分段求出函数的最值，再比较大小即可；（2）分段列出不等式，解出即可.【小问1详解】由题意可知，当时，单调递增，所以当时，的最大值为；当时，；当时，.所以训练开始后10分钟效果最好，且能维持分钟.【小问2详解】进行该项体能训练能达标.理由如下：当时，，解得；当时，vt=100>80当时，，解得；故分钟分钟，所以进行该项体能训练能达标.17.已知函数为一次函数，且对均满足.（1）求函数解析式；（2）已知，，且，求的最小值.【答案】（1）（2）最小值为9【解析】【分析】（1）设，根据题意列式求即可；（2）根据题意可得，法一：利用基本不等式可得，化简整理即可得结果；法二：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【小问1详解】设，则，可得，解得，，所以.【小问2详解】因为，所以，即；法一：所以，化简得，当且仅当时取等，所以，故的最小值为9；法二：，当且仅当且，即，时取等号，故的最小值为9.18.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性；（3）记函数的最大值为，最小值为，当时，，求实数的值.【答案】（1）（2）单调递减，证明见解析（3）1或【解析】【分析】（1）根据求出的值，再代入检验即可；（2）由（1）可得，再根据单调性的定义证明即可；（3）结合（2）得在和单调递减，在单调递增，显然，再分、两种情况讨论，分别求出函数的最值，从而得到方程，解得即可.【小问1详解】因是上的奇函数，故，当时，，，满足题意.综上知，.【小问2详解】由（1）知，则在上单调递减，下面用定义证明：任取且，则，因为，故，，所以，即，所以在上单调递减.【小问3详解】由于是上的奇函数，结合（2）得在和单调递减，在单调递增，显然，当时，在和上单调递减，在上单调递增，故，，于是有，解得，舍去；当时，在单调递增，，，于是有，整理得，即，解得或或（舍去）.综上，实数的值为或.19.给定函数，若实数使得，则称为函数不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点.（1）求函数的不动点：（2）设，，且恰好有两个稳定点和.（i）求实数的取值范围，（ii），，求实数的取值范围.【答案】（1）不动点为－2和3（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）令，求出或，得到答案；（2）（i），变形得到，此方程恰好有两个不同的实数解，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围；（ii）法一：在（i）知，的两个稳定点为和1，分和两种情况，换元，再根据对称轴分为，，和四种情况，求出每种情况下的值域，得到不等式，求出答案；法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，取，得，解得，所以，，结合（i）知，，故，有，换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数的取值范围为.【小问1详解】令，得，整理得，解得或，经检验知均满足要求，故函数的不动点为－2和3.【小问2详解】（i）令，得，即，得，所以有，此方程恰好有两个不同的实数解.①当，即时，方程化为，仅有一个实数解，不满足题意；②当时，要么方程无实数解，要么方程仅有一个实数解为1或者.故或或，解得或.综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为.（ii）法一：由（i）知，的两个稳定点为和1，当时，，故，，于是，.此时函数的对称轴，令.①当时，，在单调递减，在单调递增，，，故，而，故在单调递减，在单调递增，注意到，故，所以当时的值域为，即的值域为.于是由题意得，无解.②当时，在单调递增，当时，，，即值域为，不满足题意，舍去.当时，，故，，于是，，此时函数的对称轴，令.③当时，，在单调递增，当时，，，即的值域为，于是有，解得；④当时，，在单调递减，在单调递增，，，故，而，故在单调递减，在单调递增，注意到，故，所以当时的值域为，即的值域为.于是由题意得，解得.综上，实数的取值范围为.法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，因为，，故取，得，解得，所以，，因为，解得，由（i）知，，故，故有，.当时，，令，当时，因，，故.而，故在单