24.2.2 第3课时 切线长定理及三角形的内切圆 人教版数学九年级上册教案

24.2.2直线和圆的位置关系第3课时切线长定理及三角形的内切圆教学目标：1.掌握切线长的定义及切线长定理.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.教学重点：1.掌握切线长的定义及切线长定理.2.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质.教学难点：初步学会运用切线长定理进行计算与证明.教学导入SHAPE一、知识链接1.切线的判定定理和性质定理是什么？2.角平分线的判定定理和性质定理是什么？教学过程二、要点探究探究点1：切线长定理及应用问题1上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？要点归纳：切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．问题2PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．图中OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？PA.PB有何关系？∠APO和∠BPO有何关系？要点归纳：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.推理验证已知，如图PA.PB是⊙O的两条切线，A.B为切点.求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.想一想：若连接两切点A.B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论？并给出证明.典例精析例1已知：如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA与⊙O分别相切与点E，F，G，H.求证：AB+CD=AD+BC.变式训练如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB=10，CD=15，则四边形ABCD的周长为______．例2为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径．方法总结：切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择地应用，它是证明线段相等、角相等以及垂直关系的重要依据.练一练PA.PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OA=3.若AP=4，则OP=；(2)若∠BPA=60°，则OP=.探究点2：三角形的内切圆及作法互动探究小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？问题1如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？问题2如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？(1)如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？(2)在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？做一做已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.要点归纳：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.探究点3：三角形的内心的性质问题1如图，☉O是△ABC的内切圆，那么线段OA，OB，OC有什么特点？问题2如图，分别过点O作AB.AC.BC的垂线，垂足分别为E，.F，G，那么线段OE，OF，OG之间有什么关系？要点归纳：三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边距离相等.例3如图，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.例4(教材P100例2)△ABC的内切圆☉O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD，CE的长.方法总结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.比一比：名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心课堂小结切线长定义切线上一点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．切线长定理定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角.作用提供了证线段和角相等的新方法辅助线作法①分别连接圆心和切点；②连接两切点；③连接圆心和圆外一点.三角形内切圆有关概念与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三角角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三角形的三边距离相等.应用运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.当堂检测1.如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别是A，B，如果AP=4，∠APB=40°，则∠APO=，PB=.第1题图第2题图2.如图，☉O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为☉O的切线，则△CDE的周长为________.3.如图，在△ABC中，点I是内心，(1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=.(2)若∠A=80°，则∠BIC=度.(3)若∠BIC=100°，则∠A=度.(4)试探索：∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？4.如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC.5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DI＝DB.参考答案自主学习知识链接切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.课堂探究二、要点探究探究点1：切线长定理及应用问题1：连接OP，以OP的中点为圆心，OP的一半为半径作圆，与☉O交于点A，B，连接PA，PB，直线PA，PB即为所求做的切线.过圆外的一点，可以作圆的两条切线.问题2：OB是☉O的一条半径，PB是☉O的切线，PA=PB，∠APO=∠BPO.推理验证：证明：∵PA，.PB是☉O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.想一想解：OP垂直平分AB.证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点∴PA=PB，∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.∴OP垂直平分AB.典例精析例1证明：∵AB.BC.CD.DA与⊙O分别相切与点E.F、G、H，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.变式训练50例2解：设铁环的圆心为O，AB与⊙O相切于点Q，连接OP、OA.OQ.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO=∠QAO.又∠PAQ＝180°－60°=120°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OA=2PA=10，∴OP=SKIPIF1<0即铁环的半径为SKIPIF1<0练一练：（1）5（2）6探究点2：三角形的内切圆及作法问题1最大的圆与三角形三边都相切问题2圆心I应是三角形的三条角平分线的交点.作三角形任意两个角的平分线，其交点即为所求作的圆心I.做一做作法：1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.2.过点O作OD⊥BC，垂足为D.3.以O为圆心，OD为半径作圆O.☉O就是所求的圆.探究点3：三角形的内心的性质问题1线段OA，OB，OC分别是∠CAB，∠ABC，∠BCA的平分线.问题2OE=OF=OG例3解：连接IB，IC.∵点I是△ABC的内心，∴BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线，在△IBC中，∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-SKIPIF1<0(∠ABC+∠ACB)=180°-SKIPIF1<0（43°+61°）=128°.例4解：设AE=x，则AF=x.∴CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，解得x=4.∴AF=4，BD=5，CE=9.比一比：名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．内心：三角形内切圆的圆心三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA.OB.OC分别平分∠BAC.∠ABC.∠ACB3.内心在三角形内部．当堂检测1.20°42.113.（1）120（2）130（3）20（4）∠BIC=90°+SKIPIF1<0∠A4.方法一证明：连接BD，∵AC切⊙O于点D，BC切⊙O于点B，∴DC=BC，OC平分∠DCB．∴OC⊥BD．∵BE为⊙O的直径，∴DE⊥BD．∴DE∥OC．方法二证明：连接OD，∵AC切⊙O点D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中，O