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文档简介
高三数学试题2024.11主考学校:庆云一中本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第I卷1-2页,第Ⅱ卷3-4页,共150分,测试时间120分钟.注意事项:选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在测试卷上.第I卷选择题(共58分)一、选择题(本题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.)1.已知集合,,则()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求得集合,利用交集的意义求解即可.【详解】由,得,解得,所以由,所以,所以,所以.故选:D.2.以下有关不等式的性质,描述正确的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,,,,则,【答案】B【解析】【分析】举反例可说明选项A、D错误;利用不等式的性质得选项B正确;利用作差法可得选项C错误.详解】A.当时,,选项A错误.B.由得,故,选项B正确.C.,由得,,所以,故,选项C错误.D.令,满足,,,,结论不正确,选项D错误.故选:B.3.已知向量,,若与平行,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的坐标表示以及平行关系,列方程即可得.【详解】由,可得,若若与平行可知,解得.故选:A4.已知等差数列的前n项和为,,,则()A.180 B.200 C.220 D.240【答案】C【解析】【分析】利用等差数列定义可求得,再由等差数列的前n项和公式计算可得结果.【详解】设等差数列的首项为,公差为,由,可得;解得,因此.故选:C5.已知:,:,若是的充分不必要条件,则a的取值范围是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先解分式不等式,根据充分不必要条件的定义结合集合间的基本关系计算即可.【详解】由可得,解之得或,设:,对应,:,其解集对应,则是的充分不必要条件等价于A是B的真子集,所以.故选:A6.已知关于的函数在上单调递增,则实数的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由复合函数的单调性的性质和对数函数的定义域,知道内函数在区间上单调递减且函数值一定为正,建立不等式组,求得的取值范围.【详解】令,则,∵,∴在上单调递减,由复合函数的单调性可知,在单调递减,∴,则,∴故选:D7.已知函数,若方程在区间上恰有3个实数根,则的取值范围是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得,根据,可得,计算即可.【详解】由,可得,当时,,因为方程在区间上恰有3个实数根,所以,解得,所以的取值范围是.故选:C.8.已知函数,若函数有三个不同的零点,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将问题转化为“的图象有三个交点”,然后作出的图象,根据经过点以及与相切分析出的临界值,则的范围可求.【详解】因为gx=fx所以的图象有三个交点,在同一平面直角坐标系中作出的图象,当经过点时,代入坐标可得,解得;当与的图象相切时,设切点为,因为此时,所以,所以切线方程为,即,所以,可得;结合图象可知,若的图象有三个交点,则,故选:B.【点睛】思路点睛:求解函数零点的数目问题,采用数形结合思想能高效解答问题,通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题,常见的图象应用的命题角度有:(1)确定方程根的个数;(2)求参数范围;(3)求不等式解集;(4)研究函数性质.二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)9.下列结论正确的是()A.B.,C.若,,D.的值域为【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式的三个要求“一正,二定,三相等”来判断各个选项即可.【详解】A选项:因为,故不满足“一正”,A选项错误;B选项:因为,所以,所以,当且仅当,即时取等号,所以B选择正确;C选项:,,所以,所以,当且仅当,即时取等号,所以C选项正确;D选项:因为,所以,当且仅当时取等号,但无解,所以,所以D选项错误.故选:BC.10.已知函数,则()A.函数有两个零点B.是的极小值点C.是的对称中心D.当时,【答案】ABD【解析】【分析】求得函数的零点可判断A;求得导函数,求得的根,可得极小值点,从而可判断B;求得的对称轴,可得的对称中心判断C;利用函数在上单调递增可判断D.【详解】由,解得或,所以函数有两个零点,故A正确;由,得,令,解得或,当时,,当时,,所以是的极小值点,故B正确;由函数的对称轴为,此时的对称中心是两个极值点的中点,所以是的对称中心,故C不正确;当时,,所以在上单调递增,若,可得,所以,故D正确.故选:ABD.11.已知数列的各项均为负数,其前项和满足,则()A. B.为递减数列C.为等比数列 D.存在大于的项【答案】ABD【解析】【分析】令,可得出的值,令,可得出关于的方程,可解出的值,可判断A选项;由递推关系结合数列的单调性可判断B选项;假设数列为等比数列,推导出,求出的值,可判断C选项;利用反证法可判断D选项.【详解】对于A选项,当时,由题意可得,因为,所以,,当时,由可得,整理可得,因为,解得,A对;对于B选项,当时,由可得,上述两个等式作差可得,因为,即,所以,数列为递减数列,B对;对于C选项,若数列为等比数列,则,因为,,,则,设等比数列的公比为,则,解得,不合乎题意,所以,数列不是等比数列,C错;对于D选项,假设对任意的,,则,此时,,与假设矛盾,假设不成立,D对.故选:ABD【点睛】关键点睛:本题在推断选项CD的正误时,利用正面推理较为复杂时,可采用反证法来进行推导.第Ⅱ卷非选择题(共92分)三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.已知正三角形的边长为2,为中点,为边上任意一点,则______.【答案】3【解析】【分析】由已知可得,从而利用可求值.【详解】因为三角形是正三角形,为中点,所以,所以,又正三角形的边长为2,所以,所以.故答案为:.13.设,当时,,则______.【答案】【解析】【分析】利用降幂公式化简可得,由已知可求得,再利用同角的三角函数的平方关系可求.【详解】,由,所以,所以,因为,又,所以,所以.故答案为:.14.已知函数的定义域为,,为偶函数,且,则______,______.【答案】①.1②.-2026【解析】【分析】通过条件可得是周期为4的函数,由为偶函数得,通过给赋值可计算出,利用函数的周期性可得结果.【详解】由得,,,∴,故是周期为的函数.∵为偶函数,∴,∴,令,得,令,得.在中,令,得,∴.令,得,故,令,得,故.由函数的周期性得,.故答案为:1;-2026.【点睛】方法点睛:①若,则函数的周期;②若,则函数的周期;③若,则函数的周期;④若,则函数的周期;⑤若,则函数的周期.四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)15.已知中的三个角的对边分别为,且满足.(1)求;(2)若的角平分线交于,,求面积的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用正弦定理将角化边,化简后求解即可;(2)根据角平分线性质,得,再利用基本不等式求解即可.【小问1详解】因为,所以由正弦定理得,又因为,所以,即,又,所以;【小问2详解】,即,化简得,所以,所以所以,当且仅当时取“=”,所以,所以面积的最小值为.16.某企业计划引入新的生产线生产某设备,经市场调研发现,销售量(单位:台)与每台设备的利润(单位:元,)满足:(a,b为常数).当每台设备的利润为36元时,销售量为360台;当每台设备的利润为100元时,销售量为200台.(1)求函数的表达式;(2)当为多少时,总利润(单位:元)取得最大值,并求出该最大值.【答案】(1)(2)当为100元时,总利润取得最大值为20000元.【解析】【分析】(1)根据题意列出方程组,求出的值即可得到函数的表达式;(2)根据函数的表达式得出利润的表达式,分段讨论出各段的最大值,比较后得到最大值.【小问1详解】由题意知,得故.【小问2详解】设总利润,由(1)得当时,,在上单调递增,所以当时,有最大值10000当时,,,令,得.当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以当时,有最大值20000.当时,.答:当为100元时,总利润取得最大值为20000元.17.在数列中,,其前n项和为,且(且).(1)求的通项公式;(2)设数列满足,其前项和为,若恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)利用的关系得,结合累乘法可得通项;(2)根据(1)的结论得出,由错位相减法得,再分离参数,根据基本不等式计算即可.【小问1详解】因为,代入,整理得,所以,以上个式子相乘得,.当时,,符合上式,所以.【小问2详解】.所以,①,②①②得,,所以.由得:,因为,当且仅当时,等号成立,所以,即的取值范围是.18.已知函数.(1)当时,求函数在点处的切线方程;(2)当时,求的单调区间;(3)若函数存在正零点,求的取值范围.【答案】(1)(2)单增区间是,无单减区间;(3).【解析】【分析】(1)求得切点坐标,由导函数求出切点处导函数的值得到切线斜率,写出切线方程;(2)代入参数后求导函数,由导函数求得单调区间;(3)令导函数为新的函数再求导,根据的取值进行分类讨论,利用函数单调性和函数零点的定义即可得到的取值范围.【小问1详解】由题知,,于是,所以切线的斜率,于是切线方程为,即【小问2详解】由已知可得的定义域为,且,因此当时,,从而,所以的单增区间是,无单减区间;【小问3详解】由(2)知,,令,,当时,.①当时,可知,在内单调递增,又,故当时,,所以不存在正零点;②当时,,又,,所以存在满足,所以在内单调递增,在内单调递减.令,则当时,,故在内单调递增,在内单调递减,从而当时,,即,所以,又因为,所以,因此,,使得即此时存在正零点;③当时,,,从而为减函数.又,所以当时,.故时,恒成立,又,故当时,,所以函数不存在正零点;综上,实数的取值范围为.【点睛】方法点睛:已知函数有正零点,由函数零点的定义需要找到两个正数的函数值符号相反.本题在分析过程中因为参数的值会影响导函数的值,所以对进行分类讨论,得到函数的单调性后再研究函数值.19.已知数列,从中选取第项、第项、…第项,顺次排列构成数列,其中,,则称新数列为的长度为m的子列.规定:数列的任意一项都是的长度为1的子列.(1)写出2,8,4,7,5,6,9三个长度为4的递增子列;(2)若数列满足,,其子列长度,且的每一子列的所有项的和都不相同,求的最大值;(3)若数列为等差数列,公差为d,,数列是等比数列,公比为q,当为何值时,数列为等比数列.【答案】(1)2,4,7,9;2,4,5,6;2,4,5,9;(2)(3)【解析】【分析】(1)根据数列单调性以及子列长度的定义即可写出相应的递增子列;(2)依题意的取值尽量最小即可满足题意,由通项公式对它们的取值从小到大进行验证即可得出结果;(3)利用等差数列定义以及等比数列性质,由前三项构造等量关系即可得出当时,数列为等比数列.【小问1详解】根据题意可知,从所有数字中任意取4个并按照从小到大的顺序排列即可得出符合题意的递增子列;可取2,4,7,9;2,4,5,6;2,4,5,9;2,4,6,9;2,5,6,9;4,5,6,9中任意三个;【小问2详解】因为长度,且的每一子列的所有项的和都不相同,由可知,为使值最大,所以尽量使的取值最小即可,
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