第五章一元函数的导数及其应用 单元检测（含解析）-2024-2025学年高二上学期人教A版（2019）选择性第一册

第五章一元函数的导数及其应用单元检测-2024-2025学年高二上学期人教A版（2019）选择性必修第二册一、单选题1．若函数在处的导数等于，则的值为（

）A．0 B． C． D．2a2．已知函数关于点中心对称，则曲线在点，处的切线斜率为（

）A． B． C． D．3．，若，则等于（

）A． B．1 C． D．4．函数和的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则这条切线的方程为（

）A． B． C． D．5．已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．6．若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题7．下列选项正确的是（

）A．， B．，C．， D．，8．已知函数在上有且仅有4个零点，则（

）A．B．令，存在，使得为偶函数C．函数在上可能有3个或4个极值点D．函数在上单调递增三、填空题9．设曲线在处的切线与直线垂直，则10．已知：当无穷大时，的值为，记为.运用上述结论，可得.11．设函数，其中.若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为.12．已知且，设函数的导函数为，且，当时，实数的取值范围是.四、解答题13．已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2).（i）当时，求的最小值；（ii）若在上恒成立，求的取值范围.14．函数的导数记作，即；同时，在区间上的导数为.若在区间上，，则称函数具有性质.若函数的导数为，且函数具有性质，则对于，有，等号当且仅当是线性函数时成立.若函数具有性质，且存在常数m，，使得.(1)证明：具有性质.(2)证明：（i）；（ii）.(3)当，时，函数具有性质，求证：15．若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线.(1)判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；(2)若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由；(3)对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由.16．若变量满足：，且，其中且，则称是的“型函数”.(1)已知是的“2型函数”，求该函数在点处的切线方程；(2)已知是的“型函数”.（i）求的最小值；（ii）求证：.参考答案：题号12345678答案DDBDBBABCABD1．D【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解.【详解】.故选：D.2．D【分析】由题意结合函数图象变换整理新函数，利用对称性可得其奇偶性，根据导数与切线斜率的关系，可得答案.【详解】因为关于点中心对称，所以函数为奇函数，则，即，且为奇函数，所以，解得，故，且，故切线斜率为.故选：D.3．B【分析】求函数的导函数，由条件列方程求.【详解】由题意可得：，若，即，则，解得．故选：B．4．D【分析】设切点P的横坐标为（），先根据导数几何意义列方程组，可得，再根据导数求其单调性，根据单调性确定其解，最后根据点斜式求切线方程.【详解】由，，则，，设切点P的横坐标为（），则根据题意可得，得，即，设，，因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，所以方程有唯一解，所以切点P坐标为，切线斜率，则切线方程为.故选：D.5．B【分析】求导，根据fx在区间上有极值，由在区间上有不等根求解.【详解】解：因为，所以，因为函数在区间上有极值，所以在区间上有变号根，即在区间上有变号根，令，则，令，得或（舍去），当时，，递减；当时，，递增；所以当时，取得极小值，又，，所以，则，又当时，，递增，无极值，所以实数的取值范围是，故选：B6．B【分析】由题设易得，整理题设为，设，，结合导数分析函数的单调性，进而转化问题为在上恒成立，设，，进而结合导数分析的单调性，进而求解即可.【详解】由题设，显然，由，即，即，设，，则，而，则函数在上单调递减，所以，即在上恒成立，即在上恒成立，设，，则，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，又，所以a的取值范围是.故选：B.7．ABC【分析】对于ABC，由基本初等函数的导数公式即可判断；对于D，由复合函数的求导法则即可求出函数的导函数，从而得解.【详解】对于A，，则，故A正确；对于B，，则，故B正确；对于C，，则，故C正确；对于D，，则，故D错误.故选：ABC.8．ABD【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到，根据在上有且仅有4个零点，可确定，进而解得，再根据其范围结合函数图象和平移知识等逐一判断即可.【详解】对于A，，，因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，∴，故A正确；对于B，，为偶函数，则，即，∵∴取，为偶函数,满足题意，故B正确；对于C，x∈0,π，∵，，∴函数在上可能有4个或5个极值点，故C不正确；对于D，若，则，∵，∴，∴函数在上单调递增.故D正确；故选：ABD.9．1【分析】由直线的斜率求出切线的斜率，导函数在切点处的值即为切线斜率，建立等式，求得的值.【详解】直线的斜率，∵切线与直线垂直，∴切线的斜率，，当时，，∴，故答案为：1.10．.【分析】利用换元法和对数运算性质将所求式子化简为的结构，即可求得.【详解】令，则，，则，因为，则.故答案为：.11．【分析】根据不等式恒成立的等价形式，先求得的最小值，然后分离常数得恒成立，令求其最大值，从而得到的取值范围，进而求得最小值.【详解】依题意，当时，不等式恒成立，等价于，对于，当时，，，，当时，，，，当且仅当时，，当时，，即，令，，当时，h'x>0，当时，h'x<0，，，的最小值为.故答案为：12．【分析】根据已知求导函数，再构造新函数，应用，两种情况分类讨论求出参数即可.【详解】，且，令，，若时，单调递增，则若，则单调递减，单调递增，因为存在，所以单调递增，单调递减，单调递增，因为所以分别为y=fx的极大值点和极小值点，不合题意；若时，单调递减，若，则，单调递增，单调递减，因为存在，所以，，即，故，所以，单调递减，单调递增，单调递减，因为所以分别为y=fx的极小值点和极大值点，符合题意；所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：解题的关键点是分类讨论后求解，得出，对的计算求解.13．(1)在上单调递减，在0,+∞上单调递增.(2)（i）；（ii）【分析】（1）求出，就、分类讨论后可得函数的单调性.（1）（i）求出，讨论其符号可得函数的最小值；（ii）求出函数的三阶导数得该函数恒为正，从而就、分类讨论二阶导数的符号可得的增减性，故可得时不等式恒成立.【详解】（1），若，则，故当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；若，则，而，若在上恒成立，故同理可得在上单调递减，在上单调递增；综上，在上单调递减，在上单调递增.（2）,当时，，则，其中，因在0,+∞上为增函数，且当时，，故当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；故.（ii），设，则，设，则当时，，故在为增函数，故，若，则即在上恒成立，故即在上为增函数，故，故在上为增函数，故恒成立.若，t2a=2a+而，故在上有且只有一个零点，且当时，，故在为减函数，故时，，故在为减函数，故时，，这与题设矛盾，综上，.【点睛】思路点睛：含参数的不等式恒成立问题，注意结合端点效应分类讨论，有时需要多次求导讨论各阶导数的符号，从而得到上阶导数的单调性，注意两者之间的对应性.14．(1)证明见解析(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）构造函数，再求导，结合新概念证明即可；（2）运用前问的证明结论，记函数，其导数为Fx.结合新概念，逐个计算证明即可；（3）构造辅助函数，求导，得到具有性质.记函数，其导数为，证明得到，取，，，，可得结论.【详解】（1）因为，所以，（因为），故具有性质.（2）由（1）得，具有性质.记函数，其导数为Fx.（i）由得，，可得，，得.（ii）由得，，得.（3）构造辅助函数，则，（因为），故具有性质.记函数，其导数为，由得，，得，又，所以，取，，，，可得，.15．(1)存在，理由见解析；(2)是，；(3)答案见解析.【分析】（1）由定义结合三角函数图像得到“双夹线”；（2）利用导函数等于斜率，求出的切点坐标，验证切点个数，在用作差法得出函数图像在两直线之间，由定义得出；（3）由（2）的思路可知令即可找到切线方程及切点坐标，再由作差法验证函数在这两条直线之间，由定义得出及其范围.【详解】（1）曲线：，由正弦函数的图像可知：和为曲线的一对“双夹线”，故曲线是存在“双夹线”.（2）曲线：，，令，即，时，，点是曲线与的一个切点；时，，点是曲线与的一个切点；∴直线与曲线至少存在两个切点，同理可得时，，点是曲线与的一个切点；时，，点是曲线与的一个切点；∴直线与曲线至少存在两个切点，令，，则，，∴和是函数的一对“双夹线”，.（3），则，∵，当时，，则过点的切线方程为：，当时，，过点的切线方程也为：，∴直线与至少存在两个切点；同理可得，直线与相切于点和，∴直线与至少存在两个切点；令，，则，，∴在两条直线之间，故对于任意的正实数，函数都存在“双夹线”，，的所有取值构成的集合.【点睛】方法点睛：本题出现的一个新的定义，根据定义先通过导函数与直线斜率相等找到至少两个切点坐标，再由作差法判定曲线一点在两条直线之间.16．(1)(2)（i）（ii）证明见解析【分析】（1）根据函数的新定义可得到结果；（2）（i）根据函数的新定义以及基本不等式可求得最值；（ii）根据以及得到有关的一个函数，根据导函数判断单调区间，求最值，可证明不等