1-2-第14讲　功和功率

黄老五章机械能及其守恒定律第14讲功和功率1．功(1)做功的两个要素①作用在物体上的__力__.②物体在力的方向上发生的__位移__.(2)公式W＝Flcosα①α是力与__位移__方向之间的夹角，l是物体对地的位移．②该公式只适用于__恒力__做功．(3)功的正负①当0≤α<eq\f(π,2)时，W>0，力对物体做__正功__，是动力．②当eq\f(π,2)<α≤π时，W<0，力对物体做__负功__，或者说物体__克服__这个力做了功，是阻力．③当α＝eq\f(π,2)时，W＝0，力对物体__不做功__.2．功率类别定义计算公式单位平均功率力在一段时间内做功的平均快慢程度，大小等于__功__跟完成这些功所用__时间__的比值(1)eq\o(P,\s\up6(－))＝eq\f(W,t)(2)eq\o(P,\s\up6(－))＝Feq\x\to(v)，适用条件：__F为恒力，且F与平均速度eq\o(v,\s\up6(－))共线__瓦特(W)瞬时功率力在__某一时刻__做功的快慢程度(1)P＝__Fv__，适用条件：__F与瞬时速度v共线__(2)t→0，P＝eq\f(W,t)为瞬时功率(不要求)额定功率动力机械在正常条件下长时间工作的__最大__功率实际功率动力机械工作时实际消耗的功率一般小于或等于额定功率1．判断正误(1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功．()(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动．()(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功．()(4)力始终垂直物体的运动方向，则该力对物体不做功．()(5)摩擦力对物体一定做负功．()(6)由P＝Fv可知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比．(√)(7)汽车上坡时换成低速挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力．()2．如图所示，甲、乙、丙三个物体分别在大小相等、方向不同的力F的作用下，向右移动相等的位移x，关于F对甲、乙、丙做功的大小W1、W2、W3判断正确的()A．W1>W2>W3 B．W1＝W2>W3C．W1＝W2＝W3 D．W1<W2<W3一恒力做功的计算1．恒力做的功直接用W＝Flcosα计算．不论物体做直线运动还是曲线运动，上式均适用．2．合外力做的功法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcosα求功．适用于F合为恒力的过程．法二：先求各个力做的功W1、W2、W3……，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋……求合外力做的功．[例1]一物体静止在粗糙水平地面上．现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v.若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v.对于上述两个过程，用WF1、WF2分别表示拉力F1、F2所做的功，Wf1、Wf2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则()A．WF2>4WF1，Wf2>2Wf1 B．WF2>4WF1，Wf2＝2Wf1C．WF2<4WF1，Wf2＝2Wf1 D．WF2<4WF1，Wf2<2Wf1计算功时应注意的两个问题(1)计算恒力功的公式W＝Flcosα中位移“l”的意义①“l”应取作用点的位移；②“l”的取值一般以大地为参考系．(2)力的独立性原理求某个力做的功仅与该力及物体沿该力方向的位移有关，而与其他力是否存在、是否做功无关．二功率的计算1．公式P＝eq\f(W,t)和P＝Fv的区别P＝eq\f(W,t)是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式．2．平均功率的计算方法(1)利用eq\o(P,\s\up6(－))＝eq\f(W,t).(2)利用eq\o(P,\s\up6(－))＝Feq\o(v,\s\up6(－))cosα，其中eq\o(v,\s\up6(－))为物体运动的平均速度．3．瞬时功率的计算方法(1)利用公式P＝Fvcosα，其中v为t时刻的瞬时速度．(2)P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．(3)P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力．[例2]一质量为1kg的质点静止于光滑水平面上，从t＝0时刻开始，受到水平外力F作用，如图所示．下列判断正确的是(A．0～2s内外力的平均功率是4WB．第2s内外力所做的功是4JC．第2s末外力的瞬时功率最大D．第1s末与第2s末外力的瞬时功率之比为9∶5求功率时应注意的问题(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率，对应于某一过程的功率为平均功率，对应于某一时刻的功率为瞬时功率．(2)求功率大小时要注意F与v方向间的夹角α对结果的影响．(3)用P＝F·eq\o(v,\s\up6(－))cosα求平均功率时，eq\o(v,\s\up6(－))应容易求得，如求匀变速直线运动中某力的平均功率．三机车启动问题1．两种启动方式的比较两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动P－t图和v－t图OA段过程分析v↑⇒F＝eq\f(P不变,v)↓⇒a＝eq\f(F－F阻,m)↓a＝eq\f(F－F阻,m)不变⇒F不变v↑⇒P＝Fv↑直到P额＝Fv1运动性质加速度减小的加速直线运动匀加速直线运动，维持时间t0＝eq\f(v1,a)AB段过程分析F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝eq\f(P,vm)v↑⇒F＝eq\f(P额,v)↓⇒a＝eq\f(F－F阻,m)↓运动性质以vm匀速直线运动加速度减小的加速运动BC段无F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝eq\f(P额,F阻)匀速运动2.三个重要关系式(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝eq\f(P,Fmin)＝eq\f(P,F阻).(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝eq\f(P,F)<vm＝eq\f(P,F阻).(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理Pt－F阻x＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小．[例3]在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×103kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为40m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵引力F与对应速度v，并描绘出如图所示的F－eq\f(1,v)图象(图线ABC为汽车由静止到达到最大速度的全过程，AB、BO均为直线)．假设该汽车行驶中所受的阻力恒定，根据图线ABC(1)该汽车的额定功率；(2)该汽车由静止开始运动，经过35s达到最大速度40m/s，其在BC分析机车启动时的注意事项(1)在用公式P＝Fv计算机车的功率时，F是指机车的牵引力而不是机车所受到的合力．(2)恒定功率下的加速过程一定不是匀加速运动，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F是变力)．(3)以恒定牵引力加速运动时的功率一定不恒定，这种加速运动过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)．四变力做功的求解方法1．平均力法若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为eq\o(F,\s\up6(－))＝eq\f(F1＋F2,2)的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝eq\o(F,\s\up6(－))lcosα求此力所做的功．[例4]用锤子击打钉子，设木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每次击打钉子时锤子对钉子做的功相同．已知第一次击打钉子后，钉子进入的深度为1cm，则第二次击打时，2．F－x图象法在F－x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况．[例5](2018·重庆模拟)轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴，现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示，物块运动至x＝0.4m处时速度为零，则此时弹簧的弹性势能为(g＝10A．3.1J B．3.5JC．1.8J D．2.0J3．等效转换法若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，即效果相同，则可以通过计算该恒力做的功，求出该变力做的功，从而使问题变得简单，也就是说通过关联点，将变力做功转化为恒力做功，这种方法称为等效转换法．[例6]如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，滑块在B、C两点的动能分别为EkB和EkC，图中AB＝BC，则一定有()A．W1>W2 B．W1<W2C．W1＝W2 D．W1与W2的大小关系无法确定4．动能定理法动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功．因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选．[例7]如图，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平．一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道．质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小．用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功．则()A．W＝eq\f(1,2)mgR，质点恰好可以到达Q点B．W>eq\f(1,2)mgR，质点不能到达Q点C．W＝eq\f(1,2)mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离D．W<eq\f(1,2)mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离5．微元法当物体在变力的作用下做曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，可将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和．通过微元法不难得到，在往返的运动中，摩擦力、空气阻力做的功，其大小等于力和路程的乘积．[例8]如图所示，质量m＝2.0kg的物体用长R＝5m的绳拴着，绳的另一端固定在水平桌面上，今用大小始终为10N的水平力F拉着物体从A点运动到B点，F的方向始终与绳的夹角为127°，g取10(1)拉力F做的功；(2)克服摩擦力做的功．(已知物体与桌面的动摩擦因数μ＝0.2)变力做功的求解方法(1)平均力法：力的方向恒定，大小随位移线性变化，可用平均力法求变力做的功．(2)F－x图象法：已知F－x图象，可以根据“面积”求变力做的功．(3)等效转换法：变力功与恒力功相等，即等效，可以用“化变为恒”的等效转换法求变力做的功．(4)动能定理法：无论直线运动还是曲线运动，只要知道了初末状态动能的变化，就可以用动能定理法求变力做的功．(5)变力作用下的曲线运动过程，其元过程可以看成恒力作用过程，可以用微元法求变力做的功．1．某同学进行体能训练，用100s从一楼跑上教学楼七楼，试估测他登楼时的平均功率最接近的数值是()A．10W B．100WC．1kW D．10kW2．(2017·湖北武汉模拟)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1s内、第2s内、第3s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是(A．W1＝W2＝W3 B．W1<W2<W3C．W1<W3<W2 D．W1＝W2<W33．如图所示，细线的一端固定于O点，另—端系一小球．在水平拉力F的作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点．在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是()A．逐渐增大 B．逐渐减小C．先增大，后减小 D．先减小，后增大4．假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率．如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的()A．4倍 B．2倍C．eq\r(3)倍 D．eq\r(2)倍5．一物体所受的力F随位移x变化的图象如图所示，求在这一过程中，力F对物体做的功为____J.[例1](12分)一台起重机，要求它在t＝10s内将质量为m＝1000kg的货物由静止竖直向上匀加速提升h＝10m，取g＝9.81．(多选)一辆汽车的质量为m，其发动机的额定功率为P0.从某时刻起汽车以速度v0在水平公路上沿直线匀速行驶，此时汽车发动机的输出功率为eq\f(1,4)P0，接着汽车开始沿直线匀加速行驶，当速度增加到eq\f(8,5)v0时，发动机的输出功率恰好为P0，此后汽车继续运动．如果汽车在水平公路上沿直线行驶中所受到的阻力与速率成正比，即Ff＝kv，下列说法正确的是()A．汽车匀加速运动的加速度大小为eq\f(3P0,8mv0)B．汽车匀加速运动的时间为eq\f(8mv\o\al(2,0),3P0)C．汽车能达到的最大速度为2v0D．汽车匀速运动时的阻力为eq\f(P0,4v0)2．质量为400kg的汽车沿直线从A点开始以额定功率匀速运动，到达B点后关闭发动机滑行到C点停下，整个过程阻力恒定，BC段做匀变速运动的位移x与速度v的曲线关系如图所示，已知A、C间距l＝400(1)BC段加速度大小；(2)AC段所经历的时间；(3)汽车的额定功率．1．生活中有人常说在车厢内推车是没用的．如图所示，在水平地面上运动的汽车车厢内一人用力推车，当车在倒车时刹车的过程中()A．人对车做正功B．人对车做负功C．人对车不做功D．车对人的作用力方向水平向右2．如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环，小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力()A．一直不做功 B．一直做正功C．始终指向大圆环圆心 D．始终背离大圆环圆心3．(多选)我国高铁技术处于世界领先水平．和谐号动车组是由动车和拖车编组而成的，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车．假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都相同，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比．如图所示，某列动车组由8节车厢组成，其中第1、5节车厢为动车，其余为拖车，则该动车组()A．启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反B．做匀加速运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3∶2C．进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比D．与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为1∶24．(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105N，弹射器有效作用长度为100m，推力恒定．要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，A．弹射器的推力大小为1.1×106NB．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108JC．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107WD．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32m5.一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是()课时达标第14讲[解密考纲]考查对功、功率(平均功率、瞬时功率)的理解，能将变力功转化为恒力功、图象法求解．1．如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为eq\f(R,2)和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为()A．0 B．FRC．eq\f(3,2)πFR D．2πFR2．如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随小物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时F做的总功为()A．0 B．eq\f(1,2)Fmx0C．eq\f(π,4)Fmx0 D．eq\f(π,4)xeq\o\al(2,0)3．如图所示，木板质量为M，长度为L，小木块质量为m，水平地面光滑，一根不计质量的轻绳通过定滑轮分别与M和m连接，小木块与木板间的动摩擦因数为μ.开始时木块静止在木板左端，现用水平向右的力将m拉至右端，拉力至少做功为()A．μmgL B．2μmgLC．μmgL/2 D．μ(M＋m)gL4．如图所示，有三个斜面a、b、c，底边长分别为L、L、2L，高度分别为2h、h、h.某一物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端．关于克服摩擦力做的功，下列关系正确的是(A．Wa<Wb<Wc B．Wa＝Wc>WbC．Wa＝Wb<Wc D．Wa<Wb＝Wc5．(2017·合肥一六八中学段考)(多选)如图所示，质量m＝1kg的小物体放在长直的水平地面上，用水平细线绕在半径R＝0.2m、质量M＝1kg的薄圆筒上．t＝0时刻，圆筒在电动机的带动下由静止开始绕竖直的中心轴转动，小物体的v－t图象如图乙所示，小物体和地面间的动摩擦因数μ＝A．圆筒转动的角速度随时间的变化关系满足ω＝5tB．细线的拉力大小为2NC．细线拉力的瞬时功率满足P＝4tD．在0～2s内，电动机做的功为8J6．如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，(不计空气阻力)则球落在斜面上时重力的瞬时功率为()A．mgv0tanθ B．eq\f(mgv0,tanθ)C．eq\f(mgv0,sinθ) D．mgv0cosθ7．在足够长的粗糙斜面上，用力推着一物体沿斜面向上运动，t＝0时撤去推力，0～6s内速度随时间的变化情况如图所示，由图象可判定下列说法不正确的是()A．0～1s内重力的平均功率大小与1～6s内重力平均功率大小之比为5∶1B．0～1s内摩擦力的平均功率与1～6s内摩擦力平均功率之比为1∶1C．0～1s内机械能变化量大小与1～6s内机械能变化量大小之比为1∶5D．1～6s内动能变化量大小与机械能变化量大小之比为1∶28．某车以相同的功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的k1和k2倍，最大速率分别为v1和v2，则()A．v2＝k1v1 B．v2＝eq\f(k1,k2)v1C．v2＝eq\f(k2,k1)v1 D．v2＝k